二元一次方程組練習(xí)1

1、學(xué)智教育教師備課手冊教師姓名學(xué)生姓名填寫時(shí)間學(xué) 科數(shù)學(xué)年 級 初一上課時(shí)間課時(shí)計(jì)劃2教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容二元一次方程組個(gè)性化學(xué)習(xí)問題解決 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)過程一、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：二元一次方程的概念含有兩個(gè)未知數(shù)(一般設(shè)為x、y)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程. 如xy24，都是二元一次方程.要點(diǎn)詮釋：(1)在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).(2)“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)(單項(xiàng)式)的次數(shù)是1. 如xy的次數(shù)是2，所以方程 6xy90不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 如方程的左邊不是整式

2、，所以它就不是二元一 次方程.(4)判斷某個(gè)方程是不是二元一次方程，一般先把它化為axbyc0的形式，再根據(jù)定義判斷，例 如：2x4y32x不是二元一次方程，因?yàn)橥ㄟ^移項(xiàng)，原方程變?yōu)?y3，不符合二元一次方程的 形式。知識點(diǎn)二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值不只一個(gè)，故每個(gè)二元一次方程都有無數(shù)組解。如，都是二元一次方程xy3的解，我們把有無數(shù)組解的這樣的方程又稱之為不定方程。要點(diǎn)詮釋：(1)使二元一次方程左右兩邊都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值(二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對數(shù)值，而不 是一個(gè)數(shù)值)

3、,即二元一次方程的解都要用“”聯(lián)立起來，如,是二元一次方程xy2的解。(2)在二元一次方程的無數(shù)個(gè)解中，兩個(gè)未知數(shù)的值是相互聯(lián)系、一一對應(yīng)的。即其中一個(gè)未知數(shù)的值 確定后，另一個(gè)未知數(shù)的值也隨之確定并且唯一。知識點(diǎn)三：二元一次方程組的概念把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組. 例如， 都是二元一次方程組.此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如 也是二元一次方程組.知識點(diǎn)四：二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點(diǎn)詮釋：(1)方程組的解要用大括號聯(lián)立，如 ，而不能表示成x9,y4.(2)一般地，二

4、元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組 的解有無數(shù)個(gè).(3)檢驗(yàn)一組數(shù)是否是二元一次方程組的解時(shí)，一定要將這一組數(shù)代入方程組中的每一個(gè)方程，看是否 滿足每一個(gè)方程，只有這組數(shù)滿足方程組中的所有方程時(shí)，該組數(shù)才是原方程組的解，否則不是。知識點(diǎn)五：消元法1消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組 轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一個(gè)未知數(shù). 這種 將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.2消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.知識點(diǎn)六

5、：代入消元法1代入消元法是解方程組的兩種基本方法之一。代入消元法就是把方程組其中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù) 用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，然后代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化 為一元一次方程來解。這種解二元一次方程組的方法叫代入消元法，簡稱代入法。2用代入法解二元一次方程組的一般步驟：(1)從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表 示；(2)將變形后的這個(gè)關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；(3)解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；(4)將求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；(5

6、)把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式.要點(diǎn)詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化 簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；(3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡便的解法。如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè) 未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體 代入法。整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡便，提高運(yùn)算速度 及準(zhǔn)確率。知識點(diǎn)七：加減消元法1加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之

7、一，加減消元法是通過將兩個(gè)方程相加(或相減)消去 一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解,這種解法叫做加減消元法，簡稱加減法。2用加減法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組中的兩個(gè)方程，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)又不相等，就可用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘一 個(gè)方程或兩個(gè)方程的兩邊，使兩個(gè)方程中的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)把兩個(gè)方程的兩邊分別相加減(相同時(shí)相減，相反時(shí)相加)，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方 程；(3)解這個(gè)一元一次方程，求得其中一個(gè)未知數(shù)的值；(4)把所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入到原方程組中系數(shù)比較簡單的一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；(5)把求得的

8、兩個(gè)未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式。要點(diǎn)詮釋：一般地，加減消元法的選擇方法是：(1)選擇系數(shù)絕對值較小的未知數(shù)消元；(2)某一未知數(shù)絕對值相等，如果符號不同，用加法消元，如果符號相同，用減法消元；(3)某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，直接對其中一個(gè)方程變形，使其系數(shù)絕對值相等，再運(yùn)用加減法消 元；(4)當(dāng)相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相等時(shí)，找出某一個(gè)未知數(shù)的最小公倍數(shù)，同時(shí)對兩個(gè)方程進(jìn)行變形， 轉(zhuǎn)化為絕對值相同的系數(shù)，再用加減法來解。用加減法解方程組時(shí)需注意：對某個(gè)方程變形處理時(shí)各項(xiàng)都要擴(kuò)大相同的倍數(shù)；兩個(gè)方程的左右兩邊的各項(xiàng)都要同時(shí)相加或相減。二、規(guī)律方法指導(dǎo)1二元一次方程的整數(shù)解的

9、求法：一般情況下，一個(gè)二元一次方程都有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，解這類問題時(shí)，先用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，然后根據(jù)條件逐一求出相應(yīng)的解.2判斷二元一次方程組的方法：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起就組成一個(gè)二元一次方程組，判斷一個(gè)方程是不是二元一次方程組，就看它是否滿足以下兩個(gè)條件：(1)看整個(gè)方程組里含有的未知數(shù)是不是兩個(gè)；(2)看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是1.3檢驗(yàn)一對數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解，常用的方法是：將這對數(shù)值分別代入方程組中的每個(gè)方程，只有當(dāng)這對數(shù)值滿足其中的所有方程時(shí)，才能說這對數(shù)值是此方程組的解；否則，如果這對數(shù)值不滿足其中的任何一個(gè)方程，那么它就不是此方程組的

10、解.4運(yùn)用代入法、加減法解二元一次方程組要注意的問題：(1)當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，用代入法比較簡單；(2)若方程組中未知數(shù)的系數(shù)為1(或1)，選擇系數(shù)為1(或1)的方程進(jìn)行變形，用代入法比較簡便；(3)當(dāng)方程組中的兩個(gè)方程有某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時(shí)，進(jìn)行加減消元比較方便；(4)若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，利用等式性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成(3)的類型，選擇加減 消元法比較簡便；(5)若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不相等，那么，應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小 的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值

11、相等 (都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元；(6)對于比較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(去分母、去括號、合并同類項(xiàng)等). 通常要把每個(gè)方程 整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程的右邊的形式，再作加減消元的考慮.三、有關(guān)應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追及問題:追及問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段 圖便于理解、分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開始時(shí)兩者相距的路程；路程速度×時(shí)間； 速度；時(shí)間。(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀， 因而也畫線段圖幫

12、助理解、分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程。(3)航行問題:船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順?biāo)俣饶嫠俣?×水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似。2.工程問題：工作效率×工作時(shí)間=工作量.3.濃度問題：溶液質(zhì)量×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.4.教育儲(chǔ)蓄問題：(1)基本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。 本息和：本金與利息的和叫做本息和。 期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)。 利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。 利息稅：

13、利息的稅款叫做利息稅。(2)基本關(guān)系式 利息本金×利率×期數(shù) 本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金×(1利率×期數(shù)) 利息稅利息×利息稅率本金×利率×期數(shù)×利息稅率。 稅后利息利息×(1利息稅率) 年利率月利率×12 月利率年利率×。注意：免稅利息=利息 5.銷售中的盈虧問題：(1)利潤售價(jià)成本(進(jìn)價(jià))；(2)；(3)利潤成本×利潤率；(4)標(biāo)價(jià)成本(進(jìn)價(jià))×(1利潤率)；(5)實(shí)際售價(jià)標(biāo)價(jià)×打折率；注意：“商品利潤售價(jià)成本”中的右邊

14、為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售。6.優(yōu)化方案問題：在解決問題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn)；比較幾種方案得出最佳方案。7.和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量.8.產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.9.增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1增長率)n 增長后的量；原量×(1減少率)n 減少后

15、的量課堂練習(xí)類型一：求二元一次方程的解1寫出二元一次方程4xy20的所有正整數(shù)解. 思路點(diǎn)撥：要把4xy20變形，再根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)求解.總結(jié)升華：(1)可以把二元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)看成已知數(shù)，先解關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程，然后兩個(gè)未知數(shù)取正整數(shù)值即可.(2)對題意理解，要注意兩點(diǎn)：要正確；不重、不漏. 兩個(gè)未知數(shù)的取值均為正整數(shù)才符合題意的解.舉一反三：【變式1】在方程3x4y20中，若y分別取2、0、1、4，求相應(yīng)的的值. 【變式2】求二元一次方程2xy9在自然數(shù)范圍內(nèi)的解。思路點(diǎn)撥：首先明確自然數(shù)的概念，自然數(shù)是指0,1，2, 3，也就是非負(fù)整數(shù)，最小的自然數(shù)是0。再把二元一次

16、方程變形，用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，可變?yōu)閥92x，這樣再讓未知數(shù)x按順序0,1，2，3，取值，即可獲得所求的自然數(shù)范圍內(nèi)的解。類型二：確定方程的待定系數(shù)2若是關(guān)于的二元一次方程，求的值.思路點(diǎn)撥：根據(jù)二元一次方程的定義，a30，即a3；|a|21，即a±3，所以a3. 總結(jié)升華：二元一次方程的待定系數(shù)的求解，要同時(shí)考慮兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)與次數(shù)，不管方程的形式如何變化，必須滿足含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，這兩個(gè)條件.舉一反三：【變式1】如果是方程組的解，求a20092b2009的值.思路點(diǎn)撥：把代入方程組，可以得到關(guān)于a、b的方程組，解這個(gè)方程組，可得a、b的值.總結(jié)升華：把

17、x、y的值代入方程組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的方程組，解出a、b的值. 本題體現(xiàn)了“系數(shù)”與“未知數(shù)”的轉(zhuǎn)化關(guān)系.【變式2】方程2xm13y2n5是二元一次方程，則m_，n_.【變式3】若是方程組的解，則a_，b_.3已知方程組與方程組的解相同，求的值.思路點(diǎn)撥：因?yàn)閮蓚€(gè)方程組的解相同，所以可先求出方程組的解，然后把此解代入方程組中，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解這個(gè)方程組，即可導(dǎo)出a、b的值.舉一反三：【變式1】已知方程組與方程組的解相同，求a、b的值.【變式2】若等式中的x、y滿足方程組，求mn的值。類型三：二元一次方程組的求法4解方程組 .思路點(diǎn)撥：根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可以選用不同的方法來解

18、.總結(jié)升華：(1)方法一和方法二都利用了二元一次方程組的常規(guī)解法：代入法和加減法；方法三根據(jù)題目的特點(diǎn)應(yīng)用了整體的思想方法先求出xy和xy的值，再進(jìn)一步求x、y的值，這是解方程(組)的一種重要的思想.(2)解方程組時(shí)，不要急于求解，要先觀察特點(diǎn)，因題而異，靈活選擇方法，才能事半功倍. 同時(shí)，注意一題多解，訓(xùn)練思維的敏捷性和解題的靈活性.舉一反三：【變式1】已知方程組 ，求xyz的值.思路點(diǎn)撥：這是個(gè)三元一次方程組，只含有兩個(gè)方程，一般不能分別求出x、y、z的值，可把“xyz”作為一個(gè)整體，把方程組變形，根據(jù)特殊性求解.【變式2】解方程組【變式3】解方程組類型四： 實(shí)踐應(yīng)用題5直角三角形ABC中

19、，C90°，兩個(gè)銳角的差是30°，求兩個(gè)銳角的度數(shù).思路點(diǎn)撥：許多幾何中的問題，如邊、角問題，可通過設(shè)未知數(shù)來列方程組，使幾何問題中的量的關(guān)系變得更直接、更易懂.總結(jié)升華：列簡單的二元一次方程組時(shí)應(yīng)先設(shè)未知數(shù)，然后列出含有未知數(shù)的兩個(gè)方程，再用大括號聯(lián)立，組成二元一次方程組.舉一反三：【變式1】美術(shù)小組的同學(xué)分鉛筆若干支，若其中4人每人各取4支，其余的人每人各取3支，則還剩16支；若有1人只取2支，則其余的人恰好每人各得6支，問美術(shù)小組的同學(xué)有多少人？鉛筆有多少支？【變式2】（寧德中考）某刊物報(bào)道：“2008年12月15日，兩岸海上直航、空中直航和直接通郵啟動(dòng)，大三通基本實(shí)

20、現(xiàn)大三通最直接好處是省時(shí)間和省成本，據(jù)測算，空運(yùn)平均每航次可節(jié)省4小時(shí)，海運(yùn)平均每航次可節(jié)省22小時(shí)，以兩岸每年往來合計(jì)500萬人次計(jì)算，則共可為民眾節(jié)省2900萬小時(shí)”根據(jù)文中信息，求每年采用空運(yùn)和海運(yùn)往來兩岸的人員各有多少萬人次6小明做拼圖游戲時(shí)發(fā)現(xiàn)：8個(gè)一樣大小的小長方形恰好可以拼成一個(gè)大的長方形，如圖1所示. 小麗看見了，也來試一試，結(jié)果拼成了如圖2所示的正方形，不過中間留下一個(gè)空白，恰好是邊長為2cm的小正方形，你能算出每個(gè)小長方形的長和寬各是多少嗎？思路點(diǎn)撥：在圖1中，大長方形的長有兩種表現(xiàn)形式，一種是5個(gè)小長方形的寬的和，另一種是3個(gè)小長方形的長的和. 在圖2中，大正方形的邊長也

21、有兩種表現(xiàn)形式，一種是1個(gè)小長方形的長和2個(gè)小長方形的寬的和，另一種從中間看為2個(gè)小長方形的長和1個(gè)小正方形的邊長的和，由此可設(shè)出未知數(shù)列出方程求解.總結(jié)升華：通過觀察圖形找等量關(guān)系，建立方程組求解，本題滲透了數(shù)形結(jié)合的思想. 舉一反三：【變式】（肇慶中考）2008 年北京奧運(yùn)會(huì)，中國運(yùn)動(dòng)員獲得金、銀、銅牌共 100 枚，金牌數(shù)列世界第一其中金牌比銀牌與銅牌之和多2 枚，銀牌比銅牌少7 枚問金、銀、銅牌各多少枚？ 課后作業(yè)一、選擇題：1. 方程組，將(2)×3-(1)×2得( )A. -3y=2 B. 4y+1=0 C. y=0 D. 7y=-82. 以下各組數(shù)中，是方程組

22、的解的是( )A. B. C. D. 3. 若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0，則2a2-3ab的值為( )A. 14 B. 2 C. -2 D. -44. 解方程組的解( )A. 只有1個(gè) B. 是兩對相同的數(shù)值C. 是兩對數(shù)值D. 是兩對數(shù)值其中x和y互為相反數(shù)二、填空題5. 若是二元一次方程，則m=_,n=_6. 已知x，y是方程組的解，則x-2y=_7. 將代入x-2y=1可得_8. 若ax+by=c用含x的代數(shù)式表示y為_三、解答題：9. 解方程組：(1) (2)(3) (4)10. （1）寫出二元一次方程4xy20的所有正整數(shù)解.（2）已知方程組與方程組的解相同，求的值.（

23、3）已知是方程組的解，求k和m的值。11. （1）若mxy+9x+3yn-1=7是關(guān)于x，y的二元一次方程，求m，n的值。（2）若是關(guān)于的二元一次方程，求的值.12. 關(guān)于x，y的方程組的解也是3x-2y=8的解，求b的值。13. 若方程組有無數(shù)組解，則k與m的值分別是多少？四、應(yīng)用題1、根據(jù)圖中所給出的信息，求出每個(gè)籃球和每個(gè)羽毛球的價(jià)格. 2、 (云南)在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)期間，凡購買指定家用電器的農(nóng)村居民均可得到該商品售價(jià)13%的財(cái)政補(bǔ)貼.村民小李購買了一臺A型洗衣機(jī)，小王購買了一臺B型洗衣機(jī)，兩人一共得到財(cái)政補(bǔ)貼351元，又知B型洗衣機(jī)售價(jià)比A型洗衣機(jī)售價(jià)多500元.求：(1)A型洗衣機(jī)和B型洗衣機(jī)的售價(jià)各是多少元？(2)小李和小王購買洗衣機(jī)除財(cái)政補(bǔ)貼外實(shí)際各付款多少元？3、某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地. 如果他以每小時(shí)30千米的速度行駛，就會(huì)遲到30分；如果他以每小