第十章級數(shù)ppt課件

1、一、以一、以2L2L為周期的傅氏級數(shù)為周期的傅氏級數(shù),2lT .2lT 定理定理式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開定理的條件定理的條件滿足收斂滿足收斂的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入傅氏級數(shù)中代入傅氏級數(shù)中為為其其中中系系數(shù)數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(為為奇奇函函數(shù)數(shù)如如果果xf則有則有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(2

2、0dxlxnxflbblnn 為為其其中中系系數(shù)數(shù)), 2 , 1( n,)()2(為為偶偶函函數(shù)數(shù)如如果果xf則有則有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2為為其其中中系系數(shù)數(shù)), 2 , 1 , 0( n證明證明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 設(shè)設(shè).2)(為為周周期期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn )sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxl

3、nxfla其其中中)()(xfzFlxz 二、典型例題二、典型例題k2 xy2044 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 4 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在)2 , 2 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 20020)(xkxxf, 將其展將其展成傅氏級數(shù)成傅氏級數(shù).解解., 2 滿滿足足狄狄氏氏充充分分條條件件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng))25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx

4、 na), 2 , 1( n例例 2 2 將函數(shù)將函數(shù) 15510)( xxxf展開成傅展開成傅氏級數(shù)氏級數(shù).解解,10 xz作變量代換作變量代換155 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的的定定義義補(bǔ)補(bǔ)充充函函數(shù)數(shù) zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作作周周期期延延拓拓然然后后將將,收斂定理的條件收斂定理的條件這拓廣的周期函數(shù)滿足這拓廣的周期函數(shù)滿足).()5, 5(zF內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于且且展展開開式式在在 x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1(

5、n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n三、小結(jié)三、小結(jié)利用變量代換求傅氏展開式利用變量代換求傅氏展開式;求傅氏展開式的步驟求傅氏展開式的步驟;1.畫圖形驗(yàn)證是否滿足狄氏條

6、件畫圖形驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(收斂域收斂域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);3.寫出傅氏級數(shù)寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于).(xf以以2l為周期的傅氏系數(shù)為周期的傅氏系數(shù);一、一、 設(shè)周期為設(shè)周期為2的周期函數(shù)的周期函數(shù))(xf在一個周期內(nèi)的表達(dá)式在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為為 121,1210,101,)(xxxxxf, ,試將其展開成傅里葉級試將其展開成傅里葉級 數(shù)數(shù) . .二、二、 試將函數(shù)試將函數(shù) lxlxllxxxf2,20,)(展開成正弦級數(shù)和余展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)弦級數(shù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題三、三、 將函數(shù)將函數(shù) 232,22,)(xxxxxf展開成展開成傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、 4)(xf 122sin2cos21cos2sin2)1(1nnxnnnxnnnn ), 2, 1, 0,212,2( kkxkx. .二、二、)0(sin2sin14)