初一數(shù)學(xué)第0506講――三角形提高及輔助線的添加

1、A DB CE圖2-1第五講 全等三角形的有關(guān)證明(提高篇關(guān)鍵:三角形全等的證明及其運(yùn)用關(guān)鍵點(diǎn)在于“把相等的邊(角放入正確的三角形中”,去說明“相等的邊(角所在的三角形全等”,利用三角形全等來說明兩個(gè)角相等(兩條邊相等是初中里面一個(gè)非常常見而又重要的方法。要說明兩邊相等,兩角相等,最常用的方法就是說明三角形全等知識點(diǎn)睛全等三角形的性質(zhì):對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊相等,對應(yīng)邊上的中線相等,對應(yīng)邊上的高相等,對應(yīng)角的角平分線相等,面積相等.尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角,常用到以下方法:(1全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊.(2全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角,兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.

2、(3有公共邊的,公共邊常是對應(yīng)邊.(4有公共角的,公共角常是對應(yīng)角.(5有對頂角的,對頂角常是對應(yīng)角.(6兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角,一對最短邊(或最小角是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角.要想正確地表示兩個(gè)三角形全等,找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵.全等三角形的判定方法:(1 邊角邊定理(SAS :兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(2 角邊角定理(ASA :兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(3 邊邊邊定理(SSS :三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(4 角角邊定理(AAS :兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(5 斜邊、直角邊定理(HL :斜邊和一

3、條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用:運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題,在證明的過程中,注意有時(shí)會(huì)添加輔助線.拓展關(guān)鍵點(diǎn):能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ).板塊一、截長補(bǔ)短【例1】 如圖2-1,AD BC ,點(diǎn)E 在線段AB 上,ADE =CDE ,DCE =ECB .求證:CD =AD +BC .分析:結(jié)論是CD =AD +BC ,可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”,即在CD 上截取CF =CB ,只要再證DF =DA 即可,這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題,從而

4、達(dá)到簡化問題的目的.【例2】 已知,如圖3-1,1=2,P 為BN 上一點(diǎn),且PD BC 于點(diǎn)D ,AB +BC =2BD .求證:BAP +BCP =180°.分析:與例1相類似,證兩個(gè)角的和是180°,可把它們移到一起,讓它們是鄰補(bǔ)角,即證明BCP =EAP ,因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.【例3】 已知:如圖4-1,在ABC 中,C =2B ,1=2.求證:AB =AC +CD .分析:從結(jié)論分析,“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,即延長AC 至E 使CE =CD ,或在AB 上截取AF =AC .A B C D P12N 圖3-1D C B A 12

5、圖4-1【例4】 (06年北京中考題已知ABC 中,60A = ,BD 、CE 分別平分ABC 和.ACB ,BD 、CE 交于點(diǎn)O ,試判斷BE 、CD 、BC 的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.DO E CB A【例5】 如圖,點(diǎn)M 為正三角形ABD 的邊AB 所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)B 除外,作60DMN =,射線MN 與DBA 外角的平分線交于點(diǎn)N ,DM 與MN 有怎樣的數(shù)量關(guān)系?NEB M A D【變式拓展訓(xùn)練】如圖,點(diǎn)M 為正方形ABCD 的邊AB 上任意一點(diǎn),MN DM 且與ABC外角的平分線交于點(diǎn)N ,MD 與MN 有怎樣的數(shù)量關(guān)系?NC D EB M A板塊二、倍長中線中線是三角形中

6、的重要線段之一,在利用中線解決幾何問題時(shí),常常采用“倍長中線法”添加輔助線.所謂倍長中線法,就是將三角形的中線延長一倍,以便構(gòu)造出全等三角形,從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.下面舉例說明.例1 如圖1,在ABC中,AD為BC邊上的中線.求證:AB+AC>2AD.例2 如圖2,在ABC中,AB>AC,E為BC邊的中點(diǎn),AD為BAC的平分線,過E作AD的平行線,交AB于F,交CA的延長線于G.求證:BF=CG.例3 如圖4,CB,CD分別是鈍角AEC和銳角ABC的中線,且AC=AB.求證: CE=2CD.板塊三 全等與角度【例1】如圖,在ABC 中,60BAC =,AD

7、是BAC 的平分線,且AC AB BD =+,求ABC 的度數(shù).【例2】在四邊形ABCD 中,已知AB AC =,60ABD =,76ADB =,28BDC =,求DBC 的度數(shù).第六講輔助線的添加歸納.連結(jié)目的:構(gòu)造全等三角形或等腰三角形適用情況:圖中已經(jīng)存在兩個(gè)點(diǎn)X和Y例1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:B=D. A1.連結(jié)AC,構(gòu)造全等三角形;2.連結(jié)BD,構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形例2:如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,求證:點(diǎn)M是CD的中點(diǎn). B連結(jié)AC、AD構(gòu)造全等三角形例3:如圖,AB=AC,BD=CD, M、N分別是BD、CD的中點(diǎn),求證:AMB=AND B連結(jié)A

8、D構(gòu)造全等三角形例4:如圖,AB與CD交于O, 且AB=CD,AD=BC,OB=5cm,求OD的長. 連結(jié)BD構(gòu)造全等三角形.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段目的:構(gòu)造直角三角形,得到距離相等適用情況:圖中已經(jīng)存在一個(gè)點(diǎn)X和一條線MN例1:如圖,ABC中, C=90o,BC=10,BD=6,AD平分BAC,求點(diǎn)D到AB的距離. 過點(diǎn)D作DEAB.構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等例2:如圖,ABC中, C=90o,AC=BC,AD平分BAC,求證:AB=AC+DC. 過點(diǎn)D作DEAB.構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等思考:若AB=15cm,則BED的周長是多少?例3:如圖,梯形中, A= D =9

9、0o,BE、CE均是角平分線,求證:BC=AB+CD. 過點(diǎn)E作EFBC.構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等 例4:如圖,OC 平分AOB, DOE +DPE =180o,求證: PD=PE. 過點(diǎn)P作PFOA,PG OB.構(gòu)造了:全等的直角三角形且距離相等.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等適用情況:圖中已經(jīng)存在一條線段MN 和垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)X例1:已知CD 是AB 的垂直平分線,D 、E 、F 三點(diǎn)共線。求證F BCF A += .中線延長一倍目的:構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等 適用情況:圖中已經(jīng)存在一條線段MN 和垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)X例1:AD 是ABC 的

10、中線,求證:AC(AB 21+<AD 延長AD 到點(diǎn)E ,使DE=AE ,連結(jié)CE.“周長問題”的轉(zhuǎn)化借助“角平分線性質(zhì)”例1:如圖,ABC 中,C=90o,AC=BC,AD 平分CAB,DE AB.若AB=6cm,則DBE 的周長是多少? .“周長問題”的轉(zhuǎn)化借助“垂直平分線性質(zhì)”例2:如圖,ABC中, D在AB的垂直平分線上,E在AC的垂直平分線上.若BC=6cm,求ADE 的周長. 例3:如圖,A、A1關(guān)于OM對稱, A、A2關(guān)于ON對稱.,若A1 A2 =6cm,求ABC的周長. 2例4:如圖, ABC中,MN是AC的垂直平分線.若AN=3cm, ABM周長為13cm,求ABC的

11、周長. .“周長問題”的轉(zhuǎn)化借助“等腰三角形性質(zhì)”例5:如圖, ABC中,BP、CP是ABC的角平分線,MN/BC.若BC=6cm, AMN周長為13cm,求ABC的周長. 添輔助線有兩類情況:一、按定義添輔助線:如證明二直線垂直可延長使它們相交后證交角為90°,證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍,證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線二、按基本圖形添輔助線:每個(gè)幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形,我們把它叫做基本圖形,添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形,因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”!這樣可防止亂添線,添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下:1. 平行線是個(gè)基本圖形

12、:當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線2. 等腰三角形是個(gè)簡單的基本圖形:當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。3. 等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形:出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線;出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。4. 直角三角形斜邊上中線基本圖形:出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線;出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。5.

13、 全等三角形:全等三角形有軸對稱形,中心對稱形,旋轉(zhuǎn)形與平移形等如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形:或添對稱軸,或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對稱形全等三角形加以證明,添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行線平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等組成一樣人說幾何很困難,難點(diǎn)就在輔助線。輔助線,如何添?把握定理和概念。還要刻苦加鉆研,找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。要證線段倍與半,延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn),對稱中心等分