《等邊三角形》參考教案

1、等邊三角形（一）教學目標（一）教學知識點 經(jīng)歷探索等腰三角形成為等邊三角形的條件及其推理證明過程（二）能力訓練要求1經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程， 建立初步的符 號感，發(fā)展抽象思維2經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明的數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初 步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點（三）情感與價值觀要求1積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲2在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心 教學重點等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明教學難點1等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明2引導(dǎo)學生全面、周到地思考問題教學方法探索發(fā)現(xiàn)法教具準備 多媒體課件，投影儀

2、教學過程I提出問題，創(chuàng)設(shè)情境師我們在前兩節(jié)課研究證明了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理， 我們知道， 在等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形三條邊都相等的三角形，叫等邊 三角形回答下面的三個問題（演示課件）1把等腰三角形的性質(zhì)用到等邊三角形，能得到什么結(jié)論？2一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？3你認為有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你 的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴交流.（教師應(yīng)給學生自主探索、思考的時間）生甲由等邊對等角的性質(zhì)可知，等邊三角形的三個角相等，又由三角形 三內(nèi)角和定理可知，等邊三角形的三個角相等，并且都等于60.生乙等腰三角形已有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底

3、邊相等，等 腰三角形就是等邊三角形了.生丙等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且分別都等于60,我認為等腰三 角形的三個內(nèi)角都等于60,也就是說這個等腰三角形就是等邊三角形了.（此時，部分同學同意此生看法，部分同學不同意此生看法，引起激烈的 爭論，？教師可讓同學代表發(fā)表自己的看法）生丁我不同意這個同學的看法，？因為任何一個三角形滿足這個條件都是 等邊三角形.根據(jù)等角對等邊，三個內(nèi)角都是60，所以它們所對的邊一定相 等，但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時便是等邊三角形”，?我覺得他給的條件太多，浪費！師給三個角都是60,這個條件確實有點浪費，那么給什么條件不浪費 呢？下面同學們可以在小組內(nèi)交

4、流自己的看法.U.導(dǎo)入新課探索等腰三角形成等邊三角形的條件.生如果等腰三角形的頂角是60,那么這個三角形是等邊三角形.師你能給大家陳述一下理由嗎？生根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，頂角是60?，?等腰三角形的兩個底角的 和就是180。-60=120。，再根據(jù)等腰三角形兩個底角是相等的，？所以每個底角分別是120十2=60,則三個內(nèi)角分別相等，根據(jù)等角對等邊，？則此時 等腰三角形的三條邊是相等的，即頂角為60的等腰三角形為等邊三角形.生等腰三角形的底角是60，那么這個三角形也是等邊三角形，同樣根 據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等角對等邊、等邊對等角的性質(zhì).師從同學們自主探索和討論的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：？在等腰三角形中，

5、？不論 底角是60，還是頂角是60。，那么這個等腰三角形都是等邊三角形.？你能 用更簡潔的語言描述這個結(jié)論嗎？生有一個角是60的等腰三角形 是等邊三角形.（這個結(jié)論的證明對學生來說可能有一定的難點，難點是意識到分別討論60。的角是底角和頂角兩種情況這是一種分類討論的思想，教師要關(guān)注學生 得出證明思路的過程，弓I導(dǎo)學生全面、周到地思考問題，并有意識地向?qū)W生滲 透分類的思想方法）師你在與同伴的交流過程中，發(fā)現(xiàn)了什么或受到了何種啟示？生我發(fā)現(xiàn)我的證明過程沒有意識到“有一個角是60?！?，在等腰三角形中有兩種情況：（1）這個角是底角；（2）這個角是頂角也就是說我們思考問 題要全面、周到.師我們來看有多少

6、同學意識到分別討論60。的角是底角和頂角的情況,?我們鼓掌表示對他們的鼓勵.今天，我們探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等邊三角形的判定定理；有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形，我們在證明這個定理的 過程中，還得出了三角形為等邊三角形的條件，是什 么呢？生三個角都相等的三角形是等邊三角形.師下面就請同學們來證明這個結(jié)論.（投影儀演示學生證明過程）已知：如圖，在ABC中，/A=ZB=ZC.求證：ABC是等邊三角形.證明：A=ZB, BC=A（等角對等邊）.又/A=ZC, BC=A（等角對等邊）. AB=BC=AC即厶ABC是等邊三角形.師這樣，我們由等腰三角形的性質(zhì)和判定方法就可以得到.（演示課件）等邊三

7、角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60;三個角都相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.師有了上述結(jié)論，我們來學習下面的例題，體會上述定理.（演示課件）例4如圖，課外興趣小組在一次測量活動中，測得/APB=60，AP=BP=200m?他們便得出一個結(jié)論：A、B之間距離不少于200m他們的結(jié)論對嗎？分析：我們從該問題中抽象出厶APB由已知條件/APB=60且AP=BP ?由本節(jié)課探究結(jié)論知APB為等邊三角形.解：在APB中，AP=BP/APB=60，11所以/PABWPBAd(180-/APB= (180-60 )=6022于是/PABWPBA=/ APB從而AP

8、B為等邊三角形，AB的長是200m ?由此可以得出興趣小組的結(jié) 論是正確的.川.隨堂練習（一）課本P54練習1、2.1等邊三角形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？它們分別是什么線段?答案：等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，它們分別是三個角的平分線（或是三條邊上的中線或三條邊上的高線）2如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，/BDEMCDF=60,?圖中 有哪些與BD相等的線段？A答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF（二）補充練習如圖，ABC是等邊三角形，/B和/C的平分線相交于D，BD CD?勺垂直平分線分別交BC于E、F，求證：BE=CFA證明：連結(jié)DE DF,貝U

9、 BE=DE DF=CF由厶ABC是等邊三角形，BD平分/ABC得/1=30,故/2=30,從而/DEF=60.同理/DFE=60，故厶DEF是等邊三角形.DE=DF，因而BE=CFW.課時小結(jié)這節(jié)課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條件，？并對 這個結(jié)論的證明有意識地滲透分類討論的思想方法這節(jié)課我們學的定理非常 重要，在我們今后的學習中起著非常重要的作用.V.課后作業(yè)（一） 課本P56-5、6、7、10題.（二） 預(yù)習P55P56.W.活動與探究探究：如圖，在等邊三角形ABC勺邊AB AC上分別截 取AD=AEAADE是等邊三角形嗎？試說明理由.過程：通過分析、討論，讓學生進一

10、步了解等邊三角形的性質(zhì)及判定.結(jié)果:已知：三角形ABC為等邊三角形.DE為邊AB AC上兩點，且AD=AE判 斷厶ADE?是否是等邊三角形，并說明理由.解：ADE是等邊三角形，/ A=60又AD=AEADE是等腰三角形.ADE是等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形） 板書設(shè)計12.3.2等邊三角形（一）一、 探索等邊三角形的性質(zhì)及判定問題：一個等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形二、 等邊三角形的性質(zhì)及判定三、 應(yīng)用例題講解四、 隨堂練習五、 課時小結(jié)六、 課后作業(yè)備課資料等腰三角形（含等邊三角形）的性質(zhì)與判定.性質(zhì)判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三

11、線合一”即等腰三角形頂角 平分線，底邊上的中線、高互相 重合有一角是60的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形的三個角都相等，且每個角都是60三個角都相等的三角形是等邊三角形參考例題1已知， 如圖， 房屋的頂角/BAC=100， 過屋 頂A的立柱ADLBC屋椽AB=AC求頂架上/B/C/BAD/CAM度數(shù).解：在ABC中,TAB=AC（已知）,/B=/C（等邊對等角）.1/B=/C=（180-/BAC =40（三角形內(nèi)角和定理）2又ADLBC（已知），/BAD/CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合）/BAD/CAD=50.2.已知：如圖，ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E,

12、使CE=CD求證：DB=DE證明：ABC是等邊三角形，且BD是中線,BDLAC，/ACB=60，/DBC=30.又CD=CE1/CDEME=/ACB=30.2/DBCME. DB=DE3.已知：如圖，ABC是等邊三角形，DE/ BC，交AB AC于D E.求證：ADE是等邊三角形.證明：ABC是等邊三角形（已知）,./A=ZB=ZC（等邊三角形各角相等）. DE/ BC,/ADEMB,ZAED2C（兩直線平行，同位角相等）/A=ZADEMAEDADE是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形）12.3.2等邊三角形（二）教學目標（一）教學知識點1.探索發(fā)現(xiàn)猜想證明直角三角形中有一個角為30

13、的性質(zhì).2.有一個角為30的直角三角形的性質(zhì)的簡單應(yīng)用.（二）能力訓練要求1經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，？引導(dǎo)學生體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辯證關(guān)系.2培養(yǎng)學生用規(guī)范的數(shù)學語言進行表達的習慣和能力.（三）情感與價值觀要求1鼓勵學生積極參與數(shù)學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲.2體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學的嚴謹性.教學重點含30角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.教學難點1含30角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.2引導(dǎo)學生全面、周到地思考問題.教學方法探索發(fā)現(xiàn)法.教具準備兩個全等的含30角的三角尺；多媒體課件；投影儀.教學過程I.提出問題，創(chuàng)設(shè)情境師我們學習過直

14、角三角形，今天我們先來看一個特殊的直角三角形，看它具有什么性質(zhì).大家可能已猜到，我讓大家準備好的含30角的直角三角形,?它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)呢？問題：用兩個全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角 形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由.由此你能想到，在直角三角形中，30角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大 小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？U.導(dǎo)入新課（讓學生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時引導(dǎo)學生意識到，通過 實際操作探索出來的結(jié)論，還需要給予證明）生用含30角的直角三角尺擺出了如下兩個三角形. 其中，圖（1）是等邊三角形，因為ABDAACD所以AB=AC又因為RtAB

15、D中，/BAD=60，所以/ABD=60，有一個角是60的等腰三角形是等 邊三角形.生圖（1）中，/B=ZC=60，/BACHBAD/CAD=30 +30 =60,所 以/B=/C=/BAC=60，即ABC是等邊三角形.師同學們從不同的角度說明了自己拼成的圖 （1）是等邊三角形.由此你 能得出在直角三角形中，30角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系嗎？生在直角三角形中，30角所對直角邊是斜邊的一半.師我們僅憑實際操作得出的結(jié)論還需證明，你能證明它嗎？生可以， 在圖 （1） 中， 我們已經(jīng)知道它是等邊三角形， 所以AB=BC=AC?而/ADB=90，即AD丄BC.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得11

16、BD=DC=BC所以BDdAB, ?即在RtABD中，/BAD=30，它所對的邊BD22是斜邊AB的一半.師生共析這位同學能結(jié)合前后 知識，把問題思路解釋得如此清晰，很了 不起.？下面我們一同來完成這個定理的證明過程.定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，?那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.已知：如圖，在RtABC中，/C=90，/BAC=30.求證：BCAB.2分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D,使CD=BC連接AD.證明：在厶ABC中，/ACB=90，/BAC=30，則/B=60.延長BC至D,使CD=BC連接AD（如下圖）vZACB=60，/ ACD=90.vAC=A

17、CABCA ADC（ SAS. AB=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.ABD是等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形）.1 1 BCABDAB.2 2師這個定理在我們實際生活中有廣泛的應(yīng)用，因為它由角的特殊性，揭 示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關(guān)系，下面我們就來看一個例題.（演示課件）A E C例5右圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC DE垂直于橫梁AC,AB=7.4m/A=30，立柱BD DE要多長?分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAED與RtAACB中，由于/A=30,所以11 1DE=1AD BC=!AB又由D是AB的中點，所以DEAB.224解：因為DEL

18、 AC, BCAC/A=30，由定理知11BC=丄AB DE=AD,221所以BDX7.4=3.7(m.21又AD=1AB2所以DE=AD=!X3.7=1.85(m).2 2答：立柱BC的長是3.7m, DE的長是1.85m.師再看下面的例題.例等腰三角形的底角為15,腰長為2a,求腰上的高.已知：如圖，在ABC中,AB=AC=2a/ABC=/ACB=15,CD是腰AB上的高.求：CD的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在RtADC中,AC=2a而/DACMABC的一個外角，？則/DAC=15X2=30,根據(jù)在直角三角形中，30角所對的邊是斜邊的一半，？可求出CD解：/ABCACB=15,/DACA

19、BCBAC=30. CDAC=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30,那么它所對的2直角邊等于斜邊的一半）.師下面我們來做練習.川.隨堂練習（一）課本P56練習RtABC中，/C=90，/B=2/ A,/B和/A各是多少度？邊AB與BC?之間有什么關(guān)系？答案：/B=600，/A=30,AB=2BC（二）補充練習1求證：BD=AB.4證明：在RtABC中，/A=30，1 BC=1AB.2在RtBCD中,/B=60，/ BCD=30.1 BDBC21 BD=1AB.42.已知直角三角形的一個銳角等于另一個銳角的2倍，這個角的平分線把對邊分成兩條線段.已知：如圖，ABC中,/ACB=90,CD是高

20、，/A=30求證：其中一條是另一條的2倍.已知：在RtABC中，/A=90, 求證：CD=2AD證明：在RtABC中，/A=90,/ABC=60, /C=30.又BD是/ABC的平分線，/ABD/DBC=30.1 ADBDBD=CD2 CD=2ADW.課時小結(jié)ABC=/C, BD是/ABC的平分線.ABC=/C,這節(jié)課，我們在上節(jié)課的基礎(chǔ)上推理證明了含30。的直角三角形的邊的關(guān) 系這個定理是個非常重要的定理，在今后的學習中起著非常重要的作用.V.課后作業(yè)（一） 課本P5811、12、13、14題.（二） 預(yù)習P60P61,并準備活動課.1.找出若干個成軸對稱的漢字、英文字母、阿拉伯數(shù)字.2.思考鏡子對實物的改變.W.活動與探究在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳 角等于30.過程：可以從證明“在直角三角形中，如果一個銳角等于 對的直角邊等