基于嵌入空間變形的物體變形方法研究(1)

1、基于嵌入空間變形的物體變形方法研究(1)摘 要 FFD(Free-Form Deformation)自由變形方法是空間變形最有效的方法之一，F(xiàn)FD方法不對(duì)物體直接進(jìn)行變形，而是對(duì)物體所嵌入的空間進(jìn)行變形。本文討論分析了基于FFD自由變形方法。關(guān)鍵詞 空間變形；自由變形；嵌入；控制頂點(diǎn)；權(quán)因子1 自由變形方法FFD 自由變形FFD(Free-Form Deformation)方法是常用的一種與物體表示無關(guān)的變形方法。FFD算法的實(shí)施可以比喻為雕塑家的手，每實(shí)施一次，就相當(dāng)于用手把整個(gè)物體雕塑一遍，隨著FFD算法的逐次實(shí)施，最終把物體雕塑成所希望的形狀。FFD算法的前提是：假定物體有很好的彈性，容

2、易在外力的作用下發(fā)生變形。應(yīng)用該法進(jìn)行造型時(shí)，須先設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方體框架，將物體嵌入框架中。當(dāng)框架受外力變形時(shí)，物體的形狀也發(fā)生改變?？蚣艿男巫兪怯善渖系目刂祈旤c(diǎn)的變化而產(chǎn)生的，因此可通過框架上的控制頂點(diǎn)來改變可控制物體的形狀，一般稱該框架為控制框架。1.1 FFD數(shù)學(xué)原理 在數(shù)學(xué)中變形可以看作一個(gè)由R3到R3的映射X=F(x)，其定義域是待變形的物體表面所包圍的實(shí)體，其值域是變形后的物體。所以關(guān)鍵問題是如何構(gòu)造此映射，使模型的構(gòu)造具有較好的直觀性、交互性和透明性。Sederberg和Parry使用了三變量張量積Bernstein多項(xiàng)式和一個(gè)控制框架來構(gòu)造映射F(x)，其算法如下：(1)首先，在一

3、個(gè)包圍待變形物體的長(zhǎng)方體中構(gòu)造局部坐標(biāo)系O- STU，如圖1所示。圖 1 構(gòu)造局部坐標(biāo)系和控制框架其中X0(O) 是局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)，S，T，U是軸矢量。笛卡爾坐標(biāo)系O-XYZ中任意一點(diǎn)X在局部坐標(biāo)系中具有坐標(biāo)(s，t，u)X=X0 sS tT uU式中X0為局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)： (1.1)顯然，對(duì)控制框架內(nèi)的任意點(diǎn)，其局部坐標(biāo)滿足：0s， t，u1。(2)在長(zhǎng)方體上構(gòu)造控制頂點(diǎn)網(wǎng)格Pi，j，k，分別沿S，T和U三個(gè)方向用平行于OTU ， OSU，OST坐標(biāo)面的等距截面將OS，OT和OU等分為l，m和n個(gè)區(qū)間，則Pi，j，k可表示為 (1.2)其中i=0，1，l； j=0，1，m； k=0，1，

4、n框架內(nèi)任意一點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)X可表示為 (1.3)式中Bil(s)，Bjm(t)和Bnk(u)分別為l，m，n次Bernstein多項(xiàng)式基函數(shù)。(3)建立了物體與框架的相互關(guān)系之后，用戶可通過改變Pi，j，k的位置得到新的控制頂點(diǎn)Pi，j，k和變形后的控制框架。若原控制框架內(nèi)任一點(diǎn)X所對(duì)應(yīng)的局部坐標(biāo)為(s，t，u)，則該點(diǎn)在框架變形后所對(duì)應(yīng)的笛卡兒坐標(biāo)Xffd可由變形規(guī)則(1.4)確定： (1.4)式(1.4)表明：由新的控制頂點(diǎn)計(jì)算變形后的物體時(shí)，應(yīng)首先確定原控制框架內(nèi)任一點(diǎn)X所對(duì)應(yīng)的局部坐標(biāo)(s，t，u)。一般的說，此過程應(yīng)根據(jù)原控制頂點(diǎn)和式(1.3)求解非線性方程組。在用Bernstei

5、n多項(xiàng)式來表示變形映射時(shí)，若原控制頂點(diǎn)滿足式(1.2)，則其局部坐標(biāo)可用式(1.1)確定?？刂祈旤c(diǎn)Pi，j，k實(shí)際上就是Bernstein多項(xiàng)式的系數(shù)，與Bezier曲線、曲面一樣，變形與控制頂點(diǎn)存在非常密切的關(guān)系。由于Bernstein多項(xiàng)式的性質(zhì)，移動(dòng)一個(gè)控制頂點(diǎn)將影響框架內(nèi)的整個(gè)空間。因此，變形區(qū)域?yàn)榭蚣軆?nèi)所有的點(diǎn)。實(shí)際上，變形只施加于框架內(nèi)待變形物體上的點(diǎn)，即需要計(jì)算的僅是框架內(nèi)變形物體上的點(diǎn)。當(dāng)整個(gè)物體都位于框架內(nèi)時(shí)，因?yàn)橐苿?dòng)一個(gè)控制頂點(diǎn)將影響整個(gè)物體的形狀，為使變形局部化，所以可采用較小的框架。當(dāng)物體的一部分位于框架內(nèi)時(shí)，將獲得局部變形。此時(shí)框架與物體相交，為保持切矢或曲率連續(xù)，需

6、對(duì)框架控制頂點(diǎn)的位置提出更嚴(yán)格的要求。物體的變形是由框架控制頂點(diǎn)的移動(dòng)產(chǎn)生的，要求精確移動(dòng)物體上一個(gè)給定的點(diǎn)將非常困難，故必須經(jīng)過反復(fù)實(shí)驗(yàn)才能獲得所期望的效果。應(yīng)用傳統(tǒng)FFD方法對(duì)物體進(jìn)行自由變形時(shí)，控制變形的工具是一個(gè)參數(shù)三變?cè)獜埩糠e的Bezier體、B-樣條體或NURBS體。被變形物體首先以某種方式嵌入這個(gè)體的參數(shù)空間，常用的嵌入方式有兩種：(1)待變形物體上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)和它所對(duì)應(yīng)的局部(參數(shù))坐標(biāo)(u，v，w)之間建立線性對(duì)應(yīng)關(guān)系，一般情況下，該問題需要解非線性方程組；(2)對(duì)于被變形物體，生成其3D包圍盒，然后以這個(gè)包圍盒的一種平行于三坐標(biāo)平面的分割所生成的空間網(wǎng)格作為

7、變形控制網(wǎng)格；對(duì)于位于網(wǎng)格中的物體的每一個(gè)采樣點(diǎn)或控制頂點(diǎn)，反求出其相對(duì)于控制網(wǎng)格的參數(shù)坐標(biāo)(u，v，w)作為其局部坐標(biāo)。這兩種嵌入方法各有優(yōu)缺點(diǎn)：前者計(jì)算量小，但可控性較差；后者計(jì)算量大，但可控性較好。1.2 FFD特點(diǎn)分析 由上述內(nèi)容可知，F(xiàn)FD方法其實(shí)施與幾何形體的表達(dá)方式無關(guān)，而且參數(shù)曲線和參數(shù)曲面經(jīng)過FFD變換后仍是參數(shù)曲線和參數(shù)曲面。FFD算法對(duì)于構(gòu)造曲面實(shí)體具有較大潛在應(yīng)用價(jià)值，其優(yōu)點(diǎn)可歸納如下：(1)可與任何實(shí)體造型系統(tǒng)一起使用。(2)對(duì)任何形式、任意冪次的曲面進(jìn)行變形。(3)可整體也可局部使用，局部使用時(shí)可保持兩物體間跨界導(dǎo)矢以及更高階導(dǎo)矢的連續(xù)性。(4)可應(yīng)用于曲面或多邊形

8、模型。(5)可估計(jì)體積變化的程度，并存在一類保持體積不變的變換。(6)參數(shù)曲線、曲面經(jīng)FFD變換后仍是參數(shù)曲線、曲面。(7)可應(yīng)用于美學(xué)曲線和光順曲面，也可應(yīng)用于大多數(shù)功能曲面。FFD算法也存在一些局限性，其中包括：(1)不能用于圓角和過渡面的構(gòu)造。(2)在進(jìn)行局部FFD變換時(shí)，物體的變形區(qū)與非變形區(qū)的交是平面邊界曲線，欲用FFD構(gòu)造任意邊界曲線的變形將非常困難。(3)計(jì)算量大，對(duì)于三維FFD，變形算法總共有三層嵌套循環(huán)，其時(shí)間復(fù)雜性為O(n3)，如何提高算法效率是實(shí)現(xiàn)FFD算法的關(guān)鍵之一。(4)jacobian矩陣的計(jì)算較為繁瑣，因而變形后物體表面的導(dǎo)矢，法矢和物體體積的計(jì)算也較為復(fù)雜。(5

9、)網(wǎng)格調(diào)整比較麻煩，為獲得合適的物體形狀，需仔細(xì)地選擇、移動(dòng)很多控制頂點(diǎn)。2 基于FFD的其他自由變形方法 2.1 DFFD FFD算法是一種非常有效的幾何造型工具，但用其實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的變形則非常困難。難以準(zhǔn)確控制物體的形狀，難以準(zhǔn)確控制物體上點(diǎn)的位移，不熟悉曲面造型的用戶不易理解控制頂點(diǎn)的作用及移動(dòng)控制頂點(diǎn)可能產(chǎn)生的結(jié)果。為了克服FFD方法的缺點(diǎn)，需要采用新的方法，DFFD(Direct Manipulation of Free-Form Deformation)便是其中的一種。DFFD方法仍采用控制框架作為變形工具，它繼承性地發(fā)展了FFD方法，吸取了FFD方法的優(yōu)點(diǎn)，克服了FFD方法的不足。應(yīng)

10、用DFFD方法時(shí)，用戶操作的是物體上的點(diǎn)而不是控制頂點(diǎn)。其核心思想是：選擇物體上的一點(diǎn)，將該點(diǎn)移至所要求的位置，反求出控制頂點(diǎn)的位置變化，并計(jì)算物體上其它的點(diǎn)。DFFD方法易于實(shí)現(xiàn)變形物體上點(diǎn)的精確移動(dòng)，但也沒有提供控制變形區(qū)域的工具。2.2 EFFD 擴(kuò)展自由變形(EFFD)方法同樣拓廣了FFD技術(shù)，可使用非長(zhǎng)方體，消除了對(duì)非平行六面體網(wǎng)格的限制，允許使用非平行六面體的網(wǎng)格形狀，使初始的網(wǎng)格允許棱柱和圓柱這種形狀，因而增加了FFD的適用范圍，能夠?qū)崿F(xiàn)更隨意的變形，它允許FFD型網(wǎng)格作為其結(jié)構(gòu)的一部分，多個(gè)FFD網(wǎng)格可合并構(gòu)成EFFD的網(wǎng)格。EFFD技術(shù)是FFD的一個(gè)拓廣。應(yīng)用與FFD相同的數(shù)

11、學(xué)公式，但變形工具是由幾個(gè)任意形狀的框架組成的復(fù)雜框架。每一框架本身由一組基本塊組成。用戶可選擇預(yù)先定義的棱柱形框架(圓柱體、球等)或者通過合并幾個(gè)框架而構(gòu)造一個(gè)組合框架。其余過程與FFD類似，但局部坐標(biāo)的計(jì)算比較煩雜，而且構(gòu)造一個(gè)合適的框架非常困難。2.3 RFFD 有理自由變形(RFFD)方法是FFD方法的另一拓廣。應(yīng)用該法時(shí)，每個(gè)控制頂點(diǎn)均附加權(quán)因子，其初始控制頂點(diǎn)仍位于長(zhǎng)方體框架上。當(dāng)每個(gè)控制頂點(diǎn)的權(quán)因子都等于1時(shí)，與FFD方法等價(jià)。權(quán)因子提供了另一個(gè)控制變形的自由度，然而，用戶難以預(yù)測(cè)改變權(quán)因子可能產(chǎn)生的變形結(jié)果。2.4 NFFD 基于非均勻有理B樣條(NURBS)的自由變形(NUR

12、BS-Based Free-Form Deformation，簡(jiǎn)稱NFFD)應(yīng)用了非均勻B樣條基函數(shù)。其優(yōu)點(diǎn)為：(1)進(jìn)行局部變形時(shí)無需考慮連續(xù)性條件。(2)控制頂點(diǎn)是非均勻分布的，以便在物體表面變化比較復(fù)雜的區(qū)域應(yīng)用較多的控制頂點(diǎn)。3 結(jié)語(yǔ) 基于NURBS的自由變形的提出，為控制修形提供了新的思路，即可通過對(duì)簡(jiǎn)單物體(如長(zhǎng)方體、圓柱體和球體等)進(jìn)行全局或局部變形來獲得用戶所需的復(fù)雜物體。這種通過對(duì)其參數(shù)域施加形狀約束的方法雖然具有直觀、簡(jiǎn)捷、方便的優(yōu)點(diǎn)，但它仍屬于間接修形的范疇，仍需要人為調(diào)節(jié)控制頂點(diǎn)和權(quán)因子；如果能結(jié)合某些力學(xué)特性自動(dòng)地控制自由變形過程中的控制晶格頂點(diǎn)和權(quán)因子，自由變形的結(jié)果則會(huì)更接近于現(xiàn)實(shí)，這是一個(gè)值得研究的問題。參考文獻(xiàn) 1 王小平，葉正麟，孟雅琴，李紅達(dá).參數(shù)曲面自由變形新方法.