復(fù)件 奧林匹克題解二(4)

1、第二章代數(shù)第四節(jié) 二項(xiàng)式定理、概率、數(shù)學(xué)歸納法     B4-001  求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）n+2展開(kāi)式里的x2的系數(shù)【題說(shuō)】1963年北京市賽高三一試題3【解】因?yàn)椋?+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）n+2所以展開(kāi)式中x2的系數(shù)為【別解】x2的系數(shù)為B4-002  設(shè)f是具有下列性質(zhì)的函數(shù)：（1）f（n）對(duì)每個(gè)正整數(shù)n有定義；（2）f（n）是正整數(shù)；（3）f（2）=2；（4）f（mn）=f（m）f（n），對(duì)一切m，n成立；（5）f（m）f（n），當(dāng)mn時(shí)試證：f（n）=n【題說(shuō)】第一

2、屆（1969年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題8【證】先用數(shù)學(xué)歸納法證明f（2k）=2k（k=1，2，）事實(shí)上，由（3），k=1時(shí)，f（2）=2成立假設(shè)k=j成立，則由（4）f（2j+1）=f（2·2j）=f（2）f（2j）=2·2j=2j+1故對(duì)所有自然數(shù)k，f（2k）=2k現(xiàn)考慮自然數(shù)n=1由（5）函數(shù)f的嚴(yán)格遞增性知：f（2）=2f（1）由（2），f（1）=1再考慮自然數(shù)n：2kn2k+1由（5）有2k=f（2k）f（2k+1）f（2k+2）f（2k+1-1）f（2k+1）=2k+1，故必有f（2k+1）=2k+1，f（2k+2）=2k+2，f（2k+1-1）=2k+1-1綜上

3、所述，對(duì)任何正整數(shù)n，都有f（n）=nB4-003  證明：對(duì)任何自然數(shù)n，一定存在一個(gè)由1和2組成的n位數(shù)，能被2n整除【題說(shuō)】第五屆（1971年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題1【證】用歸納法（1）當(dāng)n=1時(shí)，取該數(shù)為2即可；（2）設(shè)A=2nB是一個(gè)能被2n整除的n位數(shù)，則2·10n+A和1·10n+A中必有一個(gè)能被2n+1整除從而，命題得證 B4-004  假設(shè)一個(gè)隨機(jī)數(shù)選擇器只能從1，2，9這九個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，并且以等概率作這些選擇，試確定在n次選擇（n1）后，選出的n個(gè)數(shù)的乘積能被10整除的概率【題說(shuō)】第一屆（1972年）美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題

4、3【解】要使n個(gè)數(shù)之積被10整除，必須有一個(gè)數(shù)是5，有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)n次選擇的方法總共有9n種，其中A每一次均不取5的取法，有8n種；B每一次均不取偶數(shù)的取法，有5n種；C每一次均在1，3，7，9中取數(shù)的方法有4n種，顯然C中的取法既包含于A，也包含于B，所以，取n個(gè)數(shù)之積能被10整除的概率是B4-005  一副紙牌共有N張，其中有三張A，現(xiàn)隨機(jī)地洗牌（假定紙牌一切可能的分布都有相等機(jī)會(huì)）然后從頂上開(kāi)始一張接一張地翻牌，直至翻到第二張A出現(xiàn)為止求證：翻過(guò)的紙牌數(shù)的期望（平均）值是（N+1）/2【題說(shuō)】第四屆（1975年）美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題5【證】設(shè)三張A的序號(hào)分別是x1、x2、x3若將

5、牌序顛倒過(guò)來(lái)，則第二張A的序號(hào)為N+1-x2在這兩副紙牌中，第二張A的平均位置（即翻過(guò)的紙牌數(shù)的期望值）為x2+（N+1）-x2/2=（N+1）/2【別證】由題設(shè)，除了第1張和最后一張外，其余各張皆可能是第2張A，且是等可能的因此第2張A所在序號(hào)的平均期望值是2+3+（N1）/（N-2）=（N+1）/2B4-006  某艘漁船未經(jīng)允許在A國(guó)領(lǐng)海上捕魚每撒一次網(wǎng)將使A國(guó)的捕魚量蒙受一個(gè)價(jià)值固定并且相同的損失在每次撒網(wǎng)期間漁船被A國(guó)海岸巡邏隊(duì)拘留的概率等于1/k，這里k是某個(gè)固定的正整數(shù)假定在每次撒網(wǎng)期間由漁船被拘留或不被拘留所組成的事件是與其前的捕魚過(guò)程無(wú)關(guān)的若漁船被巡邏隊(duì)拘留，則原先

6、捕獲的魚全被沒(méi)收，并且今后不能再來(lái)捕魚船長(zhǎng)打算捕完第n網(wǎng)后離開(kāi)A國(guó)領(lǐng)海因?yàn)椴荒芘懦凉O船被巡邏隊(duì)拘留的可能性，所以捕魚所得的收益是一個(gè)隨機(jī)變量求n，使捕魚收益的期望值達(dá)到最大【題說(shuō)】1975年1976年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克三試題5這里是撒一次網(wǎng)的收益由（1）可知f（n）達(dá)到最大值B4-007  大于7公斤的任何一種整公斤數(shù)的重量都可以用3公斤和5公斤的兩種砝碼來(lái)稱，而用不著增添其他不同重量的砝碼試用數(shù)學(xué)歸納法加以證明【題說(shuō)】1978年重慶市賽二試選作題1（3）數(shù)a，b，使得n=3a+5b事實(shí)上（1）當(dāng)n=8，9，10，11時(shí)，不難驗(yàn)證命題成立（2）設(shè)k11并且當(dāng)8nk時(shí)，命題成立，則當(dāng)n=

7、k時(shí)，由歸納假設(shè)k-3=3l+5m，m，n為非負(fù)整數(shù)所以  k=（k-3）+3=3l+5m+3=3（l+1）+5m故命題對(duì)k成立B4-008  給定三只相同的n面骰子，它們的對(duì)應(yīng)面標(biāo)上同樣的任意整數(shù)證明：如果隨機(jī)投擲它們，那么向上的三個(gè)面上的數(shù)的和被3整除的概率大于或等于1/4【題說(shuō)】第八屆（1979年）美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題3【證】因?yàn)閱?wèn)題只涉及和是否被3整除，所以不妨假定，每個(gè)面上的數(shù)是被3除后的余數(shù)；0、1、2設(shè)每個(gè)骰子上標(biāo)“0”的有a個(gè)，標(biāo)“1”的有b個(gè)，標(biāo)“2”的有c個(gè)這里a，b，c是適合下列條件的整數(shù)：0a，b，cn， a+b+c=n  

8、0;                            （1）隨機(jī)地投擲三只骰子，總共有n3種等可能情形其中朝上三個(gè)數(shù)的和被3整除的情形有以下四種類型：0，0，0；1，1，1； 2，2，2；0，1，2第一類共有a3種，第二類共有b3種，第三類有c3種，第四類有3！abc=6abc種因此，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在條件（1）下，證明不等式

9、即                              4（a3+b3+c3+6abc）（a+b+c）3上式可化簡(jiǎn)為等價(jià)的不等式a3+b3+c3+6abca2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b        

10、0;              （2）不妨設(shè)abc，則a3+b3+2abc-a2b-ab2-a2c-b2c=a2（a-b）+b2（b-a）+ac（b-a）+bc（a-b）=（a-b）（a2-b2-ac+bc）=（a-b）2（a+b-c）0，                   &

11、#160;                                                 &

12、#160;                            （3）c3+abc-c2a-c2b=bc（a-c）+c2（c-a）=c（a-c）（b-c）0              &#

13、160;                                                 （4）（3）、

14、（4）相加得a3+b3+c3+3abca2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b從而（2）成立B4-009  拋擲一枚硬幣，每次正面出現(xiàn)得1分，反面出現(xiàn)得2分試【題說(shuō)】第十二屆（1980年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題4【證】令得到n分的概率為Pn因?yàn)榈貌坏絥分的情況只可能是：先得n-1分，再擲出一次反面所以有由于                       &

15、#160;            P1=1/2 B4-010  某個(gè)國(guó)王的25位騎士圍坐在一張圓桌旁他們中的三位被選派去殺一條惡龍（設(shè)三次挑選都是等可能的），令P是被挑到的三人中至少有兩人是鄰座的概率若P寫成一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，其分子與分母之和是多少？【題說(shuō)】第一屆（1983年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題7【解】選二相鄰的騎士有25種方法再隨著選第三位，有23種，故共有25×23種方法但其中三者相鄰的25種情況重復(fù)，應(yīng)減去故因此，所求之分子、分母之和為57【別解】所選3人

16、分兩種情況：3人皆相鄰，或2人相鄰、1人不鄰，故有25+25×（25-4）種B4-011  在給定的圓周上隨機(jī)地選擇A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，這些點(diǎn)的選擇是獨(dú)立的，對(duì)于弧長(zhǎng)而言是等可能的求ABC、DEF這兩個(gè)三角形不相交（即沒(méi)有公共點(diǎn)）的概率【題說(shuō)】第十二屆（1983年）美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題1【解】設(shè)圓周上給定6個(gè)點(diǎn)，從這6點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)作為ABC的頂B4-012  一個(gè)園丁把三棵楓樹、四棵橡樹和五棵白樺樹種成一行十二棵樹的排列次序是隨機(jī)的，每一種排列都是等可能的把沒(méi)有兩棵白樺樹相鄰的概率寫成既約分?jǐn)?shù)m/n試求m+n【題說(shuō)】第二屆（1984年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題11【

17、解】先把三棵楓樹和四棵橡樹排好，有7！種排法，中間6個(gè)空所以，m+n=106為所求B4-013  設(shè)A、B、C、D是一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)，每條棱長(zhǎng)1米一只小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)，遵照下列規(guī)則爬行：在每一個(gè)頂點(diǎn)相交的三條棱中選一條（三條棱選到的可能性相等），然后從這條棱爬到另一個(gè)點(diǎn)設(shè)小蟲爬了7米路之后，又回到頂點(diǎn)A的概率為P=m/729，求m的值【題說(shuō)】第三屆（1985年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題12【解】設(shè)從A出發(fā)走過(guò)n米回到A點(diǎn)的走法為an種由于從A出發(fā)走n-1米的走法共3n-1種，其中an-1種走到A的，下一步一定離開(kāi)A除去這an-1種，其余的每一種都可以再走1米到達(dá)A點(diǎn)因此有an=3n-1-a

18、n-1B4014  某商店有10臺(tái)電視機(jī)，排成一排已知其中有三臺(tái)是次品，如果我們對(duì)這批電視機(jī)作一次隨機(jī)抽查，那么在前5臺(tái)電視機(jī)中出現(xiàn)所有次品的概率是多少？【題說(shuō)】1988年新加坡數(shù)學(xué)奧林匹克（A組）題9原題為選擇題品的概率是B4015  把一個(gè)質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲5次，正面朝上恰為一次的可能性不為0，而且與正面朝上恰為二次的概率相同令既約分?jǐn)?shù)i/j為硬幣在5次拋擲中有3次正面朝上的概率求i+j【題說(shuō)】第七屆（1989年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題5【解】令r是擲一次硬幣正面朝上的概率，則在n次投擲中k次正面朝上的概率為由已知，有由此得r=0，1或1/3但r=0，1都不可能，故r=1/

19、3于是5次投擲3次正面朝上的概率為因此                                              i+j=283B40

20、16  n（n+1）/2個(gè)不同的數(shù)隨機(jī)排成一個(gè)三角陣：設(shè)Mk是從上往下數(shù)第k行中的最大數(shù)，求M1M2Mn的概率【題說(shuō)】第二十二屆（1990年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題2【解】設(shè)所求概率為pn，顯然p1=1，p2=2/3假設(shè)                              pk=2k/（k+1）

21、！對(duì)于n=k+1，最大數(shù)在最下一行的概率為因此，對(duì)所有自然數(shù)n，都有pn=2n/（n+1）！ B4017  在吐姆巴利亞僅有總統(tǒng)與發(fā)言人兩名誠(chéng)實(shí)的人其它人均以概率p（0P1）說(shuō)謊總統(tǒng)決定再次競(jìng)選，并告訴他身邊的第一個(gè)人，這個(gè)人再告訴他身邊的人，如此繼續(xù)下去，直到這鏈上第n個(gè)人將總統(tǒng)的決定告訴發(fā)言人發(fā)言人在這以前未聽(tīng)到有關(guān)總統(tǒng)的決定的信息，在n=19與n=20中，哪一種情況，發(fā)言人宣布的結(jié)果與總統(tǒng)決定相符的可能性較大？【題說(shuō)】1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克第二輪較高水平題1【解】設(shè)發(fā)言人宣布結(jié)果與總統(tǒng)決定相符的概率為Qn，則有遞推公式Qn+1=P（1-Qn）+（1-P）Qn=P

22、+（1-2P）Qn將n+1換為n得Qn=P+（1-2P）Qn-1所以Qn+1-Qn=（1-2P）（Qn-Qn-1）由于Q0=1，Q1=1-P，所以Qn+1-Qn=（1-2P）n·（-P）時(shí)，Q20Q19B4018  某生物學(xué)家想要計(jì)算湖中魚的數(shù)目，在5月1日他隨機(jī)地?fù)瞥?0條魚并給它們做了記號(hào)，然后放回湖中在9月1日他又隨機(jī)撈出70條魚，發(fā)現(xiàn)其中有3條有標(biāo)記他假定5月1日時(shí)湖中的魚有25在9月1日時(shí)已不在湖中了（由于死亡或移居），9月1日湖中40的魚在5月1日時(shí)不在湖里（由于新出生或剛剛遷入湖中），并且在9月1日撈的魚能代表整個(gè)湖中魚的情況問(wèn)5月1日湖中有多少條魚？【題說(shuō)】

23、第八屆（1990年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題6【解】設(shè)5月1日湖中有x條魚因此x=840【注】題中條件25可改為任一百分?jǐn)?shù)，不影響結(jié)果B4019  用二項(xiàng)式定理展開(kāi)（1+0.2）1000，有（1+0.2）1000=A0+A1+A1000【題說(shuō)】第九屆（1991年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題3比較Ak-1與Ak B4020  有兩串字母aaa與bbb要在電訊線上傳送每一串都是一個(gè)一個(gè)字母地傳送由于設(shè)備的毛病，這些字母的每一個(gè)都以1/3的概率被錯(cuò)誤地接收到，即該收到a的都收到b，該收到b的都收到a但每一個(gè)字母是否被正確收到與接收其他字母的狀況互相獨(dú)立以Sa記傳送aaa時(shí)收到的一串3個(gè)字

24、母，以Sb記傳送bbb時(shí)收到的一串3個(gè)字母，按詞典順序，Sa在Sb之前的概率記為P，將P寫成既約分?jǐn)?shù)，它的分子是多少？【題說(shuō)】第九屆（1991年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題10【解】設(shè)Sa=x1x2x3，Sb=y1y2y3因此所求的數(shù)是532B4021  一只抽屜內(nèi)裝有紅襪子和藍(lán)襪子，襪子至多有1991只現(xiàn)在的情況是：不放回地隨機(jī)取兩只襪子，它們都是紅色或都是藍(lán)色的概率恰為1/2，按此情況，抽屜中紅襪子的數(shù)目最多可能是幾只？【題說(shuō)】第九屆（1991年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題13【解】設(shè)紅、藍(lán)襪子數(shù)分別為x和y由已知，任取兩只襪子其顏色不同的概率是1/2故有即   

25、60;                                          （x-y）2=x+y令n=x-y，則     &#

26、160;                       n2=x+y1991B4022  一位網(wǎng)球選手的“贏率”是她贏的場(chǎng)數(shù)比參賽的場(chǎng)數(shù)在一個(gè)周末開(kāi)始時(shí)，她的贏率恰好是0.500在這個(gè)周末期間她比賽了四場(chǎng)，贏了三場(chǎng)，輸了一場(chǎng)，到這個(gè)周末結(jié)束時(shí)，她的贏率大于0.503在這個(gè)周末開(kāi)始之前，她最多可能贏幾場(chǎng)？【題說(shuō)】第十屆（1992年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題3【解】設(shè)W是這網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)

27、員在周末開(kāi)始時(shí)已贏的局?jǐn)?shù)，M是她已若W=164，M=328，則W/M=0.500而（W+3）/（M+4）0.503因此，在周末開(kāi)始前，這運(yùn)動(dòng)員最多可贏164場(chǎng)B4023  在賈憲-楊輝三角形中，每一個(gè)數(shù)值是它上面的二個(gè)數(shù)值之和，這三角形開(kāi)頭幾行如下：在賈憲-楊輝三角形中的哪一行中會(huì)出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)，它們的比是345？【題說(shuō)】第十屆（1992年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題4n組成如果第n行中有那么                 

28、;                      3n-7k=-3，4n-9k=5解這個(gè)聯(lián)立方程組，得k=27，n=62即第62行有三個(gè)相鄰的數(shù) B4024  從集合1，2，3，1000中隨機(jī)地、不放回地取出3個(gè)數(shù)a1、a2、a3，然后再?gòu)氖Ｏ碌?97個(gè)數(shù)中同樣隨機(jī)地、不放回地取出3個(gè)數(shù)b1、b2、b3令p為a1×a2×a3的磚能放在b1×b

29、2×b3的盒子中的概率若將p寫成既約分?jǐn)?shù)，那么分子和分母的和是多少？【題說(shuō)】第十一屆（1993年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題7【解】不妨設(shè)a1a2a3，b1b2b3，當(dāng)且僅當(dāng)a1b1，a2b2，a3b3時(shí)磚可放入盒中設(shè)c1c2c3c4c5c6是從1，2，1000中選出的6個(gè)數(shù)，再?gòu)闹羞x出3個(gè)有種方法這3個(gè)作為a1、a2、a3，剩下3個(gè)作為b1、b2、b3符合要求的a1只能是c1a2若為c2，則a3可為c3或c4或c5；a2若為c3，則求分子、分母的和為1+4=5B4024  從集合1，2，3，1000中隨機(jī)地、不放回地取出3個(gè)數(shù)a1、a2、a3，然后再?gòu)氖Ｏ碌?97個(gè)數(shù)中同樣隨機(jī)地、

30、不放回地取出3個(gè)數(shù)b1、b2、b3令p為a1×a2×a3的磚能放在b1×b2×b3的盒子中的概率若將p寫成既約分?jǐn)?shù)，那么分子和分母的和是多少？【題說(shuō)】第十一屆（1993年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題7【解】不妨設(shè)a1a2a3，b1b2b3，當(dāng)且僅當(dāng)a1b1，a2b2，a3b3時(shí)磚可放入盒中設(shè)c1c2c3c4c5c6是從1，2，1000中選出的6個(gè)數(shù)，再?gòu)闹羞x出3個(gè)有種方法這3個(gè)作為a1、a2、a3，剩下3個(gè)作為b1、b2、b3符合要求的a1只能是c1a2若為c2，則a3可為c3或c4或c5；a2若為c3，則求分子、分母的和為1+4=5B4025  A和B

31、輪流擲一個(gè)均勻的硬幣，誰(shuí)先擲出人頭的一面誰(shuí)獲勝，他們玩了n次，而且前一場(chǎng)的輸家下一場(chǎng)先擲若A第一場(chǎng)先擲，數(shù)碼是什么？【題說(shuō)】第十一屆（1993年）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題11【解】任一場(chǎng)比賽，先擲的人贏的概率為令Pk為A贏第k場(chǎng)比賽的概率，則P1=對(duì)k2，有所以，m+n=1093，其最后三個(gè)數(shù)碼為093 B4026  一種單人紙牌游戲，其規(guī)則如下：將6對(duì)不相同的紙牌放入一個(gè)書包中，游戲者每次隨機(jī)地從書包中抽牌并放回，不過(guò)當(dāng)抽到成對(duì)的牌時(shí)，就將其放到一邊，如果游戲者每次總?cè)∪龔埮疲舫榈降娜龔埮浦袃蓛苫ゲ怀蓪?duì)，游戲就結(jié)束，否則抽牌繼續(xù)進(jìn)行直到書包中沒(méi)【題說(shuō)】第十二屆（1994年）美國(guó)

32、數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題9【解】設(shè)書包中有n（2）對(duì)互不相同的牌，p（n）為按所說(shuō)規(guī)則抽牌使書包空的概率則P（2）=1由于前三張牌中有兩張成對(duì)的概率為所以，對(duì)n3，有反復(fù)利用這個(gè)遞推公式，得當(dāng)n=6時(shí)，有所以，p+q=9+385=394B4027  質(zhì)點(diǎn)x按下列規(guī)則（1），（2）在p、q兩點(diǎn)之間移動(dòng)：（1）x在q處時(shí)，1秒后必移到p處；（2）x在p處時(shí)，1秒p處的概率【題說(shuō)】1995年日本數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選賽題5【解】設(shè)n秒后x在p處的概率為pn，x在q處的概率為qn則 B4028  在重復(fù)擲一枚均勻硬幣的過(guò)程中，在連得2個(gè)反面之前的正整數(shù)，求m+n【題說(shuō)】第十三屆（1995年

33、）美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題15【解】設(shè)擲k次，不出現(xiàn)連續(xù)2個(gè)反面的情況有bk種，易知b1=2，b2=3，約定b0=1由于第一次為正面，再擲k-1次不出現(xiàn)連續(xù)2個(gè)反面的情況有bk-1種第一次為反面，第2次必須為正面，再擲k-2次不出現(xiàn)連續(xù)2個(gè)反面的情況有bk-2種，所以bk=bk-1+bk-2                          &#

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