培優(yōu)專題1勾股定理及應(yīng)用

1、培優(yōu)專題1勾股定理及應(yīng)用勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠,在西方數(shù)學(xué)史上稱之為“畢達哥拉斯定理”.數(shù)學(xué)家陳省身說過:“歐幾里德幾何的主要結(jié)論有兩個,一個是三角形內(nèi)角和定理,另一個就是勾股定理.”數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議把它送入其他星球,作為地球人與其他星球人“交談的語言,用于探索宇宙的奧秘”.勾股定理是我們研究和解決幾何問題的重要理論依據(jù)之一,也是人們在生產(chǎn)實踐和生活中廣泛應(yīng)用的基本原理,許多求線段長、角的大小;線段與線段,角與角,線段與角間的關(guān)系等問題,常常都用勾股定理或逆定理來解決.因此,勾股定理及應(yīng)用是中考競賽等考查的重要內(nèi)容.例1. 在波平如鏡的湖面上,有一朵盛開的美麗的紅蓮,它高出水面3尺

2、.突然一陣大風(fēng)吹過,紅蓮被吹至一邊,花朵剛好齊及水面,如果知道紅蓮移動的水平距離為6尺,請問水深多少? 練習(xí)11.已知:如圖2-1,AD=4,CD=3,ADC=90°,AB=13,ACB=90°,求圖形中陰影部分的面積. 2.已知:長方形ABCD,ABCD,ADBC,AB=2,ADDC,長方形ABCD的面積為S,沿長方形的對稱軸折疊一次得到一個新長方形,求這個新長方形的對角線的長.3.若線段a、b、c能組成直角三角形,則它們的比值可以是(A.1:2:4B.1:3:5C.3:4:7D.5:12:13例2 如圖2-2,把一張長方形紙片ABCD 折疊起來,使其對角頂點A 、C 重

3、合,若其長BC 為a ,寬AB 為b ,則折疊后不重合部分的面積是多少?練習(xí)21.如圖2-3,把矩形ABCD 沿直線BD 向上折疊,使點C 落在C 的位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分EBD 的面積為_.2.如圖2-4,一架長2.5m 的梯子,斜放在墻上,梯子的底部B離墻腳O的距離是0.7m ,當(dāng)梯子的頂部A 向下滑0.4m 到A 時,梯子的底部向外移動多少米? 2-43.如圖2-5,長方形ABCD 中,AB=3,BC=4,若將該矩形折疊,使C 點與A 點重合,則折疊后痕跡EF 的長為( A .3.74B .3.75C .3.76D . 3.77例3 試判斷,三邊長分別為2n 2+2n

4、,2n+1,2n 2+2n+1(n 為正整數(shù)的三角形是否是直角三角形? 分析 先確定最大邊,再利用勾股定理的判定定理判斷是否為直角三角形.練習(xí)31.若ABC 的三邊a 、b 、c 滿足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ,則ABC 是( A .等腰三角形 B .直角三角形 C .銳角三角形 D .鈍角三角形2-22.如圖2-6,在正方形ABCD中,F為DC的中點,E為BC上一點,且EC=14BC,猜想AF與EF的位置關(guān)系,并說明理由. 2-63.ABC中的三邊分別是m2-1,2m,m2+1(m>1,那么(A.ABC是直角三角形,且斜邊長為m2+1.B.ABC是直角三角形,且

5、斜邊長為2m.C.ABC是直角三角形,但斜邊長由m的大小而定.D.ABC不是直角三角形.例4 已知:如圖2-7所示,ABC中,D是AB的中點,若AC=12,BC=5,CD=6.5.求證:ABC是直角三角形.分析欲證ABC是直角三角形,在已知兩邊AC、BC的情況下求邊AB的長,比較困難;但注意到CD是邊AB的中線,我們延長CD到E,使DE=CD,從而有BDEADC,這樣AC、BC、2CD就作為BCE 的三邊,再用勾股定理的逆定理去判定.練習(xí)41.已知a、b、c為ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a2-b2,試判斷ABC的形狀.先閱讀下列解題過程:解:a2c2-b2c2=a4-b4,c2(a

6、2-b2=(a2+b2(a2-b2.c2=a2+b2.ABC為直角三角形.問:(1上述推理過程,出現(xiàn)錯誤的一步是_;(2本題的正確結(jié)論是_.2.如圖2-8,ABC的三邊分別為AC=5,BC=12,AB=13,將ABC沿AD折疊,使AC落在AB上,求折痕AD的長. 2-73.如圖2-9,ABC 中,ACB=90°,AC=BC ,P 是ABC 內(nèi)一點,滿足PA=3,PB=1,PC=2,求BPC 的度數(shù). 例5 如圖2-10,ABC 中,AB=AC=20,BC=32,D 是BC 上一點,且AD AC ,求BD 的長. 分析 若作AE BC 于E ,如圖2-11,利用勾股定理可求出AE=12

7、,AD 是RtADC 的直角邊. AD=CD-AC ,若設(shè)DE=x ,借助于AD 這個“橋”可以列出方程. 解:作AE BC 于E . AB=AC ,AE BC , BE=EC=12BC=12×32=16.在Rt AEC 中,AE 2=AC 2-C E 2=202-162=144, AE=12. 設(shè)DE=x ,則在Rt ADE 中,AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2, 在Rt ACD 中,AD 2=CD 2-A C 2=(16+x 2-202. 144+x 2=(16+x 2-202 解得x=9.BD=BE-DE=16-9=7. 練習(xí)51.如圖2-12,ABC 中,C=90

8、°,M 是BC 的中點,MD AB 于D .求證:A D 2=AC 2+BD 2. 2-122.如圖2-13,AB AD ,AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,求四邊形ABCD 的面積.2-13 2-102-113.如圖2-14.長方體的高為3cm ,底面是正方形,邊長為2cm ,現(xiàn)有繩子從A 出發(fā),沿長方形表面到達C 處,問繩子最短是多少厘米? 2-14答 案: 練習(xí)1 1.24(提示:利用勾股定理即可求出2.長方形的對稱軸有2條,要分別討論: (1以A 、B 為對稱點(如圖 S=AB ×BC ,AB=2, BC=AD=2S .根據(jù)對稱性得DF=12AB=1.由于

9、D=90°,據(jù)勾股定理得:AF=1 2 (2以A 、D 為對稱點(如圖 BF=12BC=4S .由B=90°,據(jù)勾股定理得:= 3.D 練習(xí)2 1.214(提示:利用Rt ABE 的勾股定理即可求出2.0.8m3.B 練習(xí)31B 2AFEF（提示：連結(jié) AE，設(shè)正方形的邊長為 a，則 DF=FC= AF2=AD2+DF2=a2+（ a a ，EC= ，在 RtADF 中，由勾股定理得： 2 4 a 2 5 2 ）= a 2 4 a a 5 2 a， 同理：在 RtECF 中，EF2=（ ）2+（ ）2= 2 4 16 3 9 2 25 2 在 RtABE 中，BE= a，則

10、 AE2=a2+ a= a 4 16 16 5 5 2 25 2 a= a， a2+ 4 16 16 AF2+EF2=AE2 AFE=90° AFEF 3A（點撥：利用勾股定理的逆定理來判定） 練習(xí) 4 1（1）、 （2）ABC 為直角三角形或等腰三角形 2AC2+BC2=52+122=132=AB2， C=90° 將ABC 沿 AD 折疊， AC 落在 AB 上， 的對稱點 使 C CD=DE， AC=AE=5 為 E（如圖） 則ACDAED 又 BE=AB-AE=8 設(shè) CD 為 x，則 x2+82=（12-x）2 10 3 10 2 AD2=52+（ ） 3 解之得

11、x= AD= 5 13 3 3過點 C 作 CECP，并截 CE=CP=2，連結(jié) PE，BE（如圖） ACB=PCE=90°， ACB-PCB=PCE-PCB 即ACP=BCE PCAECB（SAS） BE=AP=3 在 RtPCE 中， PE2=PC2+CE2=8 又BP2=1，BE2=9， -6- BE2=BP2+PE2 PBE 是直角三角形，其中BPE=90° 在 RtPCE 中，PC=CE， CPE=CEP=45° BPC=CPE+BPE=45°+90°=135° 練習(xí) 5 1連結(jié) AM M 為 CB 的中點， CM=MB 又AC2=AM -CM2，