數(shù)學(xué)：2.1.4余弦定理（二） （北師大版 必修5 ）

1、2.1.4余弦定理（二）知識(shí)梳理1余弦定理：txjy(1)形式一：，形式二：，（角到邊的轉(zhuǎn)換）2.解決以下兩類問(wèn)題：1）、已知三邊，求三個(gè)角；（唯一解）2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；（唯一解）3.三角形ABC中 典例剖析題型一：利用余弦定理解三角形例1在中，已知，求c.解且，為鈍角，由余弦定理知，即，解得或（舍去）.評(píng)述 已知三角形的三邊或兩邊和一角可應(yīng)用余弦定理求解。熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還要注意方程思想的運(yùn)用。題型二：判斷三角形的形狀例2在中，若，試判斷的形狀.解：方法一：由正弦定理和已知條件得：，即，B、C為的內(nèi)角，故為直角三角形.方法二：原等式變形為：，

2、即：，由余弦定理得：故為直角三角形.評(píng)述：判斷三角形的形狀，一般是從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角變換，全化為邊的關(guān)系或全化為角的關(guān)系，導(dǎo)出邊或角的某種特殊關(guān)系，然后利用平面幾何知識(shí)即可判定三角形的形狀。備選題：余弦定理的應(yīng)用例3：已知A、B、C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足（sinAsinB）2sin2C3sinAsinB求證：AB120°證明：由（sinAsinB）2sin2C3sinA·sinB可得sin2Asin2Bsin2CsinA·sinB又sinA，sinB，sinC，·整理得a2b2c2abcosC又0°C180

3、76;，C60°AB180°C120°評(píng)述：（1）有關(guān)三角形內(nèi)角的證明，選擇余弦值與正弦值相比較，要省去取舍的麻煩.但注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)先確定角的范圍；（2）在將已知條件中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用了正弦定理的變形式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，這一轉(zhuǎn)化技巧，要求熟練掌握.（2）解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式，但應(yīng)注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，一定要先確定角的范圍.另外，也可運(yùn)用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式sinB·cosAsinAcosB兩端同除以sinAsinB得cotAcotB，再由0A，B，而得AB.

4、點(diǎn)擊雙基1.在在ABC中，AB=3,AC=4,BC=,則AC邊上的高為（ ）A. B. C. D, 解：由余弦定理知：cosA=,A=AC邊上的高為ABsinA=答案：B2.在在ABC中,已知其面積S=（a）,則角C的度數(shù)為（ ）A. 135 B. 45 C. 60 D. 120解：S=（a），absinC=（a）sinC=即sinC=cosC,tanC=1C=45答案：C3在ABC中，若，則其面積等于（ ）A B C D解： 答案：D4. 已知銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2、3、，則的取值范圍是 解：在銳角三角形中， 答案：5在ABC中，若，則 解： 答案：120課后作業(yè)1若三條線段的長(zhǎng)分別為5

5、，6，7，則用這三條線段能組成（ ）三角形。A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.等腰解：長(zhǎng)為7的邊所對(duì)角最大，設(shè)它為， 則 答案：A2.ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 則C的度數(shù)（ ）A、600 B、450或1350 C、1200 D、300解：由a4+b4+c4=2(a2+b2)c，得 a4+b4+c4-2a2c-2b2c=0(a)= a4+b4+c4-2a2c-2b2c+2bc=2bc, a=,C=450或1350答案：B3.設(shè)a,a+1,a+2是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是 ( )A. B. C. D.4<a<6解：a,a+1,a+2是鈍角三角形的三邊

6、，則（a+2）>a+(a+1)，a<0-1<a<3,又a>0 答案：A4. ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對(duì)邊，若<0,則ABC （ ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 銳角或鈍角三角形解：由余弦定理得cosC<0,C是鈍角答案：C5.已知ABC的三邊滿足（a+b+c）(a+b-c)=3ab,則C的度數(shù)為（ ）A. 15 B. 30 C. 45 D. 60解：由條件將a+b看作一個(gè)整體，利用平方差公式得到（a+b）-c=3ab,化簡(jiǎn)整理，得a=ab,cosC=,C= 60答案：D6.在ABC中，cos=,則ABC的形狀

7、是（ ）A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形解：根據(jù)余弦的二倍角公式變形式，原式可化為=，cosA=,a+b=cABC為直角三角形答案:B7.在ABC中，若，C=，則此三角形有( )A. 一解 B. 兩解 C. 無(wú)解 D. 無(wú)法判斷解：由余弦定理得：負(fù)值不合題意，舍去。答案：A8. 若的周長(zhǎng)等于20，面積是，則邊的長(zhǎng)是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8解：由三角形面積，得，又的周長(zhǎng)等于20，由余弦定理得：=，解得.答案：C二填空題9.在ABC中，A=600,最大邊和最小邊的長(zhǎng)是方程的兩實(shí)根，那么BC邊長(zhǎng)等于 .解： A=600最大邊和最

8、小邊為b,c, 最大邊和最小邊的長(zhǎng)是方程的兩根，b+c=9,bc=, a=b+c-2bccosA=(b+c)-2bc-2bccosA=49, a=7答案：710.在ABC中，a=1,B=450,則ABC的外接圓的直徑是 .解：S =acsinB=c,c=4,=252R=5答案：511.在ABC中,則角A= .解：由得，又=-，A=120答案：120三解答題12. 在四邊形ABCD中，四個(gè)角A、B、C、D的度數(shù)的比為3:7:4:10，求AB的長(zhǎng)。 解：設(shè)四個(gè)角A、B、C、D的度數(shù)分別為3x、7x、4x、10x 則有 解得 連BD，在中，由余弦定理得： 是以DC為斜邊的直角三角形 13.在ABC中，bcosAacosB，試判斷三角形的形狀.解法一：利用余弦定理將角化為邊.bcosAacosBb·a·b2c2a2a2c2b2a2b2 ab故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.bcosAacosB又b2RsinB，a2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosBsinAcosBcosAsinB0sin（AB）