微分方程的解2

1、微分方程的解微分方程的解析解（一）求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程1, 方程2,方程n, 初始條件, 自變量)。記號(hào): 在表達(dá)微分方程時(shí)，用字母D表示求微分，D2、D3等。表示求高階微分.任何D后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省. 例如，微分方程 應(yīng)表達(dá)為：D2y=0.（二）simplify(s)：對(duì)表達(dá)式 s 使用 maple 的化簡(jiǎn)規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)例如：syms xsimplify(sin(x)2 + cos(x)2)ans=1例1 求 的通解.解 輸入命令：dsolve('Du=1+u2','t')結(jié)果：u = tg(t

2、-c)例2 求微分方程的特解. 解 輸入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）例3 求微分方程組的通解. 解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')； x=simple(x) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z)結(jié) 果 為：x = (c

3、1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對(duì)初值問題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。（二）建立數(shù)值解法的一些途徑1、用差商代替導(dǎo)數(shù)若步長(zhǎng)h較小，則有故有公式：此即歐拉法。2、使用數(shù)值積分對(duì)方程y=f(x,

4、y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用：故有公式：此即改進(jìn)的歐拉法。3、使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時(shí)（k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng)），稱它是一個(gè)k階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。 歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。 龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。 線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解T,Y = solver(odefun,tspan,y0) 求微分方程的數(shù)值解說明：(1) 其中的 so

5、lver為命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一(2) odefun 是顯式常微分方程：(3) 在積分區(qū)間 tspan=上，從到，用初始條件求解(4) 要獲得問題在其他指定時(shí)間點(diǎn)上的解，則令 tspan= （要求是單調(diào)的）注意: 1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成. 2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.例4 解: 令 y1=x，y2=y1則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：1、建立m-文件vdp1000.m如下： functio

6、n dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s('vdp1000',0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖例5 解微分方程組. 解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45('rigid',0 12,0 1 1); plot(T,Y(: