彈塑性力學-第2章 應力狀態(tài)

1、第二章 應力狀態(tài)第二章 應力狀態(tài)理論2.1 應力和應力張量在外力作用下，物體將產(chǎn)生應力和變形，即物體中諸元素之間的相對位置發(fā)生變化，由于這種變化，便產(chǎn)生了企圖恢復其初始狀態(tài)的附加相互作用力。用以描述物體在受力后任何部位的內(nèi)力和變形的力學量是應力和應變。本章將討論應力矢量和某一點處的應力狀態(tài)。為了說明應力的概念，假想把受組平衡力系作用的物體用一平面A分成A和B兩部分(圖2.1)。如將B部分移去，則B對A的作用應代之以B部分對A部分的作用力。這種力在B移去以前是物體內(nèi)A與B之間在截面C的內(nèi)力，且為分布力。如從C面上點P處取出一包括P點在內(nèi)的微小面積元素S，而S上的內(nèi)力矢量為F，則內(nèi)力的平均集度為F

2、S，如令S無限縮小而趨于點P，則在內(nèi)力連續(xù)分布的條件下FS趨于一定的極限o，即S0limFS=這個極限矢量就是物體在過c面上點P處的應力。由于S為標量，故，的方向與F的極限方向一致。內(nèi)力矢量F可分解為所在平面的外法線方向和切線方向兩個分量Fn和Fs。同樣，應力可分解為所在平面的外法線方向和切線方向兩個分量。沿應力所在平面的外法線方向n的應力分量稱為正應力，記為n，沿切線方向的應力分量稱為切應力，記為 圖2.1 應力矢量n。此處腳注n標明其所在面的外法線方向，由此， S面上的正應力和切應力分別為在上面的討論中，過點P的平面C是任選的。顯然，過點P可以做無窮多個這樣的平面C，也就是說，過點P有無窮

3、多個連續(xù)變化的n方向。不同面上的應力是不同的。這樣，就產(chǎn)生了如何描繪一點處的應力狀態(tài)的問題。為了研究點P處的應力狀態(tài)，在點P處沿坐標軸x，y，z方向取一個微小的平行六面體(圖2.2)，其六個面的外法線方向分別與三個坐標軸的正負方向重合，其邊長分別為x，y，z。假定應力在各面上均勻分布，于是各面上的應力便可用作用在各面中心點的一個應力矢量來表示，每個面上的應力矢量又可分解關(guān)一個正應力和兩個切應力分量，如圖2.2所示。以后，對正應力只用一個字母的下標標記，對切應力則用兩個字母標記*其中第一個字母表示應力所在面的外法線方向；第二個字母表示應力分量的指向。正應力的正負號規(guī)定為：拉應力為正，壓應力為負。

4、切應力的正17第二章 應力狀態(tài)負早規(guī)定分為兩種情況：當其所在面的外法線與坐標軸的正方向一致時，則以沿坐標軸正方向的切應力為正反之為負；當所在面的外法線與坐標袖的負方向一致時，則以沿坐標軸負方向的切應力為正，反之為負。圖2.2中的各應力分量均為正。應力及其分量的單位為Pa。圖2.2 應力表示法由圖2.2可知，當微小的平行六面體趨于無窮小時，六面體上的應力就代表一點處的應力。因此，一點處的應力分量共有9個，其中有3個正應力分量、6個切應力分量，由切應力互等定理可知，實際上獨立的切應力分量只有3個。把這9個應力分量按一定規(guī)則排列，令其中每一行為過一點的一個面上的3個應力分量，即得如下應力張量，在數(shù)學

5、上稱之為二階張量。ijx=yxzxxyyxzzy yzz其中 i，j=(x，y，z)，當i，j任取x，y，z時，則得到相應的應力分量，但xx，yy，zz分別簡寫為x，y，z。應當指出，物體內(nèi)各點的應力狀態(tài)，一般并不是相同的，即非均勻分布的，因此各點的應力分量是坐標z，y，z的函數(shù)。所以，應力張量ij與給定點的空間位置有關(guān)，同時應力張量是針對物體中的某一確定點而言的，今后將會看到，應力張量完全確定了一點處的應力狀態(tài)。張量符號與下標記號法使冗長的彈塑性力學公式變得簡明醒目，在文獻中已被廣泛應用，今后將逐漸熟悉這種標記法。2.2 二維應力狀態(tài)與平面問題的平衡微分方程式上節(jié)中討論應力概念時，是從三維受

6、力物體出發(fā)的，其中點P是從一個三維空間中取出來約點。為簡單起見，首先討論平面問題。掌提了平面問題以后再討18第二章 應力狀態(tài)論空間問題就比較容易了。當受載物體所受的面力和體力以及其應力都與某個坐標軸(例如z軸)無關(guān)。平面問題又分為平面應力問題與平面應變問題。1. 平面應力問題如果考慮如圖2.3所示物體是一個很薄的平板，荷載只作用在板邊，且平行于板面，即 xy平面，z方向的體力分量Z及面力分量Fz均 為零，則板面上(z=±/2處)應力分量為 (z)=0z=±2(zx)z=±2=(zy)z=±2=0因板的厚度很小，外荷載又沿厚度均勻分布， 所以可以近似地認為

7、應力沿厚度均勻分布。由此， 在垂直于z軸的任一微小面積上均有z=0， zx=zy=0 圖2.3 平面應力問題 根據(jù)切應力互等定理，即應力張量的對稱性，必然有yx=xz=0。因而對于平面應力狀態(tài)的應力張量為 ij也可寫為x= ijyxx=yx0xyy00 0xyy如果z方向的尺寸為有限量，仍假設(shè)z=0，zx=zy=0，且認為x，和xy(yx)為沿厚度的平均值，則這類問題稱為廣義平面應力問題。2. 平面應變問題y如果物體縱軸方向(oz坐標方向)的尺寸很長，外荷載及體力為沿z軸均勻分布地作用在垂直于oz方向，如圖2.4所示的水壩是這類問題的典型例子。忽略端部效應，則因外載沿z軸方向為一常數(shù)，因而可以

8、認為，沿縱軸方向各點的位移與所在z方向的位置無關(guān)，即z方向各點的位移均相同。令u、v、w分別表示一點在x、y、z坐標方向的位移分量，則有w為常數(shù)。等于常數(shù)的位移w并不伴隨產(chǎn)生任一xy平面的翹曲變形，故研究應力、應變問題時，可取w=0。此外，由于物體的變形只在xy平面內(nèi)產(chǎn)生，19圖2.4 平面應變問題第二章 應力狀態(tài)因此w與z無關(guān)。故對于平面應變狀態(tài)有u=u(x,y)v=v(x,y)w=0由對稱條件可知，在xy平面內(nèi)xz(zx)和yz(zy) 恒等于零，但因z方向?qū)ψ冃蔚募s束，故z一般并不為零，所以其應力張量為ijx=yx0xyy00 z實際上z并不是獨立變量，它可通過x和y求得，因此不管是平面

9、應變問題還是平面應力問題，獨立的應力分量僅有3個，即x、y和xy(=yx)，對于平面應變問題的求解，可不考慮z。三. 平衡微分方程物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時，由各點應力分量與體力分量之間的關(guān)系所導出的方程稱為平衡微分方程。如圖2.5a)所示的平面應力問題，除面力外，在這個微單元體上還有體力的作用單位體積的體力在二個坐標軸上的投影為X,Y而固體的質(zhì)量密度為。自彈性體內(nèi)任一點P處附近截取一單元體，a) b)圖2.5 平面應力狀態(tài)微元體的應力它在x，y方向的尺寸分別為dx和dy。為了計算方便，在z方向取單位長度，如圖2.5b)所示。該單元體受有其相鄰部分對它作用的應力和單元體的體力。由于在一般情

10、況下應力分量是位置坐標的函數(shù)，因此在單元體左、右或上、下兩對面上的應力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab上的正應力和剪應力分別為x，則作用于cd面上的正應力應隨之變化。該變化可根據(jù)Taylor級數(shù)展開，即20第二章 應力狀態(tài)xcd=xab+xxabdx+yxabdy+0(dx,dy)22由于ab,cd線元上的應力分量均可用相應線元中點處的應力分量表示，以及略去二階以上的微量后，由上式得cd邊上的正應力為 x+xxdx同理，如ab邊上的切應力為xy，ad邊上的正應力和切應力分別為y，yx可得cd邊上的切應力及bc邊的應力分量可類推分別得xy+xyxyyxydxydyyxdy+y微單元體在面

11、力及體力作用下處于平衡，必須滿足靜力平衡的三個方程式。如果考慮到質(zhì)點運動，而按照牛頓第二定律，方程式的右邊還應包括這個微單元體的質(zhì)量與加速度在該坐標軸上的投影的乘積(即慣性力的投影)。對于所研究的一點P。，設(shè)其位移在坐標鈾x,y上的投影分別為u,v，加速度的投影可分別寫為：ut22,vt22若彈性體處于平衡狀態(tài)，則取自物體內(nèi)的單元體也必處于平衡狀態(tài)。因而，根據(jù)Fx=0(=ut2dxdy)，有2(x+xxdx)dy-xdy+(yx+yxy)dx-yxdx+Xdxdy=0(=utdxdy)將上式化簡，并等式兩邊同除以dxdy，可得xx+xyy2+X=0(=ut22) (2.2-1a)由平衡方程式F

12、y=0=vt2)，可類似導得21第二章 應力狀態(tài)yxx+yy+Y=0(=vt22) (2.2-1b)根據(jù)平衡方程ma=0得(yyxydydx)dx2-(xxdydx)2dy22+(xy+dx2xyxdx)dydx+dx2ut22dxdydy2-(+yxydy)dxdy-vtdxdy+Ydxdy-Xdxdydy2=0略去三階微量的項，得xy=yx這就是前面曾提到的切應力互等定理。下面不再區(qū)分xy和yx。式(2.2-1)為平面應力問題的平衡微分方程式，它表明了應力分量的變化與已知體力分量之間的關(guān)系；當改為括號內(nèi)的項，就代表運動方程式，又稱為柯西 (Chuchy)平衡運動微分方程。式(2.2-1)是

13、以平面應力為例導出的，對于平面應變問題，在圖2.5(b)所示的單元體上，一般在前、后兩個面上還作用有正應力z，但由于它們自成平衡，不影響方程的建立，因而，式(2.2-1)對兩種平面問題都適用。在建立上述方程時，我們是按照1.2節(jié)的小變形中假沒，用物體變形以前的尺寸，而沒有用變形后平衡狀態(tài)下的尺寸。在以后建立任何平衡力程式時，都將作同樣的處理，不再加以說明。對于三維應力狀態(tài)的情況，可從受力物體中取出一微小六面體單元，可類似平面問題導出xz=zx ， yz=zy 以及2u+X=0(=)2xyzt2yxyyzv+Y=0(=) (2.2-2) 2xyzt2zyzxzw+Z=0(=)2xyztxxyxz

14、式(2.2-2)為三維情況下的平衡微分方程。如果采用張量符號和下標記號法，切應力互等定理可縮寫為ij=ji (i,j=x,y,z)由此可知，應力張量為一對稱張量，一共有6個獨立元素22第二章 應力狀態(tài)ij平衡方程也可縮寫為x=(對稱)xyyxzyzzij,j+Gi=0 (2.2-3) 其中ij,j表示ij(i,j=x,y,z)對j(=x,y,z)取偏導數(shù)，而Gi當i=x,y,z時，則分別代表X,Y,Z。因此，ij,j=0，則代表=0xyzyxyyz+=0 (2.2-4) xyzzyzxz+=0xyzx+xy+xz式(2.2-4)即是不計體力時們?nèi)S平衡微分方程式。2.3 一點的應力狀態(tài)所謂一點

15、的應力狀態(tài)是指受力變形物體內(nèi)一點的不同截面上的應力變化的狀況。現(xiàn)以平面問題為例說明一點處應力狀態(tài)。在受力物體中取一個如圖2.6所示的微小三角形單元，其中AC，AB與坐標軸x,y重合，而BC的外法線與zz軸成角。取坐標x',y'，使BC的外法線方向與x'方向重合(如圖2.6)。如果x,y,xy已知，則BC面上的正應力x，和切應力xy可用已知量表示。因角的任意性，'''若BC面趨于點A時，則可認為求得了描繪過點4處的應力狀態(tài)的表達式。實際上，這里所討論的問題是一點處不同方向的面上的應 力的轉(zhuǎn)換，即BC面無限趨于點A時，該面上的應力如何 用與原坐標相平

16、行的面上的應力來表示。在這種問題的分 析中，可不必引入應力增量和體力，因為它們與應力相比 屬于小量。假定BC的面積為1，則AB和AC的面積分別為cos與sin。于是，由力在坐標x,y的平衡條件 圖2.6 一點的應力狀態(tài)23第二章 應力狀態(tài)Fx=0和Fy=0，px=xcos+xysinpy=xycos+ysin可得(a)式中px,py為BC面上單位面積的力p在坐標軸x,y方向上的分力(圖2.6)。將px,py投影到x',y'坐標軸方向，有x''=pxcos+pysin'xy=pxcos-pysin(b)將式(b)代入式(a)，并注意到 2cos2=1+co

17、s2，2sin2=1-cos2，cos-sin=cos222和2sincos=sin2，可得x+2y'x=+x-2yycos2+xysin2 (2.3-1a)xy=-''x-2sin2+xycos2 (2.3-1b)將式(2.3-1a)中的換成+=2，則得yx+2y'-x-2ycos2-xysin2 (2.3-1c)如果BC面趨近于A點，且已知A點的應力分量x,y,xy時，則由式(2.3-1)可求得過該點任意方向的平面上的應力分量。因此，對于平面問題，式(2.3-1)描述了該點的應力分布規(guī)律，即描述了該點的應力狀態(tài)。對于三向應力狀態(tài)，可以采用類似于二維應力狀態(tài)分

18、析的方法?，F(xiàn)在研究從受力物體中取出的任一無窮小的四面體(圖2.7)。斜面ABC的法線N與坐標軸間的夾角的方向余弦分別是l、m、n。四 面體棱邊的長度分別dx、dy和dz。設(shè)斜 面的面積為1，則三角形OBC、OAC、OAB的面積分別為1cos(N,x)=l1cos(N,y)=m 1cos(N,z)=n如果ABC面上單位面積上的力為p，沿坐標 軸方向的分量px,py,pz可由傲小四面體單元24圖2.7 四面體的應力分布第二章 應力狀態(tài)的平衡條件得到px=xl+xym+xznpy=yxl+ym+yzn (2.3-2) pz=zxl+zym+zn式(2.3-2)是與坐標軸呈任意傾斜面止單位面積上的面力

19、，該式也可按下標記號法和求和約定縮寫為pi=ijnj (i,j=x,y,z) (2.3-3) 式中nj為斜面ABC外法線n與(j=x,y,z)軸間夾角的方向余弦l、m、n。 為了分析一點處應力的某些特征，現(xiàn)將坐標系oxyz變換到新坐標系ox'y'z'，且新坐標系的ox'軸與圖2.7中的法線方向n重合，新舊坐標系間的方向余弦 如表cos(x,x)=l1，cos(x，y)=m1，cos(x，z)=n1，'''2.1所示，則x'方向的正應力x'為'x=pxl1+pym1+pzn1表 2.1 新舊坐標系間的方向余弦將(2.

20、3-2)代入上式，并注意到l、m、n分別等于l1，m1，n1，則得 x=xl12+ym12+zn12+2(xyl1m1+yzm1n1+xzn1l1)'類似地將px,py,pz在y'，z'方向投影，可得到y(tǒng)=xl22+ym22+zn22+2(xyl2m2+yzm2n2+xzn2l2)'z=xl32+ym32+zn32+2(xyl3m3+yzm3n3+xzn3l3)'xy=xl1l2+ym1m2+zn1n2+xy(l1m2+l2m1)+yz(m1n2+m2n1)+zx(l1n2+l2n1)''yz=xl2l3+ym2m3+zn2n3+xy(l

21、2m3+l3m2)+yz(m2n3+m3n2)+zx(l2n3+l3n2)''25第二章 應力狀態(tài)zx=xl3l1+ym3m1+zn3n1+xy(l3m1+l1m3)+yz(m3n1+m1n3)+zx(l3n1+l1n3)''采用張量的方法，可將以上各式統(tǒng)一表示為ij=liiljjij (2.3-4)''''式(2.3-4)則是ij在坐標變換時所遵循的法則。凡是一組9個量ij，在坐標變換時遵從式(2.3-4)的法則就稱為二階張量。.4邊界條件當物體處于平衡狀態(tài)時，除物體內(nèi)部各點要滿足平衡微分方程式(2.2-4)外，還應滿走解條件。

22、定解條件一般包括初始條件、邊界條件或其它能確定唯一解答的補充條件。對于彈塑性靜力學問題，定解條件主要是邊界條件，所以彈塑性力學問題也就是數(shù)學物理方程中的邊值問題。其它如約束條件、位移單值條件等也是常遇到的定解條件。在彈塑性力學中，給定面力的邊界，用S表示，結(jié)定位移的過界，用Su表示，如圖2.8所示。本節(jié)主要討論彈塑性力學平面問題的邊界條件。a) b) 圖2.8 平面問題邊界條件1. 位移邊界條件所謂位移邊界條件，就是在給定位移的邊界上，物體的位移分量必須等于邊界上的已知位移。設(shè)平面彈塑性體在Su邊界上給定x、y方向上的位移分別為u和v；，它們是邊界坐標的已知函數(shù)；而位移分量u、v則是坐標的待求

23、函數(shù)。當把它們代入Su邊界的坐標時，則必等于該點所給定的位移，即u=u， v=v 在Su (2.4-1) 對于三維問題，在Su邊界的位移邊界條件為_ui=ui (2.4-2) 此處i=(x,y,z)，且對應于u、v、w。26第二章 應力狀態(tài)2. 應力邊界條件彈塑性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)的條件，除物體內(nèi)部各點的應力分量應滿足平衡方程式(2.2-4)外，物體邊界上各點也必須都是平衡的。由后者將導出應力邊界條件。所謂應力邊界條件就是在給定面力S的邊界上應力分量與面力分量之間的關(guān)系。實質(zhì)上，它是彈塑性體內(nèi)部各點的平衡條件在其邊界上的延續(xù)。因此，應力邊界條件就是物體邊界上點的平衡條件。設(shè)平面彈性體

24、在S上給定面力X、Y，它們是邊界坐標的已知函數(shù)；而應力分量x、y、z則是坐標的待求函數(shù)。它們之間的關(guān)系可由邊界上微元體的平衡條件求出。不失一般性，在物體的邊界上取一微元體(一般取為三角形微元，因為它可以描述任意曲線邊界)如圖2.8b)所示，它在平面問題中顯然是三角板(平面應力)或三棱柱(平面應變)。若令微元體邊界面外法線N與x軸和y軸夾角的方向余弦分別為cos(N,x)=l，cos(N,y)=m_；斜邊長為ds，兩直角邊長分別為dx和dy，微元體_的厚度仍取為1，則由圖2.18b)，根據(jù)力的平衡條件有 (2.4-3)xyl+ym=Y_xl+xym=X如當邊界平行于x軸時，有l(wèi)=0,m=

25、7;1。這時，式(2.2-7)則為_y=±Y， xy=±X (在S邊界上) (a)而當邊界平行y軸時，有l(wèi)=±1,m=0。這時，式(2.2-7)則為x=±X, xy=±Y (在S邊界上) (b) 由此可見，當物體的邊界線與某一坐標軸平行(或垂直)時，應力邊界條件變得十分簡單，即應力分量的邊界值就等于對應的面力分量，應力分量的符號取決于邊界面的外法線方向。當邊界面的外法線方向與坐標正向一致時，等式右邊取正號，否則取負號。但應注意，面力本身還有正負號。其規(guī)定與應力符號法則相同。對于三維問題，由力的平衡條件可得_xl+xym+xzn=Xxyl+ym+

26、yzn=Y (2.4-4)_xzl+yzm+zn=Z27第二章 應力狀態(tài)需要指出的是：在垂直x軸的邊界面上，應力邊界條件中不出現(xiàn)y，而在垂直y軸的邊界上不出現(xiàn)x。當作用在邊界面上的面力不連續(xù)時，應分段或展開成級數(shù)寫出其邊界條件；沒有給定位移的自由邊界，實際上是給定面力為零的應力邊界，不能遺漏。 3.混合邊界條件在一般情況下，若用S表示整個物體的表面積，則往往在其中一部分面積S上給出了面力，而在另一部分面積Su上給定的是位移。如圖2.9所示懸臂梁，固定端部分屬于Su部分，它給定位移而末給定外力；其余邊界均屬S部分，它的外力已給定 (包括外力等于零的部分)。顯然，在Su上各點應滿足位 移邊界條件式

27、(2.4-1)，在S上各點應滿足 應力邊界條件式(2.4-3)。對于混合邊界條件，可以分別給在邊界 面的不同區(qū)域上，也可以給在同一區(qū)域的不 同方向上。也即，對于邊界上的一個點，在 某一確定方向上，必須且只能給出Su和S中的一種，既不能同時給定，也不能同時不給 圖2.9 受均布載荷懸臂梁 定；而同點在兩個互相垂直方向止，可以是 其中一個為S ，另一個為Su。例21 如圖2.9所示的一矩形截面懸臂梁，跨度為l，梁上表面作用均勻載荷q。試寫出該問題的邊界條件。并檢查材料力學的應力公式是否滿足力的邊界條件。 解：由材料力學所得的應力分量為 x=-1) 梁的上表面y=h23qxy2Iz， y=0, xy

28、=-qxSIzz(a)處_X=0， Y=-q而 l=cos(N,x)=0, m=cos(N,y)=-1 代入力的邊界條件(2.4-3)，則解得yx=0， y=-q由上式可知，因為材料力學作了縱向纖維無擠壓的假設(shè)，無法算出y的分布規(guī)律。因此，材料力學的應力計算公式(a)結(jié)果并不滿足上表面y=-q的邊界條件。2) 梁的下表面y=-h2_處_X=0， Y=028_第二章 應力狀態(tài)而 l=cos(N,x)=-1， m=cos(N,y)=0代入式(2.4-3)后解得yx=0， y=0由上式可見，材料力學的應力計算公式(a)的結(jié)果滿足該邊界的力邊界條件，其中y=0是由材料力學的假設(shè)得出的。3) x=0的自

29、由端處X=0， Y=0又 l=cos(N,x)=-1， m=cos(N,y)=0代入式(2.4-3)后解得xy=0， y=0因此，在該邊材料力學的應力計算公式(a)的結(jié)果也滿足該邊界的力邊界條件。 4) x=l的固定端處因為固定端的外力分布沒有具體給定我們只能求出該端面上的合力和合力矩的大小。且固定端限制了梁的移動和轉(zhuǎn)動，所以該截面的位移邊界條件是很重要的。位移邊界條件可表示為u=0， v=0， _ux=0 或 vy=0 (在x=l，y=0處)有關(guān)這方面的內(nèi)容和處理方法將在后面的章節(jié)中詳細介紹。2.5 主應力、主切應力和八面體應力在受力物體內(nèi)一點任意方向的微小面元上，一般都有正應又和切應力，不

30、同方向的面元上這些應力有不同的數(shù)值。當此微小面元轉(zhuǎn)動時，它的法線方向N隨之改變，面元上的正應力和切應力的方向和它們的值也都要發(fā)生變化。在外法線方向不斷改變過程中，必然會出現(xiàn)面元上只有正應力，而切應力等于零的情況。把這時面元的法線方向N稱為主應力方向(主方向)，相應的正應力N稱為主應力，它所在的面稱為主平面。以下將說明，物體中任一點都有3個主應力和相應的3個主方向。1. 主應力在圖2.7中，如令px,py,pz為ABC面上單位面積面力的三個分量，則有22+pz (a) p2=px2+py29第二章 應力狀態(tài)將面元ABC上單位面積的三個分量px,py,pz投影到面元的法線方向N，即得面元ABC的正

31、應力為N=pxl+pym+pzn (b)將(2.3-2)式代入(b)式，并經(jīng)整理后則得N=xl2+ym2+zn2+2(xylm+yzmn+zxnl) (2.5-1) 式(2.5-1)即為任意法線方向N的斜面上正應力的表達式。該面上的切應力為222 N=p-N (2.5-2)將式(a)和式(2.5-1)代入上式(2.5-2)，可得法線方向為N的斜面上的切應力。 注意到l2+m2+n2=1 (2.5-3) 因而三個方向余弦并不是獨立的。現(xiàn)以N和n看成是l和m的、m為獨立變量，函數(shù)，并求(2.5-1)式的極值。因此，其一階偏導數(shù)應滿足 即xl+xym+zxn+(zxl+yzm+zn)nl=0xyl+

32、ym+yzn+(zxl+zym+zn)nm=0 (c)lN=0，Nm=0由式(2.5-3)可求得n對l和m的兩個偏導數(shù)為nl=-ln， nm=-mn (d) 將(d)式代入(c)式，并注意到(2.3-2)式，可得 pxl=pym=pzn 令其比值為N，則有px=Nlpy=Nm (e) pz=Nn式(e)說明，在正應力取極值的斜平面上，全應力投影與斜平面的方向余弦成正比，比值N當然是正應力，正應力投影就是斜平面上全部應力的投影，而切應力不存在，因此主應力(主平面)確實存在。 將 (2.3-2) 式代入(e)式，經(jīng)整理后得30第二章 應力狀態(tài))l+xym+xzn=0xyl+(y-N)m+yzn=0

33、 (2.5-4)xzl+yzm+(z-N)n=0(x-N或用張量符號寫為(ij-ijN)lj=0 (2.5-5) 此處ij為Ktonecker-，定義為 ij1=0i=jij在(2.5-4)式中，共有4個未知數(shù)，即l、m、n和N，但由(2.5-3)式知，l、m、n這3個方向余弦不可能同時為零，因此，(2.5-4)可看成是關(guān)于l、m、n的線性齊次方程組，而且應有非零解存在，由線性齊次方程組有非零解的條件可得到x-NxyyxzNxyxz-yzN=0yzz-展開上式得32-I1N+I2N-I3=0 (2.5-6) N其中 I1=x+y+z222+yz+xz) I2=xy+yz+zx-(xyxxyyy

34、zxzyzzI3=xyxz=xyz+2xyyzxz-(x2yz+yxz+zxy)22方程式(2.5-6)是一關(guān)于N的三次方程，它至少有一個實根。令其為3=z，該上yz=xz=0。這樣式(2.5-6)中剩下的應力分量只有x,y,xy，可由平面應力狀態(tài)理論求得其余兩主應力1、2以及它們作用的方向。這就簡單地證明了，在物體內(nèi)的任意一點，一定存在三個互相垂直的應力主平面，以及對應的三個主應力，它們的方向稱為應力主方向。 因為主應力1，2，3是方程(2.5-6)的根，按大小排列為1>2>3，它們分別位于三個互相垂直的主平面，且在主平面上切應力為零，所以式(2.5-6)也可改寫為31第二章 應

35、力狀態(tài)3N-(1+2+3)2N+(12+23+31)N-123=0由代數(shù)學可知，為保證此方程和式(2.5-6)的解相同，其系數(shù)應相同，出此可得三個系數(shù)為I1=x+y+z=1+2+3222I2=xy+yz+zx-(xy+yz+xz)=12+23+31xxyyyzxzyzzI3=xy=xyz+2xyyzxz-(x2yz+yxz+zxy)=12322xz由于在一定的應力狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點的主應力不會隨坐標系的改變而改變，所以式(2.5-6)所給出的系數(shù)I1，I2，I3分別稱為第一、第三、第三應力張量不變量，簡稱應力不變量。以主應力1，2，3的方向為坐標軸(分別記為1、2、3)的幾何空間，稱為主向空

36、間。在主向空間，(2.5-1)和(2.5-2)式則為N=1l2+2m2+3n2 (2.5-7) N=12l2+22m2+32n2-(1l2+2m2+3n2)2 (2.5-8) 2. 主切應力當在主向空間討論切應力N的變化時，(2.5-2)式可寫為22222222222=1l+2m+3n-(1l+2m+3n) (2.5-9) N由(2.5-3)可知n2=1-l2-m2 將n2用上式代替后，(2.5-9)式可得2222222222=(1-3)l+(2-3)m+3-(1-3)l+(2-3)m+3 N22為了求出N的極值，取N對l和m的偏導數(shù)，并令它等于零，這時有122l(1-3)l+(2-3)m-(

37、1-3)=02 (f)122m(1-3)l+(2-3)m-(2-3)=0232第二章 應力狀態(tài)滿足上式的解有以下四種情況：(1)l=0、m=0，由(2.5-3)式可得n=±，由(2.5-7)式得N=0，這是一主平面。(2)l0、m=0，由式(f)的第一式得 (1-3)(1-2l2)=0 因(1-3)0，故 l=±1212由式(2.5-3)可知 n=±該解表示通過2，并平分1、3所夾再的平面，如圖2.10a)所示。a) b) c) 圖2.10 主切應力平面 用同樣的方法可得 (3)l=0，m=n=±1212(4) n=0，l=m=±解(3)代表通

38、過1，并平分2、3所夾角的平面，見圖2.10b)；而解(4)代表通過2并平分1、3所夾角的平面，見圖1.10c)?，F(xiàn)將所有的解列于表2.2中。表2.2 切應力有極值的平面方位33第二章 應力狀態(tài)將以上所得到的l、m、n值代入式(2.5-9)中，可以得到所求方向的切應力的極值，這時有23=±23-1=± (2.5-10)21-2=±22-33112稱23、31、12為主切應力，這些主切應力所在的面如圖1.10所示，依據(jù)主應力大小的排列次序，則最大切應力max=12滿足下式所列條件1-32。且上式可知，顯然23、31、23+31+12=0注意，在主切應力所在平面正應力并不為零，它們分別為1+222+321+32，。3. 八面體應力當變形物體受載較大時，可能產(chǎn)生塑性變形。在塑性理論中，除要用到最大切應力外，還要用到正八面體的切應力?，F(xiàn)在主向空間取一如圖2.11a)所示的傾斜面，且該傾斜面的法線N與三個坐標軸呈等傾斜，即具方尚余弦為l=m=n根據(jù)(2.5-3