第十二章第8節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程ppt課件

1、程常系數(shù)齊次線性微分方第八節(jié)一、二階常系數(shù)齊次線性方程二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法：三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法四、小結(jié)及作業(yè)二階齊次線性微分方程二階齊次線性微分方程)(20 qyypy)()()(10 yxQyxPy二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程0510 yyy如如?:怎樣求解怎樣求解問題問題.)( 的的兩兩個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解關(guān)關(guān)鍵鍵是是求求 2則則的的解解是是如如果果,)()(2xyy 0 )()()(xqyxypxy,數(shù)數(shù)這要求應(yīng)是同一類的函這要求應(yīng)是同一類的函?什么函數(shù)什么函數(shù)一、二階常系數(shù)齊次線性方程一、二階常系數(shù)齊次線性方程,滿足要求滿足要求rxey :

2、,)(滿滿足足的的條條件件討討論論有有形形式式解解假假設(shè)設(shè)reyrx2將它代入方程(2)得0)(2 rxeqprr, 0 rxe)(302qprr;)(),(的的解解就就是是則則滿滿足足因因此此只只要要23rxeyr的特征方程的特征方程為為稱稱)()(23023 yyy如如特征方程特征方程0232 rr特征方程的根特征方程的根2121rr,是是方方程程的的根根。xxeyey2,1. 當(dāng)042qp時, 特征方程有兩個相異實根21r ,r則微分方程有兩個線性無關(guān)的特解,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為.2121xrxreCeCy)(20 yqypy對對于于特征方程特征方程)(302q

3、rpr特特征征方方程程的的根根,24221qppr的通解的通解論論下面就根的三種情況討下面就根的三種情況討)(22. 當(dāng)當(dāng)042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解1y)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定),2y 2y代入方程1xre)(1urup0uq02qrpr特征方程特征方程 :那么)2(211ururu 0)()2(1211 uqrprupru因為1r是特征方程的重根 , 故0 yqypy,0121qrpr021 pr0 u不防取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.1xre)(1xuexrxre

4、1, )(1uru xre1)2(211ururu ,24221qppr3. 當(dāng)當(dāng)042qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根,21irir這時原方程有兩個解xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 為了得到實數(shù)解, 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21212yyiyxexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法：二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法：qpyqypy,(0 為常數(shù) )02qrpr特征方程特征方程;2121xrxreCeCy根21, rr21rr 實根 2

5、1rr ;)(121xrexCCy,2pir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解例例1. 求方程求方程032 yyy的通解 . 解解: 特征方程特征方程0322rr有根,3,121rr因此原方程的通解為xxeCeCy321例例2. 求解初值問題求解初值問題0222stdsdtdsd,40ts20ttdsd解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為,)(21tetCCs利用初始條件得,41C于是所求初值問題的解為.)24(tets22C.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得, ir21

6、21，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3練習(xí)練習(xí)02564 yyy例例5例例 2000044)(,)(yyyyy)sincos(xCxCeyx44213通解通解xxey22特解特解三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應(yīng)項通解中的對應(yīng)項rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根,

7、 而特征方程的每一個而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項根都對應(yīng)著通解中的一項, 且每一項各一個且每一項各一個任意常數(shù)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211特征根為特征根為,irrirrr543211故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例6 6例例7. 求方程求方程052)4( yyy的通解. 解解: 特征方程特征方程052234rrr有根 :irrr21,04,321因此原方程通解為:xCCy2

8、1)2sin2cos(43xCxCex例例5. 解方程解方程0)4()5( yy解解: 特征方程特征方程045rr有根 :1,054321rrrrr原方程通解 :1CyxC223xC34xCxeC5( 不難看出, 原方程有特解),132xexxx22222442)(rrr例例8. 解方程解方程)0(0444wxdwd解解: 特征方程特征方程044r即0)2)(2(2222rrrr其根為,)1(22,1ir,)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步

9、驟:（1寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程;（2求出特征根求出特征根;（3根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達達式式實實根根21rr 實實根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 310812P習(xí)習(xí)題題.),)()(),)()()()(365421086421思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考題解答思考題解答, 0 y ,ln22yyyyy

10、,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 那么那么, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 設(shè)圓柱形浮筒設(shè)圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當(dāng)稍當(dāng)稍向下壓后突 然放開向下壓后突 然放開, ,浮筒 在水中上 下振動的浮筒 在水中上 下振動的s2周期為周期為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCC