第十一章習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂ppt課件

1、1 1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). .收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課習(xí)題課 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級(jí)數(shù)

2、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂2 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂ns(1) (1) 比較審斂法比較審斂法(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法0, 0nnvu設(shè)設(shè)nnvu 與與若若是同階無窮小是同階無窮小同同斂斂散散與與則則 nnvu特別特別 nnvu 若若（等價(jià)無窮?。ǖ葍r(jià)無窮?。┩瑪繑可⑸⑴c與則則 nnvu( (4 4) ) 比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )(5) (

3、5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )3 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法4 4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法Leibniz定理定理絕對(duì)收斂，條件收斂絕對(duì)收斂，條件收斂附：附：正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序 nu0nu nu發(fā)散發(fā)散NYnnuu1lim 1 Ynnvu 0nnulim N1 N改改用用它它法法Y nu收斂收斂 nv收斂收斂 nu發(fā)散發(fā)散 nu收斂收斂 nv發(fā)散發(fā)散 nu0nuN 發(fā)散發(fā)散 nuY斂斂 |nuY絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 nu 收斂收斂 nuN用檢比用檢比 法法用比較法用比較法用用L準(zhǔn)則或考察部分和準(zhǔn)則

4、或考察部分和N收斂 nuNY條件收斂條件收斂例例1求極限求極限nnnn 2!3lim 解解考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)考察正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnnnu2!3nnnnnnnnnnuu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由檢比法由檢比法 nnn 2!3收斂收斂由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得02!3lim nnnn二、典型例題二、典型例題例例2 設(shè)設(shè) 0lim anann試證試證 na發(fā)散發(fā)散證證不妨設(shè)不妨設(shè) a 0 由極限保號(hào)性知由極限保號(hào)性知N 時(shí)當(dāng)Nn 0 na由于由于01limlim ananannnn故由比較法的極限形式得故由比較法的極限形式得 na發(fā)散發(fā)散例例3 假假設(shè)

5、設(shè) nu nv都發(fā)散都發(fā)散 那那么么A )(nnvu必發(fā)散必發(fā)散B nnvu必發(fā)散必發(fā)散C |nnvu必發(fā)散必發(fā)散D以上說法都不對(duì)以上說法都不對(duì)例例3 3;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 1).0()1()2ln()2(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(li

6、mlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時(shí)時(shí)從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)收斂；,1110時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)發(fā)散；,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,)11()2ln(1 nnnn原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級(jí)數(shù)也發(fā)散原級(jí)數(shù)也發(fā)散斂斂？是是條條件件收收斂斂還還是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂？如如果果收收斂斂，是是否否收收判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1ln)1(nnnn例例4 4解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1

7、(11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnn即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂,ln)1(1級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)是交錯(cuò) nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上單單增增在在 ,ln1單單減減即即xx ,1ln1時(shí)單減時(shí)單減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂故原級(jí)數(shù)是條件收斂 na nc都收斂都收斂 且且nnncba 例例5 設(shè)設(shè) 試證試證 nb收斂

8、收斂證證由由 nnncba 知知nnnnacab 0因因 na nc都收斂都收斂 故正項(xiàng)級(jí)數(shù)故正項(xiàng)級(jí)數(shù) )(nnac收斂收斂再由比較審斂法知再由比較審斂法知 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) )(nnab收斂收斂而而nnnnaabb )(即即 nb可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)之和之和 )(nnab na故故 nb收斂收斂例例6 設(shè)設(shè) 0, 0 nnba且且nnnnbbaa11 假假設(shè)設(shè) nb收斂收斂 那那么么 na也收斂也收斂證證由題設(shè)知由題設(shè)知1111bababannnn nnbbaa11 而而 nb收斂收斂由比較法得由比較法得 na收斂收斂Cauchy積分審斂法積分審斂法設(shè)設(shè) 0)( xfy單調(diào)減

9、少單調(diào)減少)(nfun 那那么么 1nnu與與 1)(dxxf同斂散同斂散例例7 證證由由 f(x) 單調(diào)減少知單調(diào)減少知 11)()()1(kkkkukfdxxfkfu即即 nknnkkkudxxfu11111)(nnnSdxxfSS 1111)(故故 1nnu與與 1)(dxxf同斂散同斂散例例8 設(shè)設(shè) nu是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明試證明 )1(11 nnnuu收斂收斂證證記記11 nnnuuv那那么么011 nnnnuuuv且且11uuuvnnn 而正項(xiàng)級(jí)數(shù)而正項(xiàng)級(jí)數(shù) 11)(nnnuu的部分和的部分和 nknkknuuuuS1111)(又又 nu單調(diào)增

10、加且有界單調(diào)增加且有界故由單調(diào)有界原理知故由單調(diào)有界原理知 Aunn lim存在存在1limuASnn 即即 11)(nnnuu收斂收斂進(jìn)而進(jìn)而 111)(1nnnuuu收斂收斂由比較法得由比較法得 1nnv收斂收斂設(shè)正數(shù)數(shù)列設(shè)正數(shù)數(shù)列 na單調(diào)減少，級(jí)數(shù)單調(diào)減少，級(jí)數(shù) 11)1(nnna發(fā)散發(fā)散考察考察nnna)11(1 的斂散性的斂散性證證 記記nnnau)11( 由由 na單調(diào)減少單調(diào)減少0 na故由單調(diào)有界原理知故由單調(diào)有界原理知 Aann lim存在存在且且0 A假假設(shè)設(shè)0 A由由Leibniz審斂法得審斂法得 交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) 11)1(nnna收斂收斂 與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾0 A

11、nnnnnau 11limlim111 A由檢根法知由檢根法知 nnna)11(1 收斂收斂 例例9 知知 nunnln1lnlim0 nu證明證明收斂收斂 nu1 發(fā)散發(fā)散nu1 的斂散性不定的斂散性不定nu1 由由1ln1lnlim nunn知知對(duì)對(duì)1 NnN ,有有1ln1ln qnun nqunln1ln nqunlnln 證證例例10qnnu1 而而 qn1收斂收斂故由比較法知故由比較法知 nu收斂收斂 由由1ln1lnlim nunn知知NnN 當(dāng),有有1ln1ln rnun nrunln1ln nrunlnln rnnu1 而而 rn1發(fā)散發(fā)散故由比較法知故由比較法知 nu發(fā)散發(fā)

12、散如如pnnnu)(ln1 1ln)ln(lnlnlimln1lnlim nnpnnunnn但但收斂收斂時(shí)時(shí) nup1發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí) nup1 討論討論 1npnna的斂散性的斂散性), 0(常常數(shù)數(shù)ap 解解對(duì)級(jí)數(shù)對(duì)級(jí)數(shù) 1npnna|)1(limlim1aannuupnnnn 1| a 1npnna收斂收斂 1npnna絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1| a 1npnna發(fā)散發(fā)散 1npnna發(fā)散發(fā)散1| a分情況說明分情況說明例例11 1 a級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為 11npn1 p收斂收斂1 p發(fā)散發(fā)散1 a級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為 1)1(npnn1 p絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1 p條件收斂條件收斂例例12 對(duì)對(duì) ,的值，

13、研究一般項(xiàng)為的值，研究一般項(xiàng)為 nnnVn 2sin的級(jí)數(shù)的斂散性的級(jí)數(shù)的斂散性解解)(sin nnVn )sin()1(nn 由于當(dāng)由于當(dāng) n 充分大時(shí)，充分大時(shí)， )sin(n 定號(hào)定號(hào)故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù)整數(shù)整數(shù)當(dāng)當(dāng) 為何值為何值無論無論 總有總有|)sin(|lim|lim nVnnn 0|sin| 0lim nnV級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散整數(shù)整數(shù)當(dāng)當(dāng) nVnnsin)1( 時(shí)當(dāng) n nsin非增地趨于非增地趨于 0 由由Leibniz審斂法知審斂法知 1nnV收斂收斂但但 |sin|lim1|lim nnnVnnn而而 11nn發(fā)散發(fā)散故由比較法的

14、極限形式故由比較法的極限形式時(shí)當(dāng)0 1sinnn 發(fā)散發(fā)散 1nnV條件收斂條件收斂0 0 nV級(jí)數(shù)顯然收斂級(jí)數(shù)顯然收斂 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使 收斂必須收斂必須 nu0nu但在一般項(xiàng)趨于但在一般項(xiàng)趨于 0 的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，的卻發(fā)散，0nu因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式包括極限審斂法則基本，但其極限形式包括極限審斂法則更能說明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來也更有效更能說明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來也更有效的階的階問題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于問題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂

15、與否取決于關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂nnnuu1lim 和和nnnu lim作為作為nu變化快慢變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)作比較，雖然使用起來較方便但都會(huì)遇到作比較，雖然使用起來較方便但都會(huì)遇到“失失效的情況。效的情況。 收收斂斂收收斂斂nnuu |這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定級(jí)數(shù)的斂散性判定注注比較法、比較法的極限形式、檢比法、比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)方檢根法、積分審斂法，只能對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)方可使用可使用的一種估計(jì)的一種估計(jì)檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件L準(zhǔn)則也是充分條件而非必要條件準(zhǔn)則也是充分條件而非必要條件通項(xiàng)