指數(shù)及對數(shù)的意義詳解

1、指數(shù)與對數(shù)先復(fù)習(xí)國中學(xué)過的指數(shù)概念和指數(shù)律，包括1. a 0, n是正整數(shù)，an的意義n mn m2. a a a .na n _m3. - = a , n m 0.a4. 賦予a0 =1,以符合3.15. 賦予a上二-k，k為正整數(shù)，以符合3.a6. 更廣的指數(shù)律:n、mnm(a ) a .an bn =(ab)n.17. n是正整數(shù)，an的意義例如：1n = 2時，a = a = 2. a .1n = 3時，a3 = 3 a .1一般正整數(shù)，an = n a.18. n是正整數(shù)，a n的意義例如：1 爲(wèi).1師(T):今天我們要上指數(shù)函數(shù)，在讀指數(shù)之前，同學(xué)們可能聽過馬爾蕯斯 (176618

2、34)主張的人口學(xué)原理，他認為人口是以等比數(shù)列的方式增加的。 比方說，一年以后人口變成2倍，二年以后人口變成4倍，三年以后人口 變成8倍。生(S):這不太可能吧！像臺灣，就以2300萬人口來說好了。一年后變成2倍 就是4600萬，二年后變成4倍就是9200萬，三年后變成8倍就是18400 萬。3年后有幾乎2億的人口，可能嗎？T :這里說的變成2倍、4倍、8倍，只是強調(diào)人口的增加是一個等比數(shù)列的形 式，倒沒有說一定是一年變成2倍，這里要說的是在某一個時段(例如：10 年)變成2倍，再過一個時段(10年)又從2倍變成4倍。也就是說三個時 段(30年)之后，就會變成8倍。當(dāng)然就歷史來看人口的變化，馬

3、爾蕯斯的 論點是不對的。不過我們不妨假想有某一種以等比數(shù)列的方式繁殖的細菌， 這種細菌繁殖力超強，每一小時的“細菌口”會變成2倍。因此3小時后，就會變成8倍。S : 那,半小時以后，會變成幾倍呢 ？T :這個問題很好，如果我先告訴你的是：細菌數(shù)在3小時以后會變成8倍， 那么你覺得1小時以后會變成幾倍呢？S :當(dāng)然是2倍！T :對，如果用指數(shù)來表示，是不是說238 ,或是說，人家問你：x3 = 8 , x是多少？你的回答是x =2.是不是這樣？S : 了解！如果把半小時后細菌數(shù)目的倍數(shù)設(shè)成 x,那么因為已知1小時之后， 細菌數(shù)會變成2倍，而1小時代表兩個半小時的時段，所以x2 =2.這樣想，對嗎

4、？那x應(yīng)該是.2 ,也就是說，半小時以后，細菌數(shù)會變成 .2倍。T :沒錯，我們可以將半小時設(shè)為一個時段，而經(jīng)過這一個時段，細菌數(shù)增加為2倍，因此一小時之后，也就是兩個時段之后，細菌數(shù)就會變成 2 -2=2倍。如此說來，3小時以后，用剛才半小時的時段來看，會變成幾倍呢？S :讓我想想，三小時相當(dāng)于6個半小時，因此細菌數(shù)應(yīng)該變成 6個2相乘，、2，2 '222、2=22 2=8，三小時以后仍然變成 8倍。T :我們應(yīng)該記成(、 2)6 = (22)6 = 23 = 8。S :所以無論是想成1小時后變成2倍，或是半小時后變成邁倍，3小時后都 是變成8倍。前者是計算三個時段，每一個時段 2倍

5、，23 =8 ;后者是計算6個時段，每一個時段.2倍，(、2)6=8T :那我再問你：如果一小時變成2倍，那么20分鐘，也就是-小時，應(yīng)該變3成幾倍呢？S : 1小時是3個20分鐘，如果經(jīng)過20分鐘，細菌數(shù)變成x倍，就代表1小時 后變成x3=2倍。解x, x = 21/3。1/3T :剛才提到、2，近似值是1.414。請問，2的近似值是多少？S :21/3當(dāng)然比21/2小，我覺得21/3至少大于1.2,因為(1.2) 1.728,不足2,而(1.3)2.197,超過2。所以21/3應(yīng)該介于1.2和1.3之間，亦即1.2 : 21/3 <1.3.T :如果把15分鐘看成一個時段，細菌數(shù)又應(yīng)

6、該變成幾倍呢?S : 1小時是4個15分鐘，如果每15分鐘，細菌數(shù)變成x倍，4個15分鐘后, 細菌數(shù)應(yīng)該變成x4倍，方程式是x4=2,亦即T :你能估計21/4嗎？x =21/4S :老師，如果繼續(xù)下去，比方說，如果分別把 10分鐘、5分鐘、2分鐘、1分鐘各看成一個時段，那每個時段細菌數(shù)的增長倍數(shù)是幾倍?T :我們可以列一個表時段長小時數(shù)(h)細菌數(shù)增長倍數(shù)60分鐘12-21120分鐘24 = 22180分鐘38 = 2330分鐘1/221/2 "41420分鐘1/3o1/32黑15分鐘1/4o1/4210分鐘1/6o1/625分鐘1/12o1/122 &2分鐘1/30o1/

7、302 &1分鐘1/60o1/602a-60分鐘-12=1/2-30分鐘-1/2121/72-1分鐘-1/6012化1朋0分鐘02° =17分鐘7/602?/60比方說，以1分鐘為一個增長時段來看，如果細菌數(shù)增長為x倍，則因一小時是60分鐘，所以x60 2，亦即x = 21/6°。在上面的表中，你可以發(fā)現(xiàn)最右 邊這一行增長倍數(shù)之間的關(guān)系。你可以用任何時段作基準，例如你如果用5分鐘作基準，并且假設(shè)每經(jīng)過5分鐘，細菌數(shù)變成u倍，則10分鐘之后會變1成U2倍，而1分鐘之后會變成u5倍。上面這個表是以60分鐘或1小時為基 準作的。因此，如果左邊的時數(shù)以小時為單位計是h小時的

8、話，最右邊這一行的增長倍數(shù)就是2h，讀作2的h次方，h可以是2, 3也可以是1/2, 1/3 < h甚至可以是負數(shù)或0. h如果是0,就代表開始的那一刻，細菌數(shù)是 1倍，亦即 22° =1.S :基準是可以換的。如果用1分鐘為基準來觀察，1分鐘增長21/6°倍，所以5 分鐘就會增長(21/6°)5 =21/12倍，完全符合上表。T :是的，如果你愿意以1分鐘為基準，你就可以求出經(jīng)過7分鐘以后細菌增長 的倍數(shù)，應(yīng)該是多少呢？S : (21/6° )7二27/6°應(yīng)該就是7分鐘以后增長的倍數(shù)。這個數(shù)字看起來蠻難看的， 而且說實話，我感覺不出來

9、它的大小，只能說一定大于1,不過7分鐘以小時為單位就是7/60小時，在表上代表h=7/60，增長的倍數(shù)是2h。T :不知道你有沒有注意這個細菌繁殖的模型是很特別的。它的特性是只要經(jīng)過1小時，就會增長2倍。不管是10點到11點還是第二天的下午3點到4點, 也就是說無論是經(jīng)過1分鐘，或是經(jīng)過任何一個時段，只要經(jīng)過的時段等長， 增長的倍數(shù)都是一樣的。所以若是先經(jīng)過 x小時，再經(jīng)過y小時，增長的倍 數(shù)和經(jīng)過x y小時一樣，亦即2x2y-2這就是指數(shù)律的基本意涵。不僅如此，這樣的想法還可以倒敘，也就是說x小 時以前，是現(xiàn)在的2倍，正如x小時以后，是現(xiàn)在的2x倍，亦即有等比例的 關(guān)系2:1 =1: 2x,

10、這也是指數(shù)的基本性質(zhì)，或者說負指數(shù)的意義。我們可以把上表加上一些負 的時間代表之前，上表右列依然是2h的形式。T :你現(xiàn)在應(yīng)該可以從上面這個表看出更多一點訊息，就以中間這行來說，以h代表繁殖時所經(jīng)過的小時數(shù)，而右邊這一行，代表經(jīng)過 h小時的繁殖以后， 細菌所增長成的倍數(shù)，這個倍數(shù)與時段 h的關(guān)系是2h。但是不要忘了這個模 型的基本特征是，當(dāng)h=1時，細菌將增長為2倍，我們可以用下圖來表達 y=2x， x代表經(jīng)歷的時段h， y代表x時段后，細菌將增長為2x倍。X + z1(函數(shù)圖形y-f(x)-2還有一個上凹的特質(zhì)，亦即f()_(f(x) f(z)等號成立時，代表x = Z 0 )S :1當(dāng)你對

11、所有的時段X都賦予2X時，如果X是剛才讀的這種有理數(shù)，例如：-,n1我可以了解21/n代表2的n次方根；或是m/n,我可以了解2m/n代表(2n)，1或是2m的n次方根，(2m)n.如果x不是有理數(shù)呢？T :你難道不覺得已經(jīng)有這么多的有理數(shù) X,若是能對這些X將函數(shù)圖形上(x, 2X)點出，這么多的點，難道還不能描出一個函數(shù)圖形嗎？比方說，如果1 2將X取成，川，即以分母為100的有理數(shù)，在0到1之間，就已經(jīng)有100 100了 100個點，即一位和二位小數(shù)從 0.01到0.99,在1到2之間有1.01到1.99,或者你也可以想想，將x取成分母為1000的有理數(shù)，亦即從0.001 到0.999等

12、等或是1.001至U 1.999等等。S :但是數(shù)在線的點x，當(dāng)不只是有理數(shù)而已，我記得在讀數(shù)系的時候，老師特別提到數(shù)在線的點，除了分數(shù)(有理數(shù))之外，還有許多無理數(shù)，例如3,、5等等。T :我剛才提到分母為100或1000的有理數(shù)，其實是指十進制制中的有限小數(shù)這些小數(shù)夠多，但是很有趣的是，他們并不包括循環(huán)小數(shù)，如1/3或1/7.當(dāng) 然也不包括-2， , 3這類無理數(shù)。但是他們（十進制小數(shù)）在數(shù)在線夠密，并且是所有科學(xué)界或工程界所用的度量是量出來的，精確性的要求就是看幾位小數(shù)，例如：毫米是 是10,奈米是10*回到你剛才提到的2x我們以2“來說明，請看下面這個表2221.7 =3.249009

13、585 川1 732 .=3.31727818321.732 二 3.32188009621.7320 =3.321880096)1121.73205 =3.321995226|21.732050 =3.321995226 "21.7320508 =3.321997068)11數(shù)對一個物理學(xué)家或是工程師而言，10*，微米,x非有理數(shù)怎么理解的問題，22 =421.8 = 3.482202253川1 742 . =3.340351678|121.733 二 3.324183446HI21.7321 = 3.322110360川21.73206 =3.322018252)1121.732

14、051 =3.321997529)1121.7320509 = 3.321997298|1我們可以看到2”的近似值是3.321997，比24要小，但是比21.5 = 2.828要 大。我想說的是對所有的變量x, 2x都是有意義的，當(dāng)x是有理數(shù)時，2x有非常 具體的意義。但是當(dāng)x是無理數(shù)時，2x就只能以近似或逼近來表達。無論要 求多么嚴格的精準度，都是可以辦到的，上面對于的計算充分的說明了這 一點。但是我更要強調(diào)的是這個函數(shù)的意義以及它內(nèi)在所具有的指數(shù)律，2x y遼空或者2u =2u公.就學(xué)習(xí)時必須掌握的抽象層次來說，指數(shù)律是最要緊的，而在計算時亦不可或缺。例如我剛才寫下21.5就是靠指數(shù)律2仁

15、5 二?1 七5 二?1 20.5 =2 V2 肚 2 1.414 =2.828.又譬如0.50.52 衛(wèi).5 2_fcl_070720.5 - 20.5 2°.5 一 22換句話說，計算的時候，指數(shù)律是無所不在的。S :剛才老師花了不少時間解釋，我想說的是以細菌繁殖的模型來說，經(jīng)過1小時，變成2倍。剛才討論了很多1小時，3小時，甚至于-1小時細菌數(shù)的倍數(shù)。我是不是也可以問，經(jīng)過.3小時，細菌會變成幾倍呢？由于".73211(,所以前面的表，就說明如何透過21.7,21.73,21.732川來了解2 ：是這樣的意思吧!T :沒錯，只要你問出：x小時后，細菌數(shù)會變成幾倍？我們

16、就必須規(guī)規(guī)矩矩來 回答2x等于多少。在一開始的時候，x=2 ,所以我們說2x=21/2- 2,但是不要忘了，' 2倍還是必須用近似值1.414211|來說才比較有感覺。這就好像你先前說27/60這樣的倍數(shù)，那是當(dāng)時段經(jīng)過 7分鐘以后，細菌的倍數(shù)。但是誰能 很快回答27/60的近似值是多少呢？就指數(shù)律來說，是不在乎x是不是無理數(shù)的。因為假設(shè)經(jīng)過u小時，系數(shù)是2u，則將u小時分成二個時段，u-v和v小 時，貝U當(dāng)然有2u =2u-2v.不但無關(guān)u是否有理數(shù)，并且也無關(guān)v等于多少，例如：_-2_ 2 4_2 =2 2,2不=2、尹指數(shù)與對數(shù)(2)-指對數(shù)的應(yīng)用存戶將錢存入銀行，有如銀行向存戶

17、借錢，應(yīng)該支付利息。利息與本金之比 稱為利率。早年景氣好的時候，利率相對也高，年利率6%常可見。亦即每存入100元，一年以后可以獲利6元。獲利6元之后，若是續(xù)存，本金已經(jīng)變成 106元，因此再過一年，便可獲利6.36元，比前一年的利息多0.36元；這多出 來的0.36元，其實正是來自前一年的6元利息再乘上6%如此利上加利的計息 方式，稱為復(fù)利。不難看出，n年之后，這100元會變成100 (1 0.06)n式中重要的是(1 0.06)n這個倍數(shù)。若取n =12,略作計算，可以得出(1.06)12,剛好超過2.亦即只要12年， 本利和就能變成2倍。一般人看到這么快就會變成2倍，不免懷疑，因為若以單

18、 利思考，100元的本金在12年后，6%勺利率只能產(chǎn)生72元的利息。下文先說明 在計算機未發(fā)明之前“手工業(yè)者”如何計算 (1.06)12。我們先把(1.06)12想成是10x , 然后解x。注意到此處的x只是一個小數(shù)。對(1.06)12取以10為底的對數(shù)，立刻 得出x =12log(1.06).從任何一本高中數(shù)學(xué)課本所附的對數(shù)表可以查出log(1.06) =0.0253,因此，x =12log(1.06) = 0.3036 ,所以基本上(1.06)12 =100.3°36.再查一次對數(shù)表得到2=10°.3010.比較等號右邊10的指數(shù)得出(1.06)12 2 ,并且看出(1

19、.06)12只比2大一點點(因為指數(shù)0.3036略大于0.3010)。如果是當(dāng)下 現(xiàn)在，只要按幾下計算機中所附的計算器，輕易可得(1.06)12 =2.012196 山.這是不是讓手工業(yè)者瞠目結(jié)舌，而覺得弗如遠甚呢？當(dāng)然手工業(yè)者有他們的說法一他們步步為營小心計算，完全知道自己在干什么，不像用手直接按下(1.06)12就可以跑出2.012196IH。誰知道計算機內(nèi)部真正 的機制？誰能說這不是黑箱作業(yè)呢？但是仔細深究，手工業(yè)者不也是要查表才知道log(1.06) = 0.0253和100'301 2 嗎？要如何才能靠手算得到，譬如說，log(1.06)呢？看起來手工業(yè)者和手 按者之間似乎差

20、別不大，不過如果真的差別不大的話，對數(shù)這個議題就不必擺 在高中數(shù)學(xué)教材中了。這是因為學(xué)習(xí)對數(shù)在高中最主要的功能就是幫忙分析上述 這一類的連乘積。包括下面這個典型的題目：250在十進制系統(tǒng)中是幾位數(shù)？我們再來看看手工業(yè)者怎么處理這個問題吧！同樣的，令250 =10x,兩邊對10取對數(shù)，得到x = 50log 2 .查表，log 2 =0.301,因此x = 15.05.回到250 =10x =1015.05 =100.05 1015,由于(根據(jù)查表)100.05不到1.13，因此250是一個16位數(shù)，最高位的數(shù)字是1。至于手按者要回答這個問題就更加快捷，他甚至可以把這 16位數(shù)字全部寫 給你，而手工業(yè)者即使要回答250的10位數(shù)還得另外作計算，此時對數(shù)是派不上 用場的。結(jié)論是高中生辛辛苦苦花了這么多的時間學(xué)對數(shù)，到頭來，碰到問題還是得靠計算機，一如許多學(xué)過的數(shù)學(xué)，誰都知道這輩子再也派不上用場， 可是就好像 國王的新衣一般，總覺得一定要披點什么，才有國王的架