二節(jié)數(shù)量積向量積混合積-資料 ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積* *混合積混合積 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積1/19 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點點1M移移動動到到點點2M，則則力力F所所作作的的功功為為 21MM實例實例一、數(shù)量積一、數(shù)量積FjMMMM 21Pr|21.cos|21 MMF的的夾夾角角。與與為為其其中中 21MMF 21Pr|MMjFWFF a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積 ba 是一個數(shù)是一個數(shù) cos| baba(其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)。 定義定義 易易知知.Pr|bjaa ajbbabPr| ab 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積、點積、“

2、內(nèi)積內(nèi)積.數(shù)量積的性質：數(shù)量積的性質：.|)1(2aaa 0)2( ba.ba 數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：1 1交換律：交換律：;abba 2 2分配律：分配律：),()()(bababa ).()()(baba ）（由由 cos|baba;)(）（）（cabacba 式式：推推導導數(shù)數(shù)量量積積的的坐坐標標表表達達)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ),(),(zyxzyxbbbaaaba 數(shù)量積的坐標表達式數(shù)量積的坐標表達式)()()()()()(kbiajbiaibiazxyxxx )()()()()()(kbjajbjaibjazyyyxy )()()()()()(kb

3、kajbkaibkazzyzxz .bababazzyyxx .bababazzyyxx ba又又,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式 ba0 zzyyxxbababa cos|baba zzyyxxbabababa 由由例例1 1 已已知知 ）（4, 1 , 1 a，）（2 , 2, 1 b，求求（1） ba ；（2）a 與與 b的的夾夾角角；（3）a 在在 b上上的的投投影影. 解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaaba

4、baba ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 設設 A(-1,2,3)、B(1,1,1)、C(0,0,5)，證證明明： ABC為為直直角角三三角角形形。 證證,2, 1, 2 ）（ AB,2 , 2, 1）（ AC,4 , 1, 1）（ BC，有有0 ACAB為為直直角角三三角角形形。ABC ，從從而而 ACAB 證畢。證畢。 設設 O 為為杠杠桿桿 L 的的支支點點，力力 F作作用用于于杠杠桿桿上上 P點點處處 F與與 OP 的的夾夾角角為為 ， F對對支支點點 O 的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模 N sin|FOP 實例實例二、

5、向量積二、向量積LFPQO |F|OQ| |OP|PN|M| M的方向垂直于的方向垂直于OP與與F所決定的平面，且所決定的平面，且OP、F、M符合符合右手規(guī)則右手規(guī)則。 sin|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角) 定義定義向量積的性質：向量積的性質：ba)2(/. 0 baa與與b的的向向量量積積ba 是是一一個個向向量量， . 0)1( aa符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則。、所所決決定定的的平平面面，且且與與的的方方向向垂垂直直于于 babababa abba ”。”、“向向量量積積又又叫叫做做“外外積積叉叉積積向量積的運算律：向量積的運算律：1交換性：交換性：. abba 2分配律

6、：分配律：.)(cbcacba ).()()(bababa .)(cabacba 數(shù)數(shù)：若若為為 ）（3式式：推推導導向向量量積積的的坐坐標標表表達達)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式)()()()()()(kbiajbiaibiazxyxxx )()()()()()(kbjajbjaibjazyyyxy )()()()()()(kbkajbkaibkazzyzxz kbayx)( )(jbazx )(kbaxy ibazy)( )(ibayz jbaxz)( ijk ba向量

7、積可用三階行列式表示向量積可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa ibbaazyzy jbbaazxzx kbbaayxyx 向量積的幾何意義向量積的幾何意義|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰 邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積. 由向量積的坐標表達式知：由向量積的坐標表達式知：ab ）（由由 sin|baba例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量. 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.5152 kjc e 所求單位向量為所求單位

8、向量為)5 ,10, 0(551 ）（51,52, 0 已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .例例)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 解解內(nèi)容小結內(nèi)容小結設設1. 向量運算向量運算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點積點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積叉積:kjixayazaxbybzbba結果是數(shù)量；結果是數(shù)量；結果是向量；結果是向量；2. 向量關系向

9、量關系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba定義定義稱稱cba )(為為a、b、c的的混混合合積積，記記為為cba. . cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,）（zyxaaaa ),(zyxbbbb 設設),(zyxcccc 坐標表達式坐標表達式* *三、向量的混合積三、向量的混合積則有則有注：注：|cba|表表示示以以a、b、c為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積. 向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義：a、b、c共面共面 . 0 cbaacbba 例例 5 5 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點已知空間內(nèi)不在一平面上的四點 ),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面體求四面體的體積的體積. 解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC