下冊因式分解幾乎所有方法添項等

1、因式分解的方法教學內容：因式分解方法1. 提取公因式法：例：將 2x3n_20x2ny3+50xny6分解因式.解：原式=2xn(x2n/0xny3+25y6) =2xn(xVy3)22. 公式法：2 2a2-b2=(a-b)(a+b)2 2 2a2+2ab+D =(a±3)23 322a +b =(a+b)(a -ab+b )3 322a -b =(a-b)(a +ab+b )例：64x6 _y12解：原式=(8x3+y6)(8x3-y6)=(2x+y2)(4x2xy2+y4)(2y2)(4x2+2xy2+y4)3. 分組分解法：例：(am+bn)2+(an-bm)2+c2m2+c

2、2n2解：原式=a2m2+b2n2+2abmn+a2n2+b2m2-2abmn+c2m2+c2n2=a2m2+ b2n2+ a2n2+b2m 2+c2( m2+n2) =(m2+n2)(a2+ b2+c2)4. 十字相乘法：例：12x2+iOxy42x+5y-9解：原式=12x2+(i0y/2)x+5y-9/原式=(2x+1)(6x+5y-9)5. 拆添輔助項法：例：分解因式x3+3x24解：把-4拆成(4) + ( -3).原式=x3+3x2 A 3=(x3/)+3(x2_1) =(x X)(x2+x+1)+3( x)(x+1)2 2=(x X)(x2+4x+4)=(x/)(x+2)26.

3、配方法：例：將 x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2分解因式.解：原式=(x4+2x2y2+y4) £(x2+y2)z2+zJx2y2 =(x2+y2)2 -2(x2+y2)z2+z4 -4x2y2 =(x2+y2-z2)2-(2xy)22 2 2 2 2 2=(x +y -z +2xy)(x +y -z -2xy) =(x2+y2)2-z2(x2-y2)z22 2 、， 2 2 、， 2 2 、， 2 2 、 =(x +y +z)( x +y -z)( x -y +z)( x -y -z)7. 換元法：例：(x2+3x-2)(x2+3x+4) V6解：令 x2+3x

4、=y則原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24 =(y+6)(yY)2 2=(x +3x+6)(x +3x-4)2=(x2+3x+6)(x+4)(xd)8.待定系數法:例：分解因式 x2+2xy-8y2+2x+14y-3解：2 2-x +2xy -8y =(x -2y)(x+4y) 設原式=(x_2y+m)(x+4y+n)2 2=x +2xy-8y +(m+n)x+(4m -2n)y+mn比較系數得：嚴=3n=-1E+n=2m -2n=14解得：n=-3原式=(x -2y+3)(x+4y-1)分組分解因式的幾種常用方法.1 .按公因式分解例1分解因式7x 2-3y+xy+21x.分析

5、：第1、4項含公因式7x，第2、3項含公因式y(tǒng)，分組后又有公因式(x -3),解：原式=(7x 2 -21x) +(xy - 3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x -3)(7x + y).2 .按系數分解例2分解因式x 3 +3x 2+3x + 9 .分析：第1、2項和3、4項的系數之比1 : 3，把它們按系數分組.解；原式=(x 3 +3x 2)+(3x + 9)=x 2(x +3) +3(x + 3)=(x + 3)(x 2+3).3 .按次數分組例 3 分解因式 m2+2m n -3m -3n+n 2 .分析：第1、2、5項是二次項，第3、4項是一次項，按次數分組后能用公式和提取公

6、因式.解：原式=(m 2 +2m n +n 2)+( -3m -3n)=(m+n)2 -3(m + n) = (m+n)(m+n -3).4.按乘法公式分組例4分解因式a2-b2-ac-blc2分析：第1、3、4項結合正好是完全平方公式，分組后又與第二項用平方差公式.解：愿式=(a2 - ac- 護=(a - b2 = (a - ；- c - bXa _十 b)*5 .展開后再分組例 5 分解因式 ab(c 2+d2) +cd(a 2+b 2).分析：將括號展開后再重新分組.+ad)=解：原式=abc + abd + cda 十 cdb = (abc+cda ) + (cdb+abd ) =

7、ac(bc+ad)+bd(bc(bc +ad)(ac +bd).6 .拆項后再分組例6分解因式x2 -y 2+4x + 2y +3 .分析：把常數拆開后再分組用乘法公式.-y+3)解：原式=x -y +4x+2y+4-1=(x+4x+4)+(- y + 2y - 1)=(x+2)-(y -1) =(x+y+1)(x7 .添項后再分組例7分解因式x4 +4 .分析：上式項數較少，較難分解，可添項后再分組.解：原式=x 4+4x 2-4x 2 +4=(x 2+2) 2-(2x) 2=(x 2 +2x+2)(x2 -2x+2)二、用換元法進行因式分解用添加輔助元素的換元思想進行因式分解就是原式繁雜直

8、接分解有困難，通過換元化為簡單，從而分步完成.例 8 分解因式(x 2+3x -2)(x2+3x+4)-16 .分析：將令y=x 2+3x，則原式轉化為(y -2)(y+4)-16再分解就簡單了.解：令y=x 2 +3x，則原式=(y -2)(y +4) - 16=y 2 + 2y -24=(y+6)(y-4).因此，原式=(x 2+3x+6)(x2+3x -4)=(x - 1)(x+4)(x2+3x +6).三、用求根法進行因式分解例9分解因式x 2 +7x+2.分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求該多項式對應方程的根再分解.解；解方程護+ 7盟+2 = 0可

9、韻二=何一 + 冷 + 2 =Xx+；四、用待定系數法分解因式(x+b 1 )(x+b2)，將其展開得例10 分解因式+6x -16 .分析：假設能分解，則應分解為兩個一次項式的積形式，即x2+(b i +b 2)x 十 bi b 2 與 x2 +6x -16 相比較得 b1+b 2 =6 , bi b2= -16，可得 b i, b2 即可分解.解：設 x2+6x - 16=(x+b1)(x+b2)2 2則 x +6x - 16=x+(b 1 +b 2)x+b 1 b29二 x2+6x - 16=(x-2)(x+8)活用配方法分解因式應用配方法分解因式，常能將多項式配成M 2 - N 2的形

10、式并應用開方差公式分解例1分解因式4a2 9b212a 6b 8分析 第一、三項，第二、四項分別結合后再配以恰當的常數分別構成完全平方公式，進而兩者又構成一平方差，因 此拆常數項8 =9 -1即可.2 2解：原式=(4a12a 9) - (9b -6b 1)-(2a 3)2 -(3b -1)2-(2a 3b 2)(2a -3b 4)4224例2分解因式m m n n分析 此式中各項均為平方式，可采用添項法將式中某一部分配方，構造平方差公式解：原式 =(m4 2m2n2 n4)-m2n2=(m2 n2)2 _(mn)2 = (m2 n2 mn)(m2 n2 _ mn)例 3 分解因式 t - 2

11、(m n)t mn(m 2)(n 2)2 2 2分析 將多項式中前兩項t _2(m - n)t進行配方，添上(m n) -(m n)即可分組分解.2 2 2解：原式二 t 一 2(m n)t (m n) -(m n) - mn(m - 2)(n2)2 2 2 2二t(m n) (m n) mn 2mn(m_n)4mn222二(tmn) (mn)2(mn) mn (mn)2 2=(t _ m _ n) _(m _ n mn)=(t-2n mn)(t-2m-mn)42224例4分解因式(a b) (a - b ) (a b)分析：此題中只含 a b和a - b兩個式子，可分別運用和差換元后再考慮配

12、方.解：設 a b = s, a b = t，貝U42丄2 丄442丄2丄42丄2原式二 s s t t = (s 2s t t ) 一 s t2 2 2 2=(s t )-(st)2 2 2 2=(s t st)(s t -st)2 2 2 2-(a b) (a-b) (a b)(a -b)( a b) (a-b) -(a b)(a-b)=(3a2 b2)(a2 3b2)4例 5 分解因式(1 b) - 2a (1b ) a (1 - b)分析此多項式首末兩項是完全平方式，可考慮對其進行配方解：原式=(1 b)22(1 b)a2(1 -b) a4(1 -b)2 -2a2(1 b2) -2(1

13、 b)a2(1 -b)2 2 2 2 2-(1 b) a (1 b) 2a (1 b )(1 b )2 2 2 2-(a -ab b 1) -(2a)2 2 2 2-(a -a b b 1 2a)(a -a b b 1 - 2a)2 2 2 2= (a 1) -b(a -1)(a -1) -b(a -1)= (a 1)2 -b(a 1)(a -1)(a -1)2 -b(a 1)(a -1)-(a 1)(a 1 -ab b)(a -1)(a -1 - ab - b)例6分解因式m4n4 (m n)4分析 將(m n)4化為(m2 - 2mn n2)2，再將m4 n4化為(m2 n2)2 -2m2

14、n2，創(chuàng)造用完全平方公式 分解因式的條件，便可達到將原式分解因式的目的解：原式二(m4 2m2n2 n4) -2m2n2 (m n)222 2 2 2 2 2 2 2=(mn )_2m n(m2mnn )二(m2n2)2-2m2n2(m2n2)24mn(m2n2) 4m2n2二 2(m2 n2)22(m2 - n2) mn (mn)22 2 2 =2(m n mn)因式分解是代數中的重要內容，在學習中如何進行小結與復習？一按照一提、二公式、三分組、四檢查 ”的步驟，效果良好.2 從多項式的項數分析，除提取公因式法外， 若多項式是兩項式，可能用什么方法？(答：平方差、立方和、立方差公式.) 若多項式是三項的可能用什么方法？(答：完全平方公式或十字相乘法.) 四項以上的多項式用什么方法？(答：分組分解法.)課后練習1填空題(1) 如果(一1-b) Mk b2 1 貝U Mk.(2) 若 x + ax + b 可以分解成(x + 1) (x 2),則 a =, b =(3) 若9x2 + 2