定積分換元法與分部積分法ppt課件

1、4 定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法與分部積分法定理定理 假假設設（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)；（3 3）當當t在在區(qū)區(qū)間間, 上上變變化化時時，)(tx 的的值值在在,ba上上變變化化，且且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、定積分換元法一、定積分換元法運用換元公式時應留意運用換元公式時應留意:“換換元元同同時時換換限限”的的改改變變。時時，積積分分限限也也相相應應換換成成新新變變量量把把變變量量用用txtx)()1( 然然后后相相減減就就行行了

2、了。入入的的積積分分上上、下下限限分分別別代代數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量的的函函變變換換成成原原變變量量計計算算不不定定積積分分那那樣樣再再把把后后，不不必必象象的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)求求出出)()()()()()2(ttxttttf 例例1 1 求以下定積分求以下定積分 11ln1exdxx 、11(1ln )exdxx 1(1ln ) (ln )ex dx lnux 令令 (1)0, ( )1uu e 10(1)u du 120112u32 cos202sinxexdx 、cosux 令令 2(0)1, ( )0uu 01ue du 10ue 1ecos20cosxedx 10u

3、e du 4113sinxdxx 、411sinxdxx 412sinxdx ux 令令 (1)1, (4)2uu 212sinudu 212 cosu 2(cos1cos2)例例2 2 計算計算解解401.1dxx 令令,tx 0 x , 0 t4x 2,t 2,2,xtdxtdt 42001211tdxdttx 201 121tdtt 201211dtt 2200121dtdtt 202 2ln 1t 2 2ln 3 三、定積分的分部積分法三、定積分的分部積分法( ) ( )( ) ( )( ) ( )bbbaaau x v x dxu x v xu x v x dx 可按以以下表方式進展

4、計算可按以以下表方式進展計算( )u x( )v x ( )u x ( )v x ba 求導過程求導過程積分過程積分過程即得即得( ) ( )( ) ( )( ) ( )bbbaaau x v x dxu x v xu x v x dx 例例6 6 求以下定積分求以下定積分 211lnexxdx 、解解2( )v xx ( )lnu xx 31( )3v xx 1( )u xx 1e 21lnexxdx 331111 1ln33eexxx dxx 3211133eex dx 32199e2202xxe dx 、( )u xx ( )1u x ( )0ux 2( )xv xe 21( )2xvx

5、e 22( )4xvxe 220 xxe dx 2202xxe 2204xe 4 2403sin2xxdx 、2( )u xx ( )2u xx ( )2ux ( )sin2v xx 11cos22vx 21sin24vx 031cos28vx 4201cos22xx 402sin24xx 402cos28x 240sin2xxdx 184 課堂練習課堂練習求以下定積分求以下定積分2201xxedx 、12202xx edx 、2201xxedx 、222012xedx 2ux 令令 (0)0, (2)4uu4012ue du 4012ue 4112e 4112e 12202xx edx 、2

6、( )p xx ( )2p xx ( )2px 2( )xf xe 2112xFe 2214xFe 02318xFe 1220 xx edx 221012xx e 21024xxe 21028xe 21154e 6 定積分的幾何運用定積分的幾何運用xyo( )yf x abxyo( )yg x ( )yf x ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(該圖形的面積該圖形的面積 ( )( )baAf xg x dx 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積例例 1 1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1

7、 , 1()0 , 0(dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解兩曲線的交點兩曲線的交點(0,0),(8,16)262yxxyx 2468-55101520252yx 26yxx例例 2 2 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線26yxx 和直線和直線2yx 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. 820(26 )Axxx dx 832043xx1853 xyodc( )xy yxcd)(yx )(yx dcdyyyAyydcdycyyxyx)()()()(,(,),(),( 圖圖形形面面積積為為圍圍成成的的平平面面及及直直線線由由曲曲線線曲邊梯形的面積曲邊梯形的面

8、積( )dcAy dy 例例3：求由曲線：求由曲線 ，以及直線，以及直線 圍成平圍成平面圖形的面積。面圖形的面積。1xy ,3yx yxyo1yx yx 3y 解解兩曲線的交點兩曲線的交點(1,1)1x yyx 31所求面積所求面積311()Aydyy 3211ln2yy4ln3.例例 4 4 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 ,8(),2,2( 422xyxy 2102(2 )Axx dx 1218.AAAxy22 4 xy1A2A 8222(4)Axxdx 383 163 xy22 4 xy2424

9、2yAydy 18. 求平面圖形面積的步驟：求平面圖形面積的步驟：1、畫出由各曲線圍成的平面圖形，并求出曲線的交點；、畫出由各曲線圍成的平面圖形，并求出曲線的交點；2、選擇適當?shù)姆e分變量，并確定積分區(qū)間；、選擇適當?shù)姆e分變量，并確定積分區(qū)間；3、寫出該平面圖形面積的定積分表達式；、寫出該平面圖形面積的定積分表達式；4、求出定積分的值即為所求面積。、求出定積分的值即為所求面積。另解另解例例5：求橢圓的面積：求橢圓的面積xyo1Aab10aAydx 02xt 0 xat0102sincosaAydxbtdat 022202sinsinabtdtabtdt 201cos22tabdt 4ab 14A

10、Aab 22221xyab設橢圓的方程為設橢圓的方程為解：解：14AA 由對稱性可得由對稱性可得cos ,sinxat ybt 橢圓的參數(shù)方程為橢圓的參數(shù)方程為課堂練習課堂練習22yxyx 求求拋拋物物線線與與直直線線所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積-112-2-11234yxyx 22yx 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺二、旋轉(zhuǎn)體的體積二、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx

11、及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 連連接接坐坐標標原原點點O及及點點),(rhP的的直直線線、直直線線hx 及及x軸軸圍圍成成一一個個直直角角三三角角形形將將它它繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構構成成一一個個底底半半徑徑為

12、為r、高高為為h的的圓圓錐錐體體，計計算算圓圓錐錐體體的的體體積積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OP以以dx為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積為dxxhrdV2 圓錐體的體積圓錐體的體積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoxyo1Aab210aVy dx 222200221aaxVy dxbdxa 243ab 解：解：12VV 由對稱性可得由對稱性可得例例2：求橢圓：求橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)

13、體的體積22221xyabx2222(1)xyba而而定義定義 1 1 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間), a上連續(xù)，上連續(xù)，取取xa ，如果極限，如果極限lim( )xaxf t dt 存在，則稱此存在，則稱此極限為函數(shù)極限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間), a上的廣上的廣義積分，記作義積分，記作 adxxf)(. . adxxf)(lim( )xaxf t dt 當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .8 無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分類類似似地地，設設函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,(b上上連連續(xù)續(xù)，取

14、取xb ，如如果果極極限限lim( )bxxf t dt 存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間,(b上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 bdxxf)(. . bdxxf)(lim( )bxxf t dt 當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),( 上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間),( 上的廣義積分，

15、記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf0lim( )xxf t dt 0lim( )yyf t dt 極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分0cos.xdx 解解0limcosxxtdt 0lim sinxxt lim sinxx 0cos xdx 極限不存在極限不存在所以，該廣義積分發(fā)散所以，該廣義積分發(fā)散例例2 2 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx211limsinxxdtt 21lim cosxxt 1lim coscos2xx . 1 例例 3 3 證證明明廣廣義義積積分分 11dxxp當當1 p時時收收斂斂，當當1 p時時發(fā)發(fā)散散.證證, 1)1( p11dxx 1lim lnxxt , , 1)2( p 11dxxp11lim1xpxtp 1,111,ppp因此當因此當1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當當1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.11limxxdtt 例例 4 4 證明廣義積分證明廣義積分 apxdxe