排列組合解題技巧

1、2022-1-291排列組合解題技巧綜合復(fù)習(xí)2022-1-292 1.熟悉解決排列組合問題的基本方法熟悉解決排列組合問題的基本方法; 2.2.讓學(xué)生掌握基本的排列組合應(yīng)用題的讓學(xué)生掌握基本的排列組合應(yīng)用題的解題技巧解題技巧; ; 3.3.學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想分析解決排列組合學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想分析解決排列組合 問題問題. .2022-1-293一 復(fù)習(xí)引入二 新課講授 排列組合問題在實(shí)際應(yīng)用中是非常廣泛的排列組合問題在實(shí)際應(yīng)用中是非常廣泛的, ,并且在實(shí)際中的解題方法也是比較復(fù)雜的并且在實(shí)際中的解題方法也是比較復(fù)雜的, ,下下面就通過一些實(shí)例來總結(jié)實(shí)際應(yīng)用中的解題技面就通過一些實(shí)例來總結(jié)實(shí)際應(yīng)用中的解

2、題技巧巧. .例題1例題6例題5例題4例題3例題22022-1-294從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.2.組合的定義組合的定義: :從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.3.3.排列數(shù)公式排列數(shù)公式: :4.4.組合數(shù)公式組合數(shù)公式: :1.1.排列的定義排列的定義: :)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系: :與順序有關(guān)的與順序有關(guān)的為排列問題為排列問題, ,與順序無關(guān)的為組合問題與順序無關(guān)的為組合問題. .)!( !

3、)1()2)(1(mnmnmmnnnnAACmmmnmn2022-1-295例例1 1 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票1212張。張。8 8個(gè)學(xué)生，個(gè)學(xué)生，4 4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生之間，且老師互不相個(gè)老師，要求老師在學(xué)生之間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？鄰，共有多少種不同的坐法？結(jié)論結(jié)論1 1 插空法插空法: :對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題鄰的問題, ,可以用插入法可以用插入法. .即先排好沒有限制條件的元素即先排好沒有限制條件的元素, ,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空

4、檔之中然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可即可. .分析分析 此題涉及到的是不相鄰問題此題涉及到的是不相鄰問題, ,并且是對(duì)老師有特并且是對(duì)老師有特殊的要求殊的要求, ,因此老師是特殊元素因此老師是特殊元素, ,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待在解決時(shí)就要特殊對(duì)待. .所涉及問題是排列問題所涉及問題是排列問題. .解解 先排學(xué)生共有先排學(xué)生共有 種排法種排法, ,然后把老師插入學(xué)生之間然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有的空檔，共有7 7個(gè)空檔可插個(gè)空檔可插, ,選其中的選其中的4 4個(gè)空檔個(gè)空檔, ,共有共有 種種選法選法. .根據(jù)乘法原理根據(jù)乘法原理, ,共有的不同坐法為共有的不同坐法

5、為 種種. .88A47A4788AA2022-1-296例2 5 5個(gè)男生個(gè)男生3 3個(gè)女生排成一排個(gè)女生排成一排,3,3個(gè)女生要排在一起個(gè)女生要排在一起, ,有多少種不同的排法有多少種不同的排法? ? 結(jié)論2 2 捆綁法捆綁法: :要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題, ,可以用捆綁法來解決問題可以用捆綁法來解決問題. .即將需要相鄰的元素合并為即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素一個(gè)元素, ,再與其它元素一起作排列再與其它元素一起作排列, ,同時(shí)要注意合并同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列元素內(nèi)部也可以作排列. .分析 此題涉及到的是排隊(duì)問題此題涉及到的是排隊(duì)問題

6、, ,對(duì)于女生有特殊的限制對(duì)于女生有特殊的限制, ,因此因此, ,女生是特殊元素女生是特殊元素, ,并且要求她們要相鄰并且要求她們要相鄰, ,因此可以因此可以將她們看成是一個(gè)元素來解決問題將她們看成是一個(gè)元素來解決問題. .解 因?yàn)榕旁谝黄鹨驗(yàn)榕旁谝黄? ,所以可以將所以可以將3 3個(gè)女生看成是一個(gè)女生看成是一個(gè)人個(gè)人, ,與與5 5個(gè)男生作全排列個(gè)男生作全排列, ,有有 種排法種排法, ,其中女生內(nèi)部也其中女生內(nèi)部也有有 種排法種排法, ,根據(jù)乘法原理根據(jù)乘法原理, ,共有共有 種不同的排法種不同的排法. .66A33A3366AA2022-1-297例3 在高二年級(jí)中的在高二年

7、級(jí)中的8 8個(gè)班個(gè)班, ,組織一個(gè)組織一個(gè)1212個(gè)人的年級(jí)學(xué)生個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì)分會(huì), ,每班要求至少每班要求至少1 1人人, ,名額分配方案有多少種名額分配方案有多少種? ?結(jié)論3 轉(zhuǎn)化法（插拔法）轉(zhuǎn)化法（插拔法）: :對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想, ,將其化歸為將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體的問題來求解簡(jiǎn)單的、具體的問題來求解. .分析 此題若直接去考慮的話此題若直接去考慮的話, ,就會(huì)比較復(fù)雜就會(huì)比較復(fù)雜. .但如果但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問題我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問題, ,就會(huì)顯得比較清楚就會(huì)顯得

8、比較清楚, ,方法簡(jiǎn)單方法簡(jiǎn)單, ,結(jié)果容易理解結(jié)果容易理解. .解 此題可以轉(zhuǎn)化為此題可以轉(zhuǎn)化為: :將將1212個(gè)相同的白球分成個(gè)相同的白球分成8 8份份, ,有多少有多少種不同的分法問題種不同的分法問題, ,因此須把這因此須把這1212個(gè)白球排成一排個(gè)白球排成一排, ,在在1111個(gè)個(gè)空檔中放上空檔中放上7 7個(gè)相同的黑球個(gè)相同的黑球, ,每個(gè)空檔最多放一個(gè)每個(gè)空檔最多放一個(gè), ,即可將即可將白球分成白球分成8 8份份, ,顯然有顯然有 種不同的放法種不同的放法, ,所以名額分配方案所以名額分配方案有有 種種. .711C711C2022-1-298例4 袋中有不同的袋中有不同的5 5分

9、硬幣分硬幣2323個(gè)個(gè), ,不同的不同的1 1角硬幣角硬幣1010個(gè)個(gè), ,如果從袋中取出如果從袋中取出2 2元錢元錢, ,有多少種取法有多少種取法? ?結(jié)論4 剩余法剩余法: :在組合問題中在組合問題中, ,有多少取法有多少取法, ,就有多少種就有多少種剩法剩法, ,他們是一一對(duì)應(yīng)的他們是一一對(duì)應(yīng)的, ,因此因此, ,當(dāng)求取法困難時(shí)當(dāng)求取法困難時(shí), ,可轉(zhuǎn)化可轉(zhuǎn)化為求剩法為求剩法. .分析 此題是一個(gè)組合問題此題是一個(gè)組合問題, ,若是直接考慮取錢的問若是直接考慮取錢的問題的話題的話, ,情況比較多情況比較多, ,也顯得比較凌亂也顯得比較凌亂, ,難以理出頭緒難以理出頭緒來來. .但是如果根

10、據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話, ,就就會(huì)很容易解決問題會(huì)很容易解決問題. .解 把所有的硬幣全部取出來把所有的硬幣全部取出來, ,將得到將得到 0.050.0523+0.1023+0.1010=2.1510=2.15元元, ,所以比所以比2 2元多元多0.150.15元元, ,所所以剩下以剩下0.150.15元即剩下元即剩下3 3個(gè)個(gè)5 5分或分或1 1個(gè)個(gè)5 5分與分與1 1個(gè)個(gè)1 1角角, ,所以所以共有共有 種取法種取法. .110123323CCC2022-1-299例5 期中安排考試科目期中安排考試科目9 9門門, ,語文要在數(shù)學(xué)之前考語文要在數(shù)

11、學(xué)之前考, ,有多有多少種不同的安排順序少種不同的安排順序? ?結(jié)論5 對(duì)等法對(duì)等法: :在有些題目中在有些題目中, ,它的限制條件的肯定與否它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的定是對(duì)等的, ,各占全體的二分之一各占全體的二分之一. .在求解中只要求出全體在求解中只要求出全體, ,就可以得到所求就可以得到所求. .分析 對(duì)于任何一個(gè)排列問題對(duì)于任何一個(gè)排列問題, ,就其中的兩個(gè)元素來講的話就其中的兩個(gè)元素來講的話, ,他們的排列順序只有兩種情況他們的排列順序只有兩種情況, ,并且在整個(gè)排列中并且在整個(gè)排列中, ,他們出他們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的, ,因此要求其中的某一種情況因此要求其中

12、的某一種情況, ,能夠得到能夠得到全體全體, ,那么問題就可以解決了那么問題就可以解決了. .并且也避免了問題的復(fù)雜性并且也避免了問題的復(fù)雜性. .解 不加任何限制條件不加任何限制條件, ,整個(gè)排法有整個(gè)排法有 種種,“,“語文安排在數(shù)語文安排在數(shù)學(xué)之前考學(xué)之前考”, ,與與“數(shù)學(xué)安排在語文之前考數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的的排法是相等的, ,所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 種種. .9921A99A2022-1-2910例6 某班里有某班里有4343位同學(xué)位同學(xué), ,從中任抽從中任抽5 5人人, ,正、副班長(zhǎng)、正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)

13、的抽法有多少種團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種? ?結(jié)論6 排除法排除法: :有些問題有些問題, ,正面直接考慮比較復(fù)雜正面直接考慮比較復(fù)雜, ,而而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷它的反面往往比較簡(jiǎn)捷, ,可以先求出它的反面可以先求出它的反面, ,再從整體再從整體中排除中排除. .分析 此題若是直接去考慮的話此題若是直接去考慮的話, ,就要將問題分成好幾種就要將問題分成好幾種情況情況, ,這樣解題的話這樣解題的話, ,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況情況. .而如果從此問題相反的方面去考慮的話而如果從此問題相反的方面去考慮的話, ,不但容易不但容易理解理解, ,而且

14、在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便. .這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程算過程. .解 4343人中任抽人中任抽5 5人的方法有人的方法有 種種, ,正副班長(zhǎng)正副班長(zhǎng), ,團(tuán)支部書團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有記都不在內(nèi)的抽法有 種種, ,所以正副班長(zhǎng)所以正副班長(zhǎng), ,團(tuán)支部書記至團(tuán)支部書記至少有少有1 1人在內(nèi)的抽法有人在內(nèi)的抽法有 種種. .540543CC543C540C2022-1-2911 練習(xí)練習(xí)：有有1212個(gè)人，按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)個(gè)人，按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù) （1 1）分為兩組，一組）分為兩組，一組7 7人，一組人，一組5 5人；人；

15、 （2 2）分為甲、乙兩組，甲組）分為甲、乙兩組，甲組7 7人，乙組人，乙組5 5人；人； （3 3）分為甲、乙兩組，一組）分為甲、乙兩組，一組7 7人，一組人，一組5 5人；人； （4 4）分為甲、乙兩組，每組）分為甲、乙兩組，每組6 6人；人； （5 5）分為兩組，每組）分為兩組，每組6 6人；人； （6 6）分為三組，一組）分為三組，一組5 5人，一組人，一組4 4人，一組人，一組3 3人；人； （7 7）分為甲、乙、丙三組，甲組）分為甲、乙、丙三組，甲組5 5人，乙組人，乙組4 4人，丙組人，丙組3 3人；人； （8 8）分為甲、乙、丙三組，一組）分為甲、乙、丙三組，一組5 5人，一組人，一組4 4人，一組人，一組3 3人；人； （9 9）分為甲、乙、丙三組，每組）分為甲、乙、丙三組，每組4 4人；人； （1010）分為三組，每組）分為三組，每組4 4人人 2022-1-2912 互斥分類互斥分類-分類法分類法 先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除法排除法 相鄰排列相鄰排列-捆綁