高數(shù)各大學(xué)必考題(共40頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上曲線積分與曲面積分習(xí)題詳解 習(xí)題9-11 計(jì)算下列對弧長的曲線積分：（1），其中是拋物線上點(diǎn)到之間的一段弧；解: 由于由方程 （）給出，因此 .（2），其中是圓中到之間的一段劣??；解: 的參數(shù)方程為：，于是 （3），其中是頂點(diǎn)為及的三角形的邊界；解: 是分段光滑的閉曲線，如圖92所示，根據(jù)積分的可加性，則有 ，由于:，于是，故 ，而,，于是故 ，同理可知（），則 綜上所述 （4），其中為圓周；解 直接化為定積分的參數(shù)方程為,（）,且 于是 （5），其中為折線段，這里,的坐標(biāo)依次為,解 如圖所示， 線段的參數(shù)方程為 ，則，故 線段的參數(shù)方程為，則 故 ，線段的參數(shù)方程為

2、，則，故所以 （6），其中為空間曲線.解: 在平面的投影為：，即，從而.利用橢圓的參數(shù)方程得的參數(shù)方程為由于 .則 .2 設(shè)一段曲線上任一點(diǎn)處的線密度的大小等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求其質(zhì)量解 依題意曲線的線密度為，故所求質(zhì)量為，其中則的參數(shù)方程為 ，故 ， 所以3 求八分之一球面的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密度。解 設(shè)曲線在坐標(biāo)平面內(nèi)的弧段分別為、，曲線的重心坐標(biāo)為，則曲線的質(zhì)量為由對稱性可得重心坐標(biāo) 故所求重心坐標(biāo)為4. 計(jì)算半徑為、中心角為的圓弧對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量（設(shè)線密度）. 解: 如右圖建立坐標(biāo)系，則 .為了便于計(jì)算，利用的參數(shù)方程于是 習(xí)題9-21 設(shè)為面內(nèi)一直線（為常數(shù)），證明。

3、證明：設(shè)是直線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段，其參數(shù)方程可視為，（），于是。2 計(jì)算下列對坐標(biāo)的曲線積分： （1），其中為上半橢圓，其方向?yàn)轫槙r針方向；解 .（2），其中為拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。解 將曲線的方程視為以為參數(shù)的參數(shù)方程，其中參數(shù)從變到。因此。（3），其中是曲線從對應(yīng)于時的點(diǎn)到時的點(diǎn)的一段?。唤?的方程為，則有的方程為，則 所以 （4）是從點(diǎn)沿上半圓周到點(diǎn)的一段弧；解 利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算的參數(shù)方程為:，在起點(diǎn)處參數(shù)值取，在終點(diǎn)處參數(shù)值相應(yīng)取0，故從到0則 =（5），其中沿右半圓以點(diǎn)為起點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)到終點(diǎn)的路徑；解 利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算的參數(shù)方程為:，在起點(diǎn)處參數(shù)值取，在終點(diǎn)處參數(shù)值相應(yīng)取

4、，則 。（6），其中是螺旋線：,從到上的一段；解 （7），其中為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段；解 直線的方程為化成參數(shù)方程得，從變到。所以 。（8），為橢圓周且從軸正方向看去，取順時針方向。解 的參數(shù)方程為，從變到， 。 3 設(shè)軸與重力的方向一致，求質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)從位置沿直線移到時重力所作的功。 解 因?yàn)榱?所以。4. 設(shè)為曲線,上相應(yīng)于從變到的一段有向弧，把第二型曲線積分化成第一型曲線積分.解 ，故，于是，所示。習(xí)題9-31 當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時,曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?答 當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時，在面上的投影就是，于是有 。2設(shè)光滑物質(zhì)曲面的面密度為，試用第一型曲面積分表示這個曲面對于三個坐標(biāo)軸

5、的轉(zhuǎn)動慣量，和.解 在曲面上點(diǎn)處取一微小面積（面積元素），它可看作是面密度為的質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為，它對于軸的轉(zhuǎn)動慣量為.于是整個曲面對軸的轉(zhuǎn)動慣量為.同理可知曲面對軸和軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為，。3 計(jì)算曲面積分，其中是（1）錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面；解 錐面與平面的交線為，即錐面在面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域。而，因此 。（2）面上的直線段 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面。解 旋轉(zhuǎn)曲面為，故 ，所以，其中是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，利用極坐標(biāo)計(jì)算此二重積分，于是 。4 計(jì)算下列曲面積分:（1），其中是左半球面,； 解 .（2）,其中是錐面被柱面所截得的有限部分；解 被截得的曲面在面上的投影區(qū)域是圓心在點(diǎn)

6、直徑為的圓域，即，由曲面的方程得，于是 。（注：這里要用到被積函數(shù)的奇偶性：。）(3) ，其中是拋物面在面上方的部分：,；解 拋物面在面上方的部分在面上的投影為圓域,故 .(4) ，其中是上半球面,；解 上半球面在面上的投影為圓域, ,故 .（5），其中為平面在第一卦限的部分；解 將曲面的方程改寫為，則,，從而，圖912在上的投影區(qū)域?yàn)?故 （6），其中是柱面被平面所截得的部分.解 將曲面分成丙個曲面:和，在面上的投影區(qū)域都為,先算.由于,，從而，.同理可求得.所以 .5 求拋物面殼（）的質(zhì)量，此殼的密度為。 解 在拋物面殼（）上取一小塊微小曲面,其質(zhì)量整個拋物面殼的質(zhì)量為.在面上的投影為圓域

7、,故 .習(xí)題9-41當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時,曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?答 當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時, 的方程為。若在面上的投影區(qū)域?yàn)?，那么，?dāng)取上側(cè)時，上式右端取正號; 當(dāng)取下側(cè)時，上式右端取負(fù)號。2 計(jì)算下列第二型曲面積分:(1) ，其中是橢球面的的部分，取橢球面的外側(cè)為正側(cè)；解 當(dāng)時，橢球面的方程是于是令， 則.(2) ，其中是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，邊長為2的立方體整個表面的外側(cè)；解 把分成下面六個部分:的上側(cè)； 的下側(cè)； 的前側(cè)； 的后側(cè)； 的右側(cè)；的左側(cè). 因?yàn)槌?其余四片曲面在面上的投影都為零,故有；同理可得；.于是所求的曲面積分為.（3），其中為旋轉(zhuǎn)拋物面介于之間部分的下側(cè)；解 由

8、兩類曲面積分之間的聯(lián)系，可得，在曲面上，有。故。再依對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法，得。注意到，故。（4），其中為，的上側(cè)；解 在面上的投影為半圓域，= =由對稱性 =，= 原式=（5），其中是由平面，所圍成的四面體的表面的外側(cè)。解 如右圖所示，因?yàn)殚]曲面取外側(cè)，所以取下側(cè)，取后側(cè)，取左側(cè)，取上側(cè)。于是 由于，和都是直角邊為1的等腰直角三角形區(qū)域，故。3 把對坐標(biāo)的曲面積分化成對面積的曲面積分，這里為平面在第一卦限的部分的上側(cè)。解 平面的上側(cè)的法向量為，其方向余弦是于是 4.已知穩(wěn)定流體速度，求單位時間內(nèi)流過曲面的流量，法向量方向與軸正向是鈍角. 解 如右圖所示，依題設(shè)，所求的流量為其中積分曲面是

9、有向曲面，取下側(cè)。由第二型曲面積分的計(jì)算方法可知.5. 設(shè)是上半球面，速度場為，是上的單位法向量，它與軸的夾角為銳角，試求曲面積分.解 容易求得法向量：，又速度場為，故.這里.習(xí)題9-51. 利用曲線積分求下列平面曲線所圍成圖形的面積: (1) 星形線 ()；）解 。(2) 圓，（）； 解 設(shè)圓的參數(shù)方程為,從變到.那么 。2 利用格林公式計(jì)算下列曲線積分:(1) ,其中是圓,方向是順時針方向；解 由格林公式，于是其中是圓域。設(shè)，則。(2) ，其中是圓，方向是逆時針方向； 解 設(shè)閉曲線所圍成閉區(qū)域?yàn)?，這里，由格林公式，得 。(3) ，其中是依次連接三點(diǎn)的折線段，方向是順時針方向。解 令，則，且

10、線段，由1變化到-1，故有 其中為所圍成的閉區(qū)域(4) ，其中為常數(shù)，為圓上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段有向??；解 如右圖所示，設(shè)從點(diǎn)到點(diǎn)的有向直線段的方程為 ，從變到。則與曲線構(gòu)成一閉曲線，設(shè)它所圍成閉區(qū)域?yàn)椋?，由格林公式，?。而 ，故 。(5) ，其中，為圓周取逆時針方向，是沿的外法線方向?qū)?shù)。解 由于，其中是在曲線上點(diǎn)處的切線的方向角，故根據(jù)兩類曲線積分之間的聯(lián)系及格林公式，有 因?yàn)闉閳A周，所以所圍成的圓的面積，因此 。3. 計(jì)算曲線積分,其中為(1) 橢圓,取逆時針方向； (2) 平面內(nèi)任一光滑的不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的簡單正向閉曲線. 解 (1)令，則當(dāng)時，但積分曲線所圍區(qū)域包含點(diǎn)，在該點(diǎn)不具有連續(xù)的

11、偏導(dǎo)數(shù)，因此不能直接應(yīng)用格林公式計(jì)算，需要將奇點(diǎn)去掉，為此作半徑足夠小的圓:，使位于的內(nèi)部，如圖右所示的參數(shù)方程為，取逆時針方向于是 ， 其中表示的負(fù)方向由格林公式則有 ，其中為與所圍成的閉區(qū)域故 (2) 分兩種情況計(jì)算。 閉曲線內(nèi)部不包含坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)它所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，那么由格林公式得?閉曲線內(nèi)部包含坐標(biāo)原點(diǎn)，仿（1）可得 .4 利用高斯公式計(jì)算下列曲面積分：（1）,其中是由平面及三個坐標(biāo)面圍成的立方體的表面的內(nèi)側(cè)（）；解 由高斯公式，于是其中是由平面及三個坐標(biāo)面圍成的立方體區(qū)域。則 。（2），其中為柱面及平面及所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)。解 這里，由高斯公式得。（3），其中為

12、曲面及平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界的外側(cè)。解 這里，用高斯公式來計(jì)算，得 ，其中是曲面及平面所圍成的空間閉區(qū)域（4） ，其中為錐面介于平面之間的部分的下側(cè)，是在點(diǎn)處的法向量的方向余弦。解 這里，由高斯公式得。5 利用高斯公式計(jì)算三重積分，其中是由，及所確定的空間閉區(qū)域。 解 如下圖所示，的邊界由閉曲面所圍成，取的外側(cè)。令,那么由高斯公式得 。在面上，只有和的投影面積不為零，其它都為零。故 ，而，故。同理可得 ，。所以。6 利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分：（1），其中為平面與三個坐標(biāo)面的交線，其正向?yàn)槟鏁r針方向，與平面上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則；解 由斯托克斯公式得 其中是平面，取上側(cè)。由

13、曲面積分的計(jì)算法，得，故 。（2），其中為以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形沿的方向。解 由斯托克斯公式得 其中是平面，取上側(cè)。由曲面積分的計(jì)算法，得，故 。（3）其中為圓柱面與平面（）的交線，若從軸的正向望去,的方向是逆時針方向.解 如右圖所示，平面上由曲線所圍成的區(qū)域記為，并由的方向確定的的的方向是上側(cè)（即的方向與的方向構(gòu)成右手系）。曲面（平面）的單位法向量為，即，由Stokes公式，有。習(xí)題9-61求曲線積分，其中是圓的上半圓周，取順時針方向. 解 令，則在整個面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個面內(nèi)與路線無關(guān)。故可取沿軸上的線段（如右圖所示）積分，即，于是，有 .2 證明下列曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)，

14、并計(jì)算積分值: (1) ；解 令，則在整個面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。(2) ；解 令，則在整個面內(nèi)恒成立，因此，在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。（3），其中和為連續(xù)函數(shù)。解 令，則在整個面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。3 驗(yàn)證下列在整個面內(nèi)為某一函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個：（1）；解 令， 原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取，=（2）；解 因?yàn)?，所以在整個面內(nèi)恒成立，因此，：在整個面內(nèi)，是某一函數(shù)的全微分，

15、即有。于是就有 （4） （5）由（4）式得 （6）將（6）式代入（5）式，得 （7）比較（7）式兩邊，得 于是 （其中是任意常數(shù)）代入（6）式便得所求的函數(shù)為 。（3）。解 令，則在全平面上有，滿足全微分存在定理的條件，故在全平面上，是全微分 下面用三種方法來求原函數(shù)：解法1 運(yùn)用曲線積分公式，為了計(jì)算簡單，如圖910所示，可取定點(diǎn)，動點(diǎn)與，于是原函數(shù)為取路徑: ，得 解法2 從定義出發(fā)，設(shè)原函數(shù)為，則有，兩邊對積分（此時看作參數(shù)），得 （*）待定函數(shù)作為對積分時的任意常數(shù)，上式兩邊對求偏導(dǎo)，又，于是，即 ，從而 （為任意常數(shù)），代入（*）式，得原函數(shù)4 可微函數(shù)應(yīng)滿足什么條件時，曲線積分與路

16、徑無關(guān)？解 令，則，。當(dāng)，即或在整個面內(nèi)恒成立時，曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)。5. 求函數(shù)使得.解 由知，可令，則再令，則從而.于是。習(xí)題9-71 若球面上每一點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到球的某一定直徑的距離的平方，求球面的質(zhì)量。）解法1 設(shè)球面方程為，定直徑選在軸，依題意，球面上點(diǎn)的密度為，從而球面的質(zhì)量為由對稱性可知，其中為上半球面，故 ，其中是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，利用極坐標(biāo)計(jì)算此二重積分，于是得 =，是一個無界函數(shù)的反常積分，按反常積分的計(jì)算方法可得，故。 解法2 設(shè)球面方程為，定直徑在軸上，依題意得球面上點(diǎn)的密度為，從而得球面的質(zhì)量為，由輪換對稱性可知：，故有 2 設(shè)某流體的流速為，求單位時

17、間內(nèi)從圓柱：（）的內(nèi)部流向外側(cè)的流量（通量）。 解 通量 。 3 求向量場的散度。 解 這里，故 v 。 4 求向量場A ijk （為常數(shù)）沿有向閉曲線（從軸的正向看依逆時針方向）的環(huán)流量。 解 設(shè)所求的環(huán)流量,則其中的參數(shù)方程為于是。總習(xí)題A一、 填空題1設(shè)為柱面與平面的交線，從軸負(fù)向看去為逆時針方向，則曲線積分. (2011 考研 數(shù)學(xué)一) 2設(shè)曲線為圓周,則3設(shè)為任意一條分段光滑的閉曲線，則曲線積分 4設(shè)是以原點(diǎn)為球心,為半徑的球面,則5設(shè)為球面的下半部分的下側(cè),則曲面積分 6向量場的旋度二、 選擇題1設(shè)是從原點(diǎn)沿折線至點(diǎn)的折線段,則曲線積分等于（ C ） A B C D 2若微分為全微

18、分，則等于（ B ） A B C D 3空間曲線的弧長等于（ D ） A B C D 4設(shè)為上半球面，為在第一卦限的部分，則下列等式正確的是（ D ） A B C D 5設(shè)為球面的外側(cè)，則積分等于（ A ） A B C D三、計(jì)算題 1計(jì)算其中為拋物線和直線所圍成的閉曲線；解設(shè)，其中，于是。2計(jì)算,其中為右半圓以點(diǎn)為起點(diǎn),點(diǎn)為終點(diǎn)的一段有向?。唤夥?設(shè)曲線的參數(shù)方程為，其中從變到，故。解法2 作有向線段，其方程為，其中從變到，則有向曲線與有向線段構(gòu)成一條分段光滑的有向閉曲線，設(shè)它所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，由格林公式，有，即，而，故?計(jì)算,其中為平面在第一卦限中的部分；解 將曲面投影到面上，得投影區(qū)域

19、為，此時曲面方程可表示為，于是，。4. 計(jì)算,其中是球面的上半部分并取外側(cè)；解 作有向曲面，并取下側(cè)，設(shè)兩曲面和所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，由高斯公式，得?驗(yàn)證：在整個面內(nèi), 是某一函數(shù)的全微分,并求出一個這樣的函數(shù).。 解 因?yàn)?所以在整個面內(nèi)恒成立,因此,在整個面內(nèi), 是某一函數(shù)的全微分,即有.于是就有 （1） （2）由（1）式得 （3）其中是以為自變量的一元函數(shù)，將（3）式代入（2）式,得 （4）比較（4）式兩邊,得 于是 （其中是任意常數(shù)）,代入（3）式便得所求的函數(shù)為.四、計(jì)算曲線積分,其中為閉曲線，若從軸正向看去,取逆時針方向.解 曲線的參數(shù)方程為 從變到，于是 。五、計(jì)算曲面積分,其中是

20、線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面 解 的方程為，在面上的投影區(qū)域?yàn)?，且，。六、?jì)算曲面積分,其中為上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面介于和之間的部分的下側(cè)解 的方程為，取下側(cè)。作有向曲面，并取上側(cè)，設(shè)兩曲面和所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，由高斯公式，得，這里。七、設(shè)一段錐面螺線上任一點(diǎn)處的線密度函數(shù)為,求它的質(zhì)量解 依題意，錐面螺線在點(diǎn)處的線密度函數(shù)為，故錐面螺線的質(zhì)量為 。八、設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān),試求滿足條件的函數(shù)解 令，依題意，有，即，故，其中是任意常數(shù)。再由條件可得，故為所求的函數(shù)。九、設(shè)空間區(qū)閉域由曲面與平面圍成,其中為正常數(shù),記表面的外側(cè)為,的體積為,證明： 證明 這里，由高斯公式得 。另一方面，（或）在面上的投影區(qū)域?yàn)?，故，所以。十、已知曲線的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分. (2010 考研 數(shù)學(xué)一)解 設(shè)曲線，則。于是 總習(xí)題B一、填空題1設(shè)是的方程的上側(cè),則 (2008 考研 數(shù)學(xué)一) 2設(shè)的方程,則3設(shè)為正向圓周，則曲線積分的值為4設(shè)是曲面介于和之間的部分,則曲面積分的值為5設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間閉區(qū)域,是的整個邊界的外側(cè),則6設(shè), 則矢量場通過曲面上半部分的流量二、計(jì)算題1設(shè)空間曲線為曲面與的交線，（1）若曲線的線密度為，試計(jì)算曲線的質(zhì)量; 解: 顯然，曲線是空間圓，由