高中數(shù)學空間幾何體的表面積與體積知識總結+練習

1、空間幾何體的表面積與體積知識框架高考要求空間幾何體的表面積與體積要求層次重難點球、棱柱、棱錐的表面積和體積A了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）例題精講板塊一：空間幾何體的表面積（一） 知識內(nèi)容1直棱柱與圓柱的側(cè)面積等于它的底面周長和高（母線）的乘積，其中為底面的周長，為直棱柱（圓柱）的高，也即側(cè)棱（母線）長；2正棱錐（圓錐）的側(cè)面積等于它的底面周長和斜高（母線）乘積的一半，其中為底面邊長，為斜高；，其中為底面周長，為圓錐的底面半徑，為母線長；3正棱臺（圓臺）的側(cè)面積等于它的上下底面周長之和與斜高（母線）乘積的一半，其中分別是正棱臺上下底面的邊長，為斜高；，其中分別

2、是圓臺上下底面的半徑，為母線長；4球面面積等于它的大圓面積的四倍，為球的半徑1除了球面，這里提到的其它幾何體的表面都可以展開，側(cè)面積公式和表面積公式可以直接推導出來2要提醒學生注意空間與平面問題的轉(zhuǎn)化，對這幾種幾何體的側(cè)面展開圖，軸截面的圖等有個比較清晰的印象，在計算時能靈活轉(zhuǎn)化5柱體（棱柱，圓柱）體積公式：，其中為底面積，為高；6棱體（棱錐，圓錐）的體積公式：，其中為底面積，為高；7臺體（棱臺，圓臺）的體積公式： ，其中分別是臺體上，下底面的面積，為臺體的高；8球的體積：，為球的半徑對柱體與錐體體積公式的推導，課本上是以長方體的體積公式為基礎的，根據(jù)祖暅原理得到的祖暅原理：冪勢相同，則積不容

3、異即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體體積相等祖暅提出的“冪勢既同，則積不容異”，及“體積之比等于對應截面積之比”，在這里是當作公理使用提法“冪勢既同，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著連續(xù)不可分幾何中提出這一原理，這本書出版于1635年課本對柱體和錐體體積公式的推導過程：長方體的體積；利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的長方體與柱體的體積相等，故柱體的體積為：；利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的錐體的體積均相等；三棱柱可以分割成三個體積相等的錐，故錐體的體積為；利用兩個錐體做差可得臺

4、體的體積公式（二）典例分析： 【例1】 軸截面是正方形的圓柱叫等邊圓柱已知：等邊圓柱的底面半徑為r，求全面積 【例2】 軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐已知：等邊圓錐底面半徑為r，求全面積【例3】 已知圓臺的上下底面半徑分別是、，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長【例4】 底面是菱形的直棱柱，它的對角線的長分別是9和15，高是5，求這個棱柱的側(cè)面積【例5】 側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，若底面邊長為，則三棱錐的全面積是多少？【例6】 側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，若底面邊長為，則三棱錐的全面積是多少？【例7】 平面截球得到半徑是的圓面，球心到這個平面的距離是，則該球的表面積是（ ）

5、A B C D【例8】 正方體全面積為，求它的外接球和內(nèi)切球的表面積【例9】 將一個邊長為和的矩形紙片卷成一個圓柱，則圓柱的底面半徑為 【例10】 正四棱臺的斜高為4，側(cè)棱長為5，側(cè)面積為64，求棱臺上、下底的邊長【例11】 正四棱臺的斜高為，側(cè)棱長為，側(cè)面積為，求棱臺上、下底的邊長【例12】 正三棱臺中，已知，棱臺的側(cè)面積為，分別為上、下底面正三角形的中心，為棱臺的斜高，求上底面的邊長【例13】 過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（ ）A B C D【例14】 棱長為的正方體的個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）A

6、 B C D【例15】 如圖所示，半徑為的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積（其中）【例16】 圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為的半圓面，求圓錐的母線與軸的夾角的大小，軸截面的面積【例17】 圓臺的上下底面半徑分別是、，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長【例18】 圓臺的內(nèi)切球半徑為，且圓臺的全面積和球面積之比為，求圓臺的上，下底面半徑（）【例19】 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，且這個圓錐的體積為求圓錐的表面積【例20】 有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為、 用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個

7、四棱柱，則的取值范圍是 【例21】 若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是【例22】 正四面體棱長為，求其外接球和內(nèi)切球的表面積【例23】 一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為【例24】 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積等于 【例25】 若，兩點在半徑為2的球面上，且以線段為直徑的小圓周長為，則此球的表面積為_，兩點間的球面距離為_【例26】 已知球的表面積為，球面上有、三點如果，則球心到平面的距離為（ ）A B C D【例27】 球面上有三點，組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，已知球

8、的半徑為，且，兩點的球面距離為，兩點及，兩點的球面距離均為，球心到這個截面的距離為，求球的表面積【例28】 設圓錐的底面半徑為，高為，求：內(nèi)接正方體的棱長；內(nèi)切球的表面積【例29】 如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是（）A B C D【例30】 一間民房的屋頂有如下圖三種不同的蓋法：單向傾斜；雙向傾斜；四向傾斜記三種蓋法屋頂面積分別為、若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則（）ABCD【例31】 右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ）ABCD【例32】 已知正四面體的表面積為，其四個面的中心分別為、，設四面體的表面積為，則

9、等于（ ）ABCD【例33】 已知球的表面積為，球面上有、三點如果，則球心到平面的距離為（ ）A1BCD2【例34】 已知球的表面積為，球面上有、三點如果，則球心到平面的距離為（ ）A1BCD2【例35】 棱長為1的正方體被以為球心，為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（ ）A B C D【例36】 棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_【例37】 已知一個幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為的正三角形，俯視圖是直徑為的圓，如圖，則此幾何體的外接球的表面積為 【例38】 右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是_【例39】 若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則

10、這個正三棱柱的表面積為（）AB CD【例40】 一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為 【例41】 如圖，在四面體中，截面經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心，且與，分別截于、，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐與三棱錐的表面積分別是，則必有（ ）A B C D的大小關系不能確定【例42】 如圖，在四面體中，截面經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心，且與，分別截于、，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐與三棱錐的表面積分別是，則必有（ ）ABCD，的大小關系不能確定板塊二：空間幾何體的體積（一） 知識內(nèi)容1柱體（棱柱，圓

11、柱）體積公式：，其中為底面積，為高；2棱體（棱錐，圓錐）的體積公式：，其中為底面積，為高；3臺體（棱臺，圓臺）的體積公式： ，其中分別是臺體上，下底面的面積，為臺體的高；4球的體積：，為球的半徑對柱體與錐體體積公式的推導，課本上是以長方體的體積公式為基礎的，根據(jù)祖暅原理得到的祖暅原理：冪勢相同，則積不容異即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體體積相等祖暅提出的“冪勢既同，則積不容異”，及“體積之比等于對應截面積之比”，在這里是當作公理使用提法“冪勢既同，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著連

12、續(xù)不可分幾何中提出這一原理，這本書出版于1635年課本對柱體和錐體體積公式的推導過程：長方體的體積；利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的長方體與柱體的體積相等，故柱體的體積為：；利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的錐體的體積均相等；三棱柱可以分割成三個體積相等的錐，故錐體的體積為；利用兩個錐體做差可得臺體的體積公式（二）典例分析： 【例1】 側(cè)棱長與底面邊長相等的正三棱錐稱為正四面體，則棱長為的正四面體的體積是_；【例2】 已知正六棱臺的上，下底面邊長分別為和，高為，則其體積為_【例3】 半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，則球的表面積和體積的比為_【例4】

13、 直三棱柱各側(cè)棱和底面邊長均為，點是上任意一點，連結，則三棱錐的體積（ ）ABCD【例5】 已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 【例6】 已知三棱臺中，高求三棱錐的體積求三棱錐的體積求三棱錐的體積【例7】 正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底邊的夾角為角，則此三棱柱的體積為（ ）AB CD 【例8】 在體積為的斜三棱柱中，是上的一點，的體積為3，則三棱錐的體積為（ ）A1 B C2 D3【例9】 直三棱柱各側(cè)棱和底面邊長均為，點是上任意一點，連結，則三棱錐的體積（ ）ABCD【例10】 正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的

14、體積為 【例11】 在體積為的球的表面上有三點，兩點的球面距離為，則球心到平面的距離為 【例12】 若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為的正方形，另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于（ ）A B C D【例13】 平行六面體中，在從點出發(fā)的三條棱上分別取其中點，則棱錐的體積與平行六面體體積的比值為_【例14】 一個正三棱錐的底面邊長等于一個球的半徑，該正三棱錐的高等于這個球的直徑，則球的體積與正三棱錐體積的比值為（ ）A B C D【例15】 如圖，在三棱柱中，若，分別為，的中點，平面將三棱柱分成體積為，的兩部分，那么 【例16】 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比（等邊圓錐是

15、指軸截面是等邊三角形的圓錐）【例17】 如圖，在四邊形中，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積【例18】 如圖所示，已知等腰梯形的上底，下底，底角，現(xiàn)繞腰旋轉(zhuǎn)一周，求所得的旋轉(zhuǎn)體的體積【例19】 在中，（如圖所示），若將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）A BC D【例20】 在體積為的球的表面上有，三點，兩點的球面距離為，則球心到平面的距離為 【例21】 圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱為圓柱容球，求證：在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的【例22】 正四棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長都為，點、都在同一球面上，則該

16、球的體積為_【例23】 如圖，圓錐形封閉容器，高為h，圓錐內(nèi)水面高為若將圓錐倒置后，圓錐內(nèi)水面高為【例24】 一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為的鐵球，這時水面恰好和球面相切問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？【例25】 如圖，在四面體中，截面經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心，且與，分別截于、，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐與三棱錐的表面積分別是，則必有（ ）A B C D的大小關系不能確定【例26】 如圖，在長方體中，分別過，的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為，若，則截面的面積為 【例27】 已知某幾何

17、體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形求該幾何體的體積；求該幾何體的側(cè)面積【例28】 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，那么這個球的體積為 _【例29】 如圖，將邊長為的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器（如圖） 當這個正六棱柱容器的底面邊長為 時，其容積最大 【例30】 設、是球面上的四個點，且在同一平面內(nèi)，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（ ）A

18、B C D【例31】 如圖所示，正四面體的外接球的體積為，求四面體的體積【例32】 已知正三棱錐，一個正三棱柱的上底面三頂點在棱錐的三條側(cè)棱上，下底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為，底面邊長為，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為求正三棱柱的高；求正三棱柱的體積；求棱柱上底面所截棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比【例33】 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，那么這個球的體積為_【例34】 將半徑都為的個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（ ）ABCD【例35】 如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底

19、的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點如果將容器倒置，水面也恰好過點（圖2）有下列四個命題：A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點C任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點D若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號是： （寫出所有真命題的代號）【例36】 給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；如

20、果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明【例37】 兩相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放棱長為的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）A個B個C個D無窮多個【例38】 已知一個全面積為24的正方體，有一個與每條棱都相切的球，此球的體積為 【例39】 已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（ ） ABCD【例40】 球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑等于（ ）A B1 C2 D3【例41】

21、將一個邊長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則表面積增加了（ ）A B12a2C18a2D24a2【例42】 直徑為10cm的一個大金屬球，熔化后鑄成若干個直徑為2cm的小球，如果不計損耗，可鑄成這樣的小球的個數(shù)為（ ）A5 B15 C25D125【例43】 一平面截一球得到直徑是的圓面，球心到這個平面的距離，求該球的表面積與體積【例44】 已知一個球的直徑為，一個正方體的棱長為，如果它們的表面積相等，則（ ） A 且 B 且 C 且 D 且【例45】 已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的體積是_【例46】 一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條

22、棱的長分別為則此球的表面積【例47】 已知正三棱錐的側(cè)面積為18 cm，高為3cm 求它的體積【例48】 如圖，在等腰梯形中，為的中點，將 與分別沿向上折起，使重合于點，則三棱錐的外接球的體積（ ） AB C D【例49】 已知正四棱錐底面正方形的邊長為，高與斜高的夾角為，求正四棱錐的全面積與體積【例50】 將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積【例51】 正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為，且與底面成角，求此三棱柱的體積【例52】 一平面截一球得到直徑是的圓面，球心到這個平面的距離，求該球的表面積與體積【例53】 如圖，在等腰梯形中，為的中點，將 與分別沿向上折起，使重合于

23、點，則三棱錐的外接球的體積（ ） AB C D【例54】 正六棱錐中，為的中點，則三棱錐與三棱錐體積之比為（ ）AB CD【例55】 如圖，體積為的大球內(nèi)有個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的個頂點為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關系中正確的是（ ）A BC D【例56】 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，那么這個球的體積為_【例57】 若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為（ ）ABCD 【例58】 養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的