布朗運動和伊藤引理的運用

1、布朗運動與伊藤引理的運用一、引言1827年英國植物學家布朗發(fā)現(xiàn)液體中懸浮的花粉粒具有無規(guī)則的運動，這種運動就是布朗運動。1900年，法國數(shù)學家巴舍利耶(L.Bachelier)在其博士論文投資理論中，給出了布朗運動的數(shù)學描述，提出用算術布朗運動來模擬股票價格的變化。如果股票價格遵循算術布朗運動將意味著股票價格可能取負值，因此股票價格不遵循算術布朗運動，基于這個原因，薩繆爾森()提出股票的收益率服從算術布朗運動的假設，即股票價格服從算術布朗運動。在柯朗研究所著名數(shù)學家的幫助下，薩繆爾森得到了歐式看漲期權的顯式定價公式，但是該公式包含了一些個體的主觀因素。1973年，布萊克(F.Black)和斯科

2、爾斯(M.Scholes)發(fā)表了一篇名為期權和公司負債定價的論文，推導出了著名的Black-Scholes公式，即標準的歐式期權價格顯式解，這個公式中的變量全是客觀變量。哈佛大學教授莫頓(Merton)在期權的理性定價理論一文中提出了與Black-Scholes類似的期權定價模型，并做了一些重要推廣，從此開創(chuàng)了金融學研究一個新的領域。二、相關概念和公式推導1、 布朗運動介紹布朗運動(BrownianMotion)是指懸浮在流體中的微粒受到流體分子與粒子的碰撞而發(fā)生的不停息的隨機運動。然而真正用于描述布朗運動隨機過程的定義是維納(Winener)給出的，因此布朗運動又稱為維納過程。(1)、標準布

3、朗運動設&代表一個小的時間間隔長度，4z代表變量z在加時間內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的Az具有的兩種特征：特征1:Az和3的關系滿足下式：:z=；G(2.1)其中，君代表從標準正態(tài)分布(即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布)中的一個隨機特征2:對于任何兩個不同時間問隔At,Az的值相互獨立。從特征1可知，Az本身也具有正態(tài)分布特征，其均值為0,標準差為t/M,方差為At0從特征2可知，標準布朗運動符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。現(xiàn)在我們來考察遵循標準布朗運動的變量z在一段較長時間T中的變化情形。我們用z(T)-z(0)表示變量z在T中的變化量，它可被看作是在N個長度

4、為At的小時間問隔中z的變化總量，其中N=T/At,因此，(2.2)N_z(T)-z(0)八.Ati=1其中號(i=1,2,|H|N)是標準正態(tài)分布的隨機抽樣值。從特征2可知，鳥是相互獨立的，因此z(T)-z(0)也具有正太分布特征，其均值為0,方差為N&=T,標準差為TT0由此我們可以發(fā)現(xiàn)兩個特征：1在任意長度白時間間隔T中，遵循標準布朗運動的變量的變化值服從均值為0,標準差為行的正態(tài)分布。21于相互獨立的正態(tài)分布，方差具有可加性，而標準差不具有可加性。當0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：dz=Wd?(2(2)、普通布朗運動為了得到普通的布朗運動，我們必須引入兩個概念：漂移率和

5、方差率：漂移率是指單位時間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率是指單位時間的方差。標準布朗運動的漂移率為0,方差率為1.0。漂移率為0意味著在未來任意時刻z的均值都等于它的當前值。方差率為1.0意味著在一段長度為T的時間段后，z的方差為1.0父丁。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2,就可以得到變量x的普通布朗運動：dx=adt+bdz(2.4)其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。這個過程指出變量x關于時間和dz的動態(tài)過程。其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。從上式(

6、2.1)和(2.4)可知，在短時間N后，x值的變化值&x為:因此，Ax也具有正態(tài)分布特征，其均值為aAt,標準差為b/t,方差為b%t。同樣,在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT,標準差為b仃,方差為b2T02、 伊藤引理普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當做變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式（2.4）得到伊藤過程。其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a,方差率為b因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，他的漂移率為：£Ga +爐+13Gb2,方差率為（£G）2b2。 二xct 2 1x二

7、x公式（2.5）就是著名的伊藤引理。3、證券價格的變化過程證券價格的變化過程可以用漂移率為 NS ,方差為Q2S2的伊藤過程來表示：dS = NSdt+Sdz（2.6）兩邊同時除以S得：dS = Ndt+odz（2.7）其中S表示證券價格，R表示證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復利表示的期望收益率，仃2表示證券收益率單位時間的方差，仃表示證券收益率單位時間的標準差， 簡稱證券的波動率。公式（2.7）又被稱為幾何布朗運動。0在伊藤過程的基礎上，伊藤進一步推導出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：-2.c2-2r-(2.5)G_G1.G2GdG=(arb2)dtbdz.x.t2二x二

8、x其中，dz是一個標準布朗運動。由于在a+更十二£|b2和毛b都是x和t的函數(shù),:x:t2:x:x從式（2.7）可知，在短時間M后，證券價格比率的變化值竺為:S可見，竺也具有正態(tài)分布特征，其均值為Mt,標準差為aTZt,方差為仃2加。換S句話說其中，6（m,s）表示均值為m,標準差為s的正態(tài)分布。在式（2.7）中，我們涉及兩個符號，N和。，其大小取決于時間計量單位。在本文中，以年為時間的計量單位。根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，N值取決于該證券的系統(tǒng)性風險、無風險利率水平、以及市場的風險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此N的決定本身比較復雜。接下來我們將證明衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的預期收益

9、率（N）是無關的。相反，證券價格的波動率（仃）對于衍生證券的定價則是相當重要的。證券價格的波動率可以理解為證券價格的脾氣”。我們可以通過歷史數(shù)據(jù)來觀察各種證券脾氣”的大小，然后通過公式（2.7）來確定其未來價格的概率分布。應該注意的是，公式（2.7）把仃當做常數(shù)，實際上，仃會隨時間的變化而變化。4、證券價格自然對數(shù)變化過程利用伊藤引理來對到證券價格自然對數(shù)lnS變化所遵循的隨機過程。令G=lnS,由于.G1；:2G1FG6-7-0£SstS2s2a根據(jù)式（2.5）,我們可以得出證券價格對數(shù)G也遵循的隨機過程為：(2.8).2dG=(-萬)dt；;dz由于N和仃是常數(shù)，所以上式說明證券

10、價額對數(shù)G也遵循普通布朗運動，它具有恒定的漂移率卜-。2/2,和恒定的方差率仃2。由前面的分析可知，在當前時刻t和將來某一時刻T之間G的變化都是正態(tài)分布的，具均值為/-仃2/2）（丁-1）,方差為仃2（T-1）。令t時刻G的值為lnS,T時刻G的值為lnST,其中S表示t時刻（當前時刻）的證券價格，St表示T時刻(將來時刻)的證券價格，則在T-t期間G的變化為：這意味著：一2lnST-lnSL*(-y)(T-t),7T-t(2.9)也就是說，證券價格對數(shù)的變化呈正太分布。根據(jù)正太分布的特性，從式(2.9)可以得到：_2InSr1例nS+(N)(Tt),oTTT(2.10)三、布朗運動伊藤引理的

11、運用本文運用布朗運動和伊藤引理，選取了云南白藥(000538)1993年一一2013年的收盤價進行數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)來源于：通信達。經(jīng)過計算，得到云南白藥股價的波動率為每年99.92%,預期收益率為每年21.33%,2013年5月16日的市價為87.88元。1、假設該股票不付紅利，計算一周后該股票價格變化的概率分布因為N=0.2133,仃=0.9992,其股價過程為：在隨后短時間時隔后的股價變化為：由于一周等于0.0192年，因此上式表示一周后股價的增加值是均值為0.3603元，標準差為12.147元的正態(tài)分布的隨機抽樣值。2、假設該股票在6個月內(nèi)不付紅利，計算該股票6個月后價格ST的概率分布。由式(2.10)可知，6個月后的價格St的概率分布為：由于一個正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個標準差范圍內(nèi)的概率為95.45%,