空間解析幾 1.5 標架坐標ppt課件

1、濱州學院數(shù)學與信息科學系濱州學院數(shù)學與信息科學系 笛卡爾Rene Descartes ）空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標1.5.1 1.5.1 仿射坐標系仿射坐標系 引理引理1.5.1 1.5.1 在直線上取定一個非零向量在直線上取定一個非零向量 ，那么在此直線，那么在此直線上任一向量上任一向量 ，都存在唯一確定的實數(shù)，都存在唯一確定的實數(shù) ，使得，使得e xx e. 引理引理1.5.2 1.5.2 在平面上取定兩個不共線的向量在平面上取定兩個不共線的向量 ，則對，則對于該平面上任一向量于該平面上任一向量 ，都存在惟一的二元有序?qū)崝?shù)，都存在惟一的二元有序?qū)崝?shù) ，使使1

2、2,e e 11,x y1 112xyee 定理定理1.5 1.5 在空間中取定三個不共面的向量在空間中取定三個不共面的向量 ，那，那么對于空間中任一向量么對于空間中任一向量 ，都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組，都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組 ，使得，使得123,e e e 111,x y z1 11213.xyzeee 空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標 定義定義1.5.1 1.5.1 在空間中取定一點在空間中取定一點 及三個有次序的不共面及三個有次序的不共面的向量的向量 ，構成空間的仿射坐標系，構成空間的仿射坐標系 ，點，點 稱稱為坐標原點，為坐標原點， 叫做坐標向量或基本向

3、量，簡稱基，它叫做坐標向量或基本向量，簡稱基，它們所在的直線分別叫做們所在的直線分別叫做 軸，軸， 軸，軸， 軸，統(tǒng)稱坐標軸軸，統(tǒng)稱坐標軸. .123,e e e123 ;,O e e exyz 定義定義1.5.2 1.5.2 對空間中向量對空間中向量 ，它在仿射坐標系，它在仿射坐標系 下有分解式下有分解式 ，稱，稱 是向量是向量 在坐標系在坐標系 下的坐標下的坐標. . , ,x y z123xyzeee 123 ;,O e e e 定義定義1.5.3 1.5.3 在仿射坐標系在仿射坐標系 下，對于點下，對于點 ，稱向，稱向量量 是點是點 的向徑的向徑. .向徑在坐標系的坐標稱為點向徑在坐標

4、系的坐標稱為點 在該坐在該坐標系下的仿射坐標標系下的仿射坐標. .123 ;,O e e eMOM MM空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標1e1e3e 例例1 1 如圖，梯形如圖，梯形 中，中， ， 是是 的中點，求點的中點，求點 及向量及向量 在坐標系在坐標系 下的坐標下的坐標. .ABCD,3ADBC ADBCEADCCE ;,A AE AB (a)(a)(b)(b)注：由于三個坐標向量注：由于三個坐標向量 可以有兩種不相同的相互可以有兩種不相同的相互 位置關系，如下圖，（位置關系，如下圖，（a a所示坐標系為右手仿射坐標所示坐標系為右手仿射坐標 系，（系，（b b

5、所示為左手仿射坐標系所示為左手仿射坐標系. .空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標設設，那么，那么向量加減法運算是：向量加減法運算是：也可簡記為：也可簡記為：1.5.2 1.5.2 用坐標進行向量運算用坐標進行向量運算空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標 例例2 2 設設 求求 例例3 3 已知點已知點 ，求向徑，求向徑 及向及向量量 的坐標的坐標. .1,2,3 ,2, 1,2AB11 112131 11213kk xyzkxkykzeeeeee 也可簡記為：也可簡記為：數(shù)乘運算是：數(shù)乘運算是：111111,k x y zkx ky kz空間解析幾

6、何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標 例例4 4 三個向量三個向量 共面，求共面，求 的值的值. .a1.5.3 1.5.3 向量共線、共面的條件向量共線、共面的條件定理定理1.5.5 1.5.5 三向量三向量1111213,xyzeee 2212223,xyz eee33 13233xyzeee 共面的充要條件是共面的充要條件是1231231230 xxxyyyzzz空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標1.5.4 1.5.4 定比分點的坐標定比分點的坐標111222,A x y zB xyz是空間中任意兩點，則把線段是空間中任意兩點，則把線段AB分割成定比分

7、割成定比 （其中（其中 ）的點）的點 的坐標為的坐標為1C, ,x y z其中其中121212,111xxyyzzxyz特別地，中點的公式為：特別地，中點的公式為：121212,222xxyyzzxyz空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系組成一個空間直角坐標系. .過空間一定點過空間一定點 o , o ,1.5.5 1.5.5 空間直角坐標系空間直角坐標系空間直角坐標系是一種特殊的仿射坐標系空間直角坐標系是一種特殊的仿射坐標系. . 例例5 5 設設111222333,A x y zB xy

8、zC xyz求求ABC的重心的重心 的坐標的坐標. ., ,M x y z答案：答案：123123123,333xxxyyyzzzxyz空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標111(,)A xyz對兩點對兩點與與222(,),B xyz因因212121(,)xxyy zzAB OB OA xyz 坐標原點坐標原點 坐標軸坐標軸x x軸軸( (橫軸橫軸) )y y軸軸( (縱軸縱軸) )z z 軸軸( (豎軸豎軸) )o 坐標面坐標面 卦限卦限( (八個八個) )面xoy面yozzoxzox面面空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標設設1cosxr222xxyz，那，那么么稱為稱為 的方向角，方向角的余弦的方向角，方向角的余弦123, 123cos,cos,cos稱為向量稱為向量 的方向余弦的方向余弦. . 定義定義 在空間直角坐標系中，向量在空間直角坐標系中，向量 與三個坐標向與三個坐標向量的夾角量的夾角2cosyr222yxyz得兩點間的距離公式得兩點間的距離公式: :222212121()()()xxyyzzABAB 空間解析幾何空間解析幾何 1.5 1.5 標架坐標標架坐標例例6 6 在在z z軸上求一點，使它到軸上求一點，