六年級奧數(shù)講義列方程解應(yīng)用題 (1)

1、列方程解應(yīng)用題。 列方程解應(yīng)用題的一般步驟是： 審清題意，弄清楚題目意思以及數(shù)量之間的關(guān)系，；合理設(shè)未知數(shù)x，設(shè)未知數(shù)的方法有兩種：問什么設(shè)什么（直接設(shè)未知數(shù)），間接設(shè)未知數(shù)；依題意確定等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程；解方程；將結(jié)果代入原題檢驗。概括成五個字就是：“審、設(shè)、列、解、驗”.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到正確的等量關(guān)系。尋找等量關(guān)系的常用方法是：根據(jù)題中“不變量”找等量關(guān)系。一些基本概念：（1）像4x+2=9這樣的的等式，只含有一個未知數(shù)x，而且未知數(shù)x的指數(shù)為1的方程叫做一元一次方程；（2）像2x+y=8這樣的的等式，含有兩個未知數(shù)x、y，而且未知數(shù)的指數(shù)都為1的方程叫做二元一次方程

2、；把兩個二元一次方程用“”寫在一起，就組成了一個二元一次方程組；（3）如果有兩個未知數(shù)，一般需要兩個方程才能求出唯一解，如果有三個未知數(shù)，一般需要三個方程才能求出唯一解. 如果有更多的未知數(shù)，可借助今天學(xué)習(xí)的解題思路來類推出解法. 類型：列簡易方程解應(yīng)用題【例1】 （難度系數(shù)：）解下列方程：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）分析：（1）以下各題不再寫檢驗步驟，請教師強調(diào)學(xué)生答案要檢驗.（2）（3）（4）（5）（6）請教師強調(diào)學(xué)生在解答時要注意：移項變號、同類放在等式一邊、（4）中去括號時每一項都要發(fā)生相應(yīng)變化、（6）中每一項都同時擴大6倍、（5）中可以先簡化運算的一定要先

3、化簡。（7）法1：加減消元法 （8） 法2：代入法.建議教師將（7）、（8）貫穿起來，讓學(xué)生深刻體會：（1）代入法，以及代入法在什么情況下好用；（2）加減消元法，其本質(zhì)是找（制造）到一個未知數(shù)的系數(shù)相等，再利用等式加減得到結(jié)果.【例2】 （難度系數(shù)：）汽車以每小時72公里的速度筆直地開向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到回音，聽到回音時汽車離山谷多遠(yuǎn)？（聲音的速度以340米/秒計算）分析：72千米/小時=72000米/3600秒=2米/秒，設(shè)聽到回音時汽車離山谷x米，根據(jù)題意可得：340×4=2x+2×4，解得x=676（米）.【例3】 （小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽初賽）（難度系

4、數(shù)：）用繩子測井深，繩子兩折時,余60厘米,繩子三折時,差40厘米，求繩長和井深？分析： 法1：設(shè)井深是x厘米，則有：2x+60×2=3x-40×3 ，井深x=240（厘米），繩長600厘米；法2：設(shè)繩長是y厘米，則有：【例4】 （難度系數(shù)：）箱子里面有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)比白球數(shù)的3倍多兩個，每次從箱子里取出7個白球，15個紅球如果經(jīng)過若干次以后，箱子里只剩下3個白球，53個紅球，那么，箱子里原有紅球比白球多多少個?分析：設(shè)取球的次數(shù)為x次那么原有的白球數(shù)為（3+7x），紅球數(shù)為（53+15x）再根據(jù)題中的第一個條件：53+15x=3×（3+7x）+2，解得

5、x=7，所以原有紅球158個，原有白球52個，紅球比白球多106個此題用逆向思維較難求解，但是用方程則思路非常清晰簡單【例5】 （難度系數(shù)：）小新去動物園看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就問管理員叔叔共有多少只猩猩，管理員叔叔開心的答道：“頭數(shù)加只數(shù)，只數(shù)減頭數(shù)，頭數(shù)乘只數(shù)，只數(shù)除頭數(shù)，把四個得數(shù)相加恰好是100 .”那么聰明的你知道一共有多少只猩猩嗎？分析：設(shè)動物園有x只猩猩，依題意有：（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+ x×x+1=100，亦即x（x+2）=99，又整數(shù)，只有唯一解=9【例6】 （難度系數(shù)：）從甲地到乙地的公

6、路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米。車從甲地開往乙地需9小時，從乙地到甲地需7.5小時，問：甲乙兩地公路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？分析：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得解得x140，y=70，所以甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路.【例7】 （難度系數(shù)：）幼兒園有三個班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人.老師給小孩分棗，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分了3個棗，乙班

7、每個小孩比丙班每個小孩少分了5個棗，結(jié)果甲班比乙班總共多分了3個棗，乙班比丙班總共多分了5個棗，三個班總共分了多少個棗？ 分析：法1：設(shè)甲班有x人，則乙班有（x4）人，丙班有（x8）人；甲班每人分得y個棗，則乙班每人分得（y+3）個，丁班每人分得（y+8）個那么有甲班共分得xy個棗，乙班共分得(x-4)(y+3)棗，丙班共分得(x-8)(y+8)個棗，整理有，解得因此，甲班小孩19人，每個小孩分棗12個；乙班小孩15人，每個小孩分棗15個；丙班小孩11人，每個小孩分棗20個19×12+15×15+11×20673(個) ，所以，三班共分673個棗法2：先看甲、丙兩

8、班，有甲班x人比丙班x人少分8x顆棗，而甲班共分得棗比丙班多8個，所以甲班多出的8人共分得8x+8顆棗，即每人分得x+1顆棗那有再看乙、丙班，乙班x人比丙班x人少分5x顆棗，而乙班共分得的棗比丙班多5個棗，所以乙班多出的4人共分得5x+x顆棗，即每人分得(5x+5)÷4顆棗有(5x+5)÷4x+4，解得x11因此，甲班小孩19人，每個小孩分棗12個；乙班小孩15人，每個小孩分棗15個；丙班小孩11人，每個小孩分棗20個19×12+15×15+11×20673(個) ，所以三班共分673個棗 類型：引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知

9、條件較少的應(yīng)用題，列方程時，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件?！纠?】 （101中學(xué)分班考試試題）（難度系數(shù)：）五年級二班數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)是85分，其中的人得80分以上（含80分），他們的平均分?jǐn)?shù)是90分。求低于80分的人的平均分。分析：設(shè)該班級有名同學(xué)，低于80分的人的平均分為，則得方程: ,解得x=75.【例9】 （華杯賽決賽）（難度系數(shù)：）有兩個班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送，甲班的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時，乙班的學(xué)生開始步行，車到中途某處，讓甲班的學(xué)生下車步行，車立刻

10、返回接乙班的學(xué)生上車并直接開往少年宮，兩班學(xué)生正好同時到達(dá)。已知學(xué)生步行速度為每小時4千米，載學(xué)生時車速為每小時40千米，空車時速度為每小時50千米。求甲班學(xué)生應(yīng)步行全程的幾分之幾?（學(xué)生上下車時間不計）分析：因為每班步行和坐車的行程總和一樣長，又同時出發(fā)，同時到達(dá)，所以甲、乙兩班的步行距離和坐車距離都相等。也就是說圖上乙步行的距離b千米和甲步行的距離a千米相等。而根據(jù)題意我們又可以找到下列等量關(guān)系： 乙班步行b千米(也就是a千米)所用的時間等于汽車送完甲隊又原路返回遇到乙隊共用的時間。然后根據(jù)等量關(guān)系列方程解答即可。 設(shè)全程為x千米，甲、乙兩班分別步行a、b千米，根據(jù)題意得：所以甲班步行了全

11、程的. 由上例可以看出，列方程解應(yīng)用題并不一定只設(shè)一個未知數(shù)，根據(jù)解題的需要，我們有時可以多設(shè)幾個字母來代替數(shù)，幫助我們理清題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，以便我們能夠很快的找到解決問題的途徑。【例10】 （小學(xué)奧林匹克決賽）（難度系數(shù)：）如圖，在一個梯形內(nèi)有兩個三角形的面積分別為10和12，已知梯形的上底是下底長的。那么余下的陰影部分的面積是多少？ 分析：設(shè)上底為，那么下底為，則上下兩個三角形的高分別為，梯形的高是，其面積為，陰影部分面積為。類型：列不定方程解應(yīng)用題有些應(yīng)用題，用代數(shù)方程求解，有時會出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個數(shù)多于所列方程的個數(shù)，這種情況下的方程稱為不定方程。這時方程的解有多個，即解不是唯一確

12、定的，對于這部分內(nèi)容我們是要和數(shù)論中的數(shù)的整除性問題結(jié)合起來。但注意到題目對解的要求，有時只需要其中一些或個別解?！纠?1】 （奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫）（難度系數(shù)：）有兩種不同規(guī)格的油桶若干個，大的能裝8千克油，小的能裝5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶。問：大、小油桶各幾個？分析：設(shè)有大油桶x個，小油桶y個。由題意8x+5y=44，知8x44，所以x0、1、2、3、4、5。相應(yīng)的將x的所有可能值代入方程，可得x3時，y=4 . 此題在解答時，也可聯(lián)系數(shù)論的知識，注意到能被5整除的數(shù)的特點，便可輕松求解.【例12】 （迎春杯預(yù)賽試題）（難度系數(shù)：）小華和小強各用6角4分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中

13、都是5分一支和7分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多小華比小強多買來鉛筆支分析：設(shè)買5分一支的鉛筆支，7分一支的鉛筆n支。則：5×+7×=64， 647×n是5的倍數(shù)用n=0，1，2，3，4，5，6，7，8代入檢驗，只有n=2，7滿足這一要求，得出相應(yīng)的=10，3即小華買鉛筆lO+212支，小強買鉛筆7+3=10支，小華比小強多買2支【例13】 （奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫）（難度系數(shù)：）小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？分析：設(shè)套

14、中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y）次。根據(jù)得61分可列方程：9x+5y+2（10-x-y）=61，化簡后得7x=413y。顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數(shù)解；若y=2，7x=35，解得x=5，所以小明至多套中小雞5次. 附加題目 【附1】（101測試題）（難度系數(shù)：）甲、乙、丙、丁四人共做零件270個。如果甲多做10個，乙少做10個，丙的個數(shù)乘以2，丁做的個數(shù)除以2，那么四人做的零件數(shù)恰好相等，問丙實際做了多少個？分析:設(shè)四人做的零件數(shù)恰好都為x，根據(jù)題意可得：（x-10）+（x+10）+（x÷2）+（x×2）=270 ，解得x=60

15、，丙實際做了60÷2=30（個 ）.【附2】（迎春杯刊賽）（難度系數(shù)：）有甲乙丙三個人，當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時；丙是22歲，當(dāng)乙的年齡是丙的2倍，甲是31歲；當(dāng)甲60歲時，丙是多少歲?分析：設(shè)丙22歲時，乙的年齡是x歲，當(dāng)時甲的年齡就是2x歲那么甲是3l歲時，乙是(31-x)歲，丙是22+（31-2x）=53-2x歲，且有：31-x=2×（53-2x），解得x=25，所以乙25歲時，甲50歲，丙22歲那么甲60歲時，丙32歲利用方程解年齡問題設(shè)定乙的年齡之后，我們可以把各個時期甲、乙、丙的年齡都用含有x的式子表達(dá)出來，繼而很方便地建立等量關(guān)系【附3】（奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫）（難度系

16、數(shù)：）有甲、乙、丙三堆石子，從甲堆中取出8個給乙堆后，甲、乙兩堆的石子數(shù)就相等了；再從乙堆中取出6個給丙堆，乙、丙兩堆石子個數(shù)就也相等了；此時又從丙堆中取2個給甲堆，使甲堆石子數(shù)是丙堆石子數(shù)的兩倍，問：原來甲堆有多少個石子?分析：設(shè)甲堆原來有x個石子，那么甲堆取出8個給乙后，甲乙兩堆都是(x-8)個石子；然后乙取6個給丙，乙丙的石子數(shù)都變成了x-8-6=x-14；再從丙堆取2個給甲堆，那么甲堆變?yōu)閤-8+2=x-6，丙堆變?yōu)閤-14-2=x-16，此時有關(guān)系：x-6=2（x-16），解得x=26 題目中的變化過程比較多，在設(shè)立未知數(shù)后，一步步跟上分析，把每一步的變化結(jié)果都用x的式子表示出來，最

17、后建立等量關(guān)系.【附4】（人大附中分班考試試題）（難度系數(shù)：）如右圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的哪一條邊上？分析：這是環(huán)形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到“環(huán)行”追及問題，根據(jù)乙在這段時間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。設(shè)追上甲時乙走了x分。依題意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x65x+270.解得：x=，在這段時間內(nèi)乙走了：，由于正方形邊長為90米，共四條邊，故由，可以推算出這時甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上.【附5】（

18、第十一屆迎春杯決賽）（難度系數(shù)：）小明從自己家到奶奶家時，前一半路程步行，后一半路程乘車；他從奶奶家回家時，前1/3時間乘車，后2/3時間步行結(jié)果去奶奶家的時間比回家所用的時間多2小時已知小明步行每小時行5千米，乘車每小時行15千米，那么小明從自己家到奶奶家的路程是多少千米?分析：設(shè)小明家到奶奶家的路程為x千米，而小明從奶奶家返回家里所需要的時間是y小時，那么根據(jù)題意有： 用方程解題關(guān)鍵在于未知數(shù)設(shè)定的合理性，解答中的一個路程未知數(shù)，一個時間未知數(shù)，恰好能夠把題目中的所有關(guān)系都利用到【附6】（奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫）（難度系數(shù)：）有甲、乙、丙、丁4個人，每三個人的平均年齡加上余下一人的年齡之和分別為29

19、，23，21和17，這4人中最大年齡與最小年齡的差是多少？分析：設(shè)甲、乙、丙、丁4個人的年齡分別為a、b、c、d，那么有：【附7】（首師大附入學(xué)測試題）（難度系數(shù)：）某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運動，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車？分析：此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù)，問題就解決了。設(shè)汽

20、車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為v2，依題意得： 【附8】（北大附中培訓(xùn)試題）（難度系數(shù)：）小萌在郵局寄了3種信，平信每封8分，航空信每封1角，掛號信每封2角，她共用了1元2角2分。那么小萌寄的這3種信的總和最少是多少封？分析：平信每封8分，航空信分封1角=10分，掛號信每封2角=20分。共用了1元2角2分=122分。設(shè)小萌發(fā)了平信X封，航空信Y封，掛號信Z封。得方程：8X+10Y+20Z=122，要使這3種信的總和最少，則掛號信應(yīng)最多；再則航空信也盡可能多。因總錢數(shù)的個位是2，則平信最少是4封。8×4=32分。其余信的總錢數(shù)為122-32=90分。90/20=4

21、10。則掛號信4封，航空信10/10=1封。4+4+1=9封?！靖?】（迎春杯決賽試題）（難度系數(shù)：）某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元這個學(xué)校共有35名教師，14個教學(xué)班各班學(xué)生人數(shù)相同且多于30人不超過45人如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元？分析：設(shè)每班有a(30a45)名學(xué)生，每人平均捐款x元(x是整數(shù))，依題意有：x(14a+35)=1995于是14a+35|1995又3la45，所以46914a+35665，而1995=3×5×7×19，在469與665之間它的約數(shù)僅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元【附10】

22、（奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫）（難度系數(shù)：）甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數(shù)是18的倍數(shù)，乙搬的磚數(shù)是23的倍數(shù)，兩人共搬了300塊磚。問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？分析：設(shè)甲搬的是18x塊，乙搬的是23y塊，那么18x+23y=300，觀察發(fā)現(xiàn)18x和300都是6的倍數(shù)，所以y也是6的倍數(shù)，y=6時 18x=162 x=9，y=12時 18x=24 x=4/3 矛盾，所以甲搬了162塊，乙搬了138塊，甲比乙多24塊。 練習(xí)十 請你用方程法解答下列問題！1一個數(shù)的4倍加上3乘以0.7的積，和是，則這個數(shù)是多少？分析：方程法，設(shè)這個數(shù)為x，4x+3×0.7，x1.1 2某校有學(xué)生465人，其中女生的

23、比男生的少20人，那么男生比女生少多少人?分析：設(shè)女生為x人，那么男生為（465-x）人，根據(jù)題意有：，解得x=240，所以女生有240人，男生有225人，男生比女生少15人3某班原分成兩個小組活動，第一組26人，第二組22人，根據(jù)學(xué)校活動器材的數(shù)量，要將一組人數(shù)調(diào)整為二組人數(shù)的一半，應(yīng)從一組調(diào)多少人到二組去？分析：設(shè)應(yīng)從第一組調(diào)x人到第二組去，根據(jù)題意可得：26-x=（26+22）÷3 ，解得x=10 .4現(xiàn)有一筆錢，都是硬幣。其中2分硬幣比5分硬幣多24個。按錢數(shù)算，5分的錢數(shù)比2分的錢數(shù)多3角，還有53個1分硬幣，這筆錢一共有多少分？分析：設(shè)5分硬幣有個，則2分硬幣有（24+）個，依據(jù)5分的錢數(shù)=2分的錢數(shù)+3角，可得方程，解得，則2分英鎊有24