（參考）《平面向量基本定理》教學設計

1、平面向量基本定理教學設計一、內容和內容解析內容：平面向量基本定理。內容解析：向量不僅是溝通代數與幾何的橋梁，還是解決許多實際問題的重要工具。從問題中抽象出向量模型，再通過向量的代數運算獲得問題的解決方案或結果，是利用向量解決問題的基本特征。（平面向量的概念、向量的運算、平面向量基本定理、平面向量的坐標表示是平面向量的主要內容。）平面向量基本定理是向量進行坐標表示，進而將向量的運算（向量的加、減法，向量的數乘、向量的數量積等）轉化為坐標的數量運算的重要基礎，同時，它還是用基本要素（基底、元）表達和研究事物（向量空間、具有某種性質的對象的集合）的典型范例，對于人們掌握認識事物的方法，提高研究事物的

2、水平，有著難以替代的重要作用。 二、目標和目標解析1理解平面向量的基底的意義與作用，利用平面向量的幾何表示，正確地將平面上的向量用基底表示出來。2通過不同向量用同一基底表示的探究過程，得出并證明平面向量基本定理。3通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數”的基本觀念。4平面向量基本定理建立了平面上的向量集合與二元有序數組的集合之間的對應關系（這種對應關系建立了非數對象與數（或數組）之間的一種映射），通過這種對應關系，我們可以將向量的運算轉化為數的運算，由此達到簡化向量的運算，這是數學的一種基本方法。5體會用基本要素（元）表示事物，

3、或將事物分解成基本要素（元），由此達到將對事物的研究轉化為對基本要素（元）的研究，通過對基本要素的內在了解的研究達到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。 三、教學問題診斷分析1如何處理共線向量定理與平面向量定理之間的同異點及了解是教學平面向量基本定理時的關鍵問題，也是理解不同維數的“向量空間”，體會高維空間向低維空間轉化的重要機會與途徑。因此，教學時應該從共線向量定理的意義與作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）統(tǒng)一表示的方法。2利用向量加法的平行四邊形法則，將平面上任一向量用兩個不平行的確定向量（即基底）表示出來是教學中應該關注的另一個關鍵問題。教學時，讓學生聽教師講解是一種處理方法，如

4、果能結合力的分解，啟發(fā)學生聯想到用平行四邊形的加法法則進行向量分解，可能會有更大的收獲。當然，在進行這個關鍵問題的教學時，可能會涉及平行投影等知識與方法，可根據不同的學生對象進行取舍。 四、學生學習行為分析1學生對向量加、減法及數乘等運算的意義與作用認識不夠，容易將向量的運算與數的運算混淆。2對于向量的加法、數乘等運算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數運算的角度理解向量運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。3如果不加啟發(fā)與引導，學生是不會從“基底”、“元”、“維數”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內涵，也難以認識這個定理在今后用向量方法解決問題中的重要作用。

5、五、教學支持條件分析1學生的認知基礎：對平面向量與數量的“同異點及了解”有一個基本認識，會用有向線段表示向量，掌握了向量的加法運算與數乘運算。2教學設備：能反映向量加法與數乘運算的計算機軟件或圖形計算器，盡可能準備實物投影設備。 六、教學過程設計問題1：任意找一首用簡譜譜寫的歌曲，你能找到用阿拉伯數字“8”表示的音符嗎？為什么？意圖：關注依附于平面向量基本定理上的重要數學思想，讓學生明白任何一首曲子都可以用17這七個阿拉伯數字作為音符來譜寫，為用基底表示向量作鋪墊，并由此感受用“元”表達事物的思想。提出這個與數學知識了解不緊密的問題讓學生思考的另一個目的，是將將要學習的知識與思想寓于學生感興趣

6、的問題中，從而激發(fā)他們的學習欲望與熱情。師生活動：教師給出一些用簡譜譜寫的歌曲，提出問題讓學生思考，歸納總結出如下結論：任何一首用簡譜譜寫的曲子都找不出用阿拉伯數字“8”表示的音符，但都可以用17這七個阿拉伯數字作為音符譜寫出來。 問題2：兩個三角形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形之間有什么關系？你是如何得出這個關系的？你能從這個問題中得到一個怎樣的結論？意圖：由此，使學生形成三角形的三條邊是三角形這個數學對象的三個類似于向量的“基底”的元認知，明確有關三角形（忽略了位置）的問題均可以轉化為關于三角形的三條邊的問題。希望能將問題1中“事物元分解”的觀點遷移到數學對象的認識中來，并由此引出向量

7、的分解與基底表示的探討。師生活動：讓學生思考討論，教師幫助學生總結出結論：“如果只考慮形狀大小，任何三角形都可由它的邊來確定，因此我們可以說邊是構成三角形的要素（元），而三角形是三元對象”。任何數學對象都有確定它的基本要素（元），可以通過探究如何用這些要素表示數學對象，達到理解并把握這些數學對象的目的。 問題3：取一個與數軸方向相同的向量記為a，那么與數軸平行的所有向量與向量a有什么關系？意圖：回顧共線向量定理，體會共線向量的“基底”及用基底表示共線向量的方法，明確平行向量形成“一維空間”，形成對“一元數學對象”的認識，并為探究平面向量基本定理作鋪墊。師生活動：引導學生回顧共線向量定理，教師重

8、新解析共線向量定理的意義與作用。 問題4：取一個與數軸不平行的向量記為b，那么向量b可以表示怎樣的向量？意圖：明確任意一個方向上的全體向量均構成“一維向量空間”，為探究選取兩個不同方向的向量作平面向量的基底作準備。師生活動：學生思考問題4與問題3的同異點與了解，教師解析這個問題的意義與作用。問題5：對平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將引起下滑的重力分解成哪幾個力？意圖：由重力可以分解為下滑方向的力與垂直斜坡向里的力的和，體會向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）過渡。師生活動：學生說，教師引導并表述結論。 問題6：取一個與向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出來

9、嗎？意圖：得出平面向量基本定理的內容。師生活動：教師引導，學生獨立探究，教師在學生的探究所獲得的結論的基礎上，總結出平面向量基本定理。 問題7：利用平面向量基本定理，你能解決下面問題嗎？如圖在中, , 與相交于, 求證: .解析：設，則，同時，由三個向量的終點共線，故有。所以，從而所以，。意圖：這個問題是一個相當簡單的問題，用相似三角形之間的比例關系就可以解決。這里的目的，是以這個熟悉而且簡單的問題，讓學生感受平面向量基本定理的重要作用，體會向量的應用，加深對平面向量基本定理的認識。師生活動：教師啟發(fā)引導學生思考，給出解決這一問題的嚴謹過程，給學生一個利用向量解決問題的示范。教師引導學生總結上

10、述解決問題的方法的步驟，一方面使學生明確這一方法與平面幾何方法的差異：由于數量及其運算的引進，使得我們的算法更容易表達和操作了；另一方面為今后學習算法留下案例，引導學生從算法的角度思考并解決問題。此處要再配一些題目，訓練學生以學會用基底表示非基底向量。 問題8：如果一個問題中沒有向量（結合問題7中的平面幾何問題考慮），但可以考慮用向量來解決它，你會按怎樣的步驟來實現？意圖：加深對平面向量基本定理的理解，將向量方法總結為一個算法。師生活動：學生先思考，讓學生發(fā)表意見，教師總結出向量方法的算法步驟。 問題9：你能結合問題1、問題2與平面向量基本定理，談談你的認識嗎？意圖：進行本節(jié)課的小結。師生活動：學生先談，教師給出總結：世界上具有某種共同屬性的事物總有決定它的基本要素，如果我們能找出這些要素并用它來表示這一類事物，那么我們就能通過研究這些基本要素來研究這一類事物，這是一種基本方法。平面向量基本定理為我們建立了一個示范，它告訴我們，今后利用向量研究問題，我們關注更多的是基底是什么，如何將有關向量用基底表示出來。當向量用基底表示后，一個向量與其它向量的區(qū)別就在于基底前的系數的區(qū)別，這使問題中的各種關系在轉化為向量間的關系后，又進一步地轉化為有序數組之間的