第5課時(shí)導(dǎo)數(shù)與定積分的綜合應(yīng)用(選講)

1、第5課時(shí)導(dǎo)數(shù)與定積分的綜合應(yīng)用（選講）【基礎(chǔ)過關(guān)】1導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用函數(shù)y=f (x) 在點(diǎn)x0導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f (x) 在點(diǎn)P(x0, f(x0)處的，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則對(duì)加法而言；對(duì)乘法而言；對(duì)除法而言。2導(dǎo)數(shù)與定積分的關(guān)系在求定積分時(shí)，要求出原函數(shù)，求原函數(shù)的過程可以看作是求導(dǎo)的?！净A(chǔ)訓(xùn)練】1已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于3，則的解析式可能為（）ABCD2若在區(qū)間內(nèi)有且，則在區(qū)間內(nèi)有（）ABCD不能確定3設(shè)函數(shù)有極值，則極值點(diǎn)為 . 4，則的值為.【典型例題】例1過點(diǎn)作曲線（，）的切線切點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)在軸上的投影是點(diǎn)；又過點(diǎn)作曲線的切線切點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)在軸上的投影是點(diǎn)；依此下去，得

2、到一系列點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（1）求證：，；（2）求證：；（3）求證：（注：） 剖析函數(shù)y=f (x) 在點(diǎn)x0導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f (x) 在點(diǎn)P(x0, f(x0)處的切線的斜率，也就是說，曲線y=f (x) 在P (x0, f (x0)處的切線的斜率是f(x0)，于是相應(yīng)的切線方程為yy0=f(x0) (xx0)，巧借導(dǎo)數(shù)幾何意義“傳接”的各類綜合題頻頻出現(xiàn)。本例涉及到求切線方程的問題,其關(guān)鍵在于掌握切線的斜率等于切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).解（）為了求切線的斜率，只要對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得若切點(diǎn)是，則切線方程是當(dāng)時(shí)，切線過點(diǎn)，即，得；當(dāng)時(shí)，切線過點(diǎn)，即，得所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，（）應(yīng)用二項(xiàng)

3、式定理，得（）記，則，兩式錯(cuò)位相減，得，故 警示求切線方程關(guān)鍵在于切點(diǎn)，因?yàn)榍悬c(diǎn)不僅是直線上的一個(gè)點(diǎn)，而且它給出切線的方向(切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù));應(yīng)熟練地求出曲線在某點(diǎn)處的切線方程。本題綜合解析幾何、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、二項(xiàng)式定理、不等式等知識(shí)點(diǎn)。例2（2006年遼寧卷）已知函數(shù)f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數(shù)列，且a0,d0.設(shè)1-上，在，將點(diǎn)A， B， C (I)求(II)若ABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值剖析對(duì)于第（1）小題，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，但需注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；對(duì)于第（2）小題，應(yīng)充分利用“面積為”這一條件。解(I)解: ,令,得,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), 所以f(

4、x)在x=-1處取得最小值即(II) 解法一：，的圖像的開口向上,對(duì)稱軸方程為.由知,在上的最大值為,即.又由,當(dāng)時(shí), 取得最小值為,由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸,所以又由三角形ABC的面積為得利用b=a+d,c=a+2d,得聯(lián)立(1)(2)可得.解法二: ,又c>0知在上的最大值為,即: 又由當(dāng)時(shí), 取得最小值為,由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸,所以又由三角形ABC的面積為得利用b=a+d,c=a+2d,得聯(lián)立(1)(2)可得警示本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,等差數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

5、分析問題解決問題的能力變式訓(xùn)練已知函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。（）求的方程；（）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，證明：；若，則。例3（2006年湖北卷）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，.若存在使得成立，求的取值范圍.剖析利用導(dǎo)數(shù)研究的問題中若含有參數(shù)，應(yīng)抓住參數(shù)的實(shí)際意義進(jìn)行討論。解（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，則f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點(diǎn)，所以x+a+10，那么a4

6、.當(dāng)a<4時(shí)，x2>3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（3，a1）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù)。當(dāng)a>4時(shí)，x2<3x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（a1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù)。（）由（）知，當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min

7、(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e3<0，f (4)（2a13）e1>0，f (3)a6，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范圍是（0，）。警示本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。此題中的參數(shù)有一定的聯(lián)系，并影響導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)，即影響函數(shù)的單調(diào)性，故應(yīng)結(jié)合不等式知識(shí)研究參數(shù)的取值范圍。將多

8、個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合進(jìn)行考查是最近幾年高考試題的一大特點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意對(duì)這類問題的把握。例4設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)1，1，且，求證：剖析題目中的是主元，為輔元，但方程的的次數(shù)高于3，求根比較困難，注意到的最高次數(shù)為1，故可視為主元，將原方程視為關(guān)于的一次方程，分離出參數(shù)，再借助于的取值范圍進(jìn)行求解。解（1） 若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須這樣的實(shí)數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，由于.從而0<a3.（2）方法1：可知在上只能為單調(diào)增函數(shù). 若1，則 若1矛盾，故只有成立.方法2：設(shè)，兩式相減得 1,u1，警示 解答求取值范圍的一類問題時(shí)，

9、常將參數(shù)用函數(shù)式表示出來，將參數(shù)范圍轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)函數(shù)值域問題。研究較為復(fù)雜函數(shù)在閉區(qū)間的值域時(shí)，常常利用導(dǎo)數(shù)解決。變式訓(xùn)練（2006年全國I）已知函數(shù).（）設(shè)，討論的單調(diào)性；（）若對(duì)任意恒有，求的取值范圍。解：（I） 的定義域?yàn)椋ǎ?）（1，） 因?yàn)椋ㄆ渲校┖愠闪?，所?當(dāng)時(shí)，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，的解為：（，）（t，1）（1，+）（其中）所以在各區(qū)間內(nèi)的增減性如下表：區(qū)間（，）（，t）（t，1）（1，+）的符號(hào)+的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)（II）顯然 當(dāng)時(shí)，

10、在區(qū)間0，1上是增函數(shù)，所以對(duì)任意（0，1）都有； 當(dāng)時(shí)，是在區(qū)間 0，1上的最小值，即，這與題目要求矛盾； 若，在區(qū)間0，1上是增函數(shù)，所以對(duì)任意（0，1）都有。綜合、 ，a的取值范圍為（，2）例5設(shè)點(diǎn)P在曲線上，從原點(diǎn)向A(2，4)移動(dòng)，如果直線OP、曲線及直線x=2所圍成的面積分別記為、(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和此時(shí)的最小值剖析(1)問題的關(guān)鍵在于P點(diǎn)的位置，因而設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)，建立直線OP的方程，求出與，由條件即可解出點(diǎn)P的坐標(biāo)對(duì)(2)只要建立起的目標(biāo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來求最小值即可。解(1)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(O<t<2)，則，直線OP的方程為

11、：y=tx，。，所以，得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為。（2）設(shè)，令S=0 得 ，0<t<2，時(shí)，S<0，時(shí)，S>0，所以，當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(，2)時(shí)，有最小值警示本題主要小結(jié)利用定積分求曲邊梯形面積的方法，前后知識(shí)融會(huì)貫通是解決這類綜合題的基礎(chǔ) 例6已知y=ax3+bx通過點(diǎn)（1,2），與y=x2+2x有一個(gè)交點(diǎn)x1，且a<0。（1）求y=ax3+bx與y=x2+2x所圍的面積S。（2）a,b為何值時(shí)，S取得最小值。剖析先利用定積分求出，然后借助于導(dǎo)數(shù)求解最大值與最小值。解（1）按題意，x=1時(shí)y=2，故a+b=2,即b=2a,從而y=ax3+bxa(x2-x)+2x與

12、y=x2+2x有交點(diǎn)0及，按條件a<0，x1>0,由此可得1a<0,即a<1。從上所述y=ax3+bx與y=x2+2x所圍的面積S為（2）求出導(dǎo)數(shù)，不難看出在上0，在（3，1）上0因此在上S（a）在點(diǎn)x=3處取得最小值，這時(shí)b=2a=5，最小值S（3）。警示定積分是最新的內(nèi)容，與實(shí)際問題緊密結(jié)合，是大學(xué)內(nèi)容的下放，所以肯定是高考中的重點(diǎn)，而且有可能與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合出綜合題，因此在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意?！菊n后作業(yè)】.1若函數(shù)，則2已知函數(shù)在上恒正，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.3設(shè)，則.4已知函數(shù)的極大值為。 （）求實(shí)數(shù)的值；（）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象總在直線的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍。5. 已知函數(shù)在x=1處有極值-2（1）求常數(shù)a、b；（2）求曲線y=f(x)與x軸所包圍的面積6相交于點(diǎn)B，從點(diǎn)B向x軸引垂線垂足為H，設(shè)被分成三部分的面積分別是，當(dāng)時(shí)，求的值。xyO圖16（2006年東營）設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖1所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f ¢(x)可能為（）xyOAxyOBxyOCyODx7（2