課題8.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(三)

1、課 題：81橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（三）教學(xué)目的：1.使學(xué)生理解軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系2.使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)移法（也稱代換法，中間變量法，相關(guān)點(diǎn)法）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法與橢圓有關(guān)問題的解決教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用中間變量法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用中間變量法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡教學(xué)方法：講練結(jié)合法教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方：（1）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離確定（2）繩長-軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定在同樣的繩長下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）兩定

2、點(diǎn)間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長有關(guān)(為下面離心率概念作鋪墊)2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中（2）它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程 其中在與這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線截距式類比，如中，由于，所以在軸上的“截距”更大，因而焦點(diǎn)在軸上(即看分母的大小) 二、新課講解：例1已知是兩個(gè)定點(diǎn)，且的周長等于，求頂點(diǎn)的軌跡方程解：如圖，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，由已知，且，即點(diǎn)的軌跡是橢圓，且，又三點(diǎn)共

3、線時(shí)不能構(gòu)成三角形，此時(shí)，所以，點(diǎn)的軌跡方程為（）說明：本例中，利用橢圓的定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，這種方法稱之為定義法。使用定義法的關(guān)鍵是：充分分析圖形的特點(diǎn)，熟悉各種曲線的定義，數(shù)形結(jié)合（注意結(jié)合圖形，去掉不和題意的點(diǎn)）例2如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則， 在圓上， 把代入得，即，所以，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓。說明：1本例中利用中間變量與之間的關(guān)系求曲線方程的方法叫“轉(zhuǎn)移法”（或“相關(guān)點(diǎn)法”）；2由本題結(jié)論，將圓按某個(gè)方向均勻地壓縮（或拉長），可以得到橢圓例3一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說明它

4、是什么樣的曲線解：（法一）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得：，當(dāng)與相切時(shí)，有 當(dāng)與相切時(shí)，有 將兩式的兩邊分別相加，得，即 移項(xiàng)再兩邊分別平方得： 兩邊再平方得：，整理得，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓（法二）由解法一可得方程，由以上方程知，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長軸長等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，圓心軌跡方程為例3已知軸上的一定點(diǎn)A（1,0），Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，所以有 ，即所以點(diǎn)的軌跡方程是 例4長度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、

5、B分別在軸、軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M分AB的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 的坐標(biāo)為 因?yàn)?，所以?，即所以點(diǎn)的軌跡方程是 例5已知定圓，動(dòng)圓M和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程 分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號表示此結(jié)論： 上式可以變形為，又因?yàn)?，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓 解 已知圓可化為：圓心Q(3，0)，所以P在定圓內(nèi) 設(shè)動(dòng)圓圓心為，則為半徑 又圓M和圓Q內(nèi)切，所以，即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是： 三課堂小結(jié)：1定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；2

6、“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法：轉(zhuǎn)移法是在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)隨著另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而另一個(gè)點(diǎn)又在有規(guī)律的曲線上運(yùn)動(dòng)，這種情況下才能應(yīng)用的，運(yùn)用這種方法解題的關(guān)鍵是尋求兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系 四、課堂練習(xí)：1已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向軸作垂線段，求線段的中點(diǎn)M的軌跡.選題意圖：訓(xùn)練相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，考查“通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)”這一解析幾何基本思想.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.P在圓上，即.點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓2ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是-，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.選題意圖：鞏固求曲線方程的一般方法，建立借助方程對應(yīng)曲線后舍

7、點(diǎn)的解題意思，訓(xùn)練根據(jù)條件對一些點(diǎn)進(jìn)行取舍.解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為.依題意得 ，頂點(diǎn)A的軌跡方程為 .說明：方程對應(yīng)的橢圓與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此兩交點(diǎn)為（，）與(0，6)應(yīng)舍去.3已知橢圓的焦點(diǎn)是，為橢圓上一點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)P在第三象限，且120°，求.選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題.解：(1)由題設(shè)4， 2c=2， 橢圓的方程為.（）設(shè)，則60°由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故.說明：曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關(guān)的問題常常借助正(余)弦定理，借助比例性質(zhì)進(jìn)行處理.對于第二問還可用后面的幾何性質(zhì)，借助焦半徑公式余弦定理把P點(diǎn)橫坐標(biāo)先求出來，再去解三角形作答五、課堂作業(yè)1在中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，三邊長，成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)的