第8章常微分方法的數(shù)值解法 ----81 Euler 方法_圖文

1、第八章常微分方程數(shù)值解法-8.1 Euler 方法第8章常微分方法的數(shù)值解法8.1.1 Euler 方法及其有關(guān)的方法8.1.2 局部誤差和方法的階第八章常微分方程數(shù)值解法第8章常微分方法的數(shù)值解法教學(xué)目的1. 掌握解常微分方程的單步法:Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法;2. 掌握解常微分方程的多步法:Adams步法、Simpson方法和Milne方法等;3. 了解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性;多步法的穩(wěn)定性。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)是解常微分方程的單步法:Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法:Adams步法、Simpson

2、方法和Milne方法等;難點(diǎn)是理解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性及多步法的穩(wěn)定性。第八章常微分方程數(shù)值解法第8章常微分方法的數(shù)值解法科學(xué)技術(shù)與工程問題常常需要建立微分方程形式的數(shù)學(xué)模型,下面是這類問題的例子。設(shè)N (t 為某物種的數(shù)量,為該物種的的出生率與死亡率之差,為生物的食物供給及它們所占空間的限制,描述該物種增長率的數(shù)學(xué)模型是。002(N t N t N t N dtdN =設(shè)Q 是電容器上的帶電量,C 為電容,R 為電阻,E 為電源的電動(dòng)勢(shì),描述該電容器充電過程的數(shù)學(xué)模型是。,00(Q t Q RCt Q E dt dQ =第八章常微分方程數(shù)值解法以上兩個(gè)例子是常微分方程初值問題,下面

3、是一個(gè)兩點(diǎn)邊值問題的例子。設(shè)一跟長為L 的矩形截面的梁,兩端固定。E 是彈性模量,S 是端點(diǎn)作用力,I (x 是慣性矩,q 是均勻荷載強(qiáng)度,梁的橈度y (x 滿足如下方程(。(,00(2(22=+=L y y l x x EI qx x y x EI S dx y d 針對(duì)實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型,要找出模型解的解析表達(dá)式往往是困難的,甚至是不可能的。因此,需要研究和掌握微分方程的數(shù)值解法,即計(jì)算解域內(nèi)離散點(diǎn)上的近似值的方法。本章討論常微分方程數(shù)值解的基本方法和理論。第八章常微分方程數(shù)值解法8.1 Euler 方法8.1.1 Euler 方法及其有關(guān)的方法考慮一階常微分方程初值的問題:=00(,

4、(y x y y x f y 設(shè)f (x,y 是連續(xù)函數(shù),對(duì)y 滿足Lipschitz 條件,這樣初值問題的解是存在唯一的,而且連續(xù)依賴于初始條件。為了求得離散點(diǎn)上的函數(shù)值,將微分方程的連續(xù)問題(8.1.1進(jìn)行離散化。一般是引入點(diǎn)列 ,這里為步長,經(jīng)?？紤]定長的情形,即。記為初始問題(8.1.1的問題準(zhǔn)確解在處的值,用均差近似代替(8.1.1的導(dǎo)數(shù)得n x n n n n h n h x x 。稱,.2,1,1=+=L ,100=+=n nh x x h h n n (x y (n x y n x第八章常微分方程數(shù)值解法。,(11+n n n n n n n n x y x f hx y h

5、x y x y x f hx y h x y 令為的近似值,將上面兩個(gè)近似寫成等式,整理后得n y (n x y 。,L L 10(10(1111=+=+=+n y x hf y y n y x hf y y n n n n n n n n (8.1.2(8.1.3從處的初值開始,按(8.1.2可逐步計(jì)算以后各點(diǎn)上的值。稱(8.1.2式為顯式Euler 。由于(8.1.3式的右端隱含有待求函數(shù)值,不能逐步顯式計(jì)算,稱(8.1.3 式為隱式Euler 公式或后退Euler 公式。如果將(8.1.2和(8.1.3兩式作算術(shù)平均,就得梯形公式。0x 0y 1+n y第八章常微分方程數(shù)值解法梯形公式也

6、是隱式公式。以上公式都是由去計(jì)算,故稱它們?yōu)閱尾椒?。?.1 取h=0.1,用Euler 方法、隱式Euler 方法和梯形方法解n y 1+n y 。,10(1=+=y y x y 解本題有如果用Euler 方法,由(8.1.2并代入h=0.1得。,11(0=+=y y x y x f 。1.09.01.01+=+n n n y x y 同理,用隱式Euler 方法有。1.01.0(1.1111+=+n n n y x y 。,L 1(2111o n y x f y x f h y y n n n n n n =+=+(8.1.4第八章常微分方程數(shù)值解法用梯形公式有。105.095.01.0(

7、05.111+=+n n n y x y 三種方法及準(zhǔn)確解的數(shù)值結(jié)果如表8-1所示。從表中看到,在處,Euler 方法和隱式Euler 方法的誤差分別是和,而梯形方法的誤差卻是。x e x x y +=(5.0=n x n n y x y (2104.12106.14105.2在例8.1中,由于f (x ,y 對(duì)y 是線性的,所以對(duì)隱式公式也可以方便地計(jì)算。但是,當(dāng)f (x ,y 是y 的非線性函數(shù)時(shí),如,其隱式Euler 公式為。顯然,它是的非線性方程,可以選擇非線性方程求根的迭代求解。以梯形公式為例,可用顯式Euler 公式提供迭代初值,用公式1+n y 35y x y +=5(3111+

8、=n n n n y x h y y 1+n y 0(1+n y 1+n y第八章常微分方程數(shù)值解法表8-1xEuler方法隱式Euler方法梯形法準(zhǔn)確解n0 1 1 1 10.1 1.000000 1.009091 1.004762 1.0048370.2 1.010000 1.026446 1.018549 1.0187310.3 1.029000 1.051315 1.040633 1.0408180.4 1.056100 1.083013 1.070096 1.0703200.5 1.090490 1.120921 1.106278 1.106531第八章常微分方程數(shù)值解法(,L 10

9、2(111(10(1=+=+=+k y x f y x f h y y y x hf y y k n n n n n k n n n n n 反復(fù)迭式,直到,+(11(1k n k n y y 其中,步長h 成為迭代參數(shù),它需要滿足一定的條件,才能收斂。若將(8.1.4式減去該迭代公式,得(11111(112k n n n n k n n y x f y x f h y y +=,假設(shè)f (x ,y 關(guān)于y 滿足Lipschiz 條件,則有第八章常微分方程數(shù)值解法,(111(112k n n k n n y y hL yy +這里,L 是Lipschiz 常數(shù)。當(dāng)hL/21即h2/L 時(shí),迭代

10、序列收斂。(1k n y +1+n y 對(duì)于隱式公式,通常采用估計(jì)-校正技術(shù),即先用顯式公式計(jì)算,得到預(yù)估值,然后以預(yù)估值作為隱式公式的迭代初值,用隱式公式迭代一次得到校正值,稱為預(yù)估-校正技術(shù)。例如,用顯式Euler 公式作預(yù)估,用梯形公式作校正,即(。,L 1021111=+=+=+n y x f y x f hy y y x hf y y n n n n n n n n n n 稱該公式為改進(jìn)的Euler 公式。它顯然等價(jià)于顯式公式為(n n n n n n n n y x hf y x f y x f hy y ,211+=+,(8.1.6第八章常微分方程數(shù)值解法也可以表示為下列平均化

11、的形式(。,qpn pn n q n n npyyy yxhf y y y x hfyy+=+=+=+2111例8.2 取h=0.1,用改進(jìn)的Euler 方法解(。,102=y yxy y 解按(8.1.5,改進(jìn)的Euler 方法解。,L 102(2(22(11111=+=+=+n y x y y x y h y y y x y h y y n n n n n n n n nnn n n第八章常微分方程數(shù)值解法由得計(jì)算結(jié)果如表8-2。該初值問題的準(zhǔn)確解為。1.010=h y ,(x x y 21+=表8-20.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.7 0.81.0959 1.1841

12、1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.6153 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6165nx ny (n x y第八章常微分方程數(shù)值解法8.1.2 局部誤差和方法的階初值問題(8.1.1的單步法可以寫成如下統(tǒng)一形式,(111h y y x x h y y n n n n n n +=(8.1.7f 其中與有關(guān)。若中不含,則方法是顯式的,否則是隱式的,所以一般顯式單步法表示為1+n y (。,h y x h y y n n n n +=+1(8.1.8例如,Euler 方法中,有(y x f

13、 h y x ,=對(duì)于不同的方法,計(jì)算值與準(zhǔn)確解的誤差各不相同。所以有必要討論方法的截?cái)嗾`差。我們稱為某一方法在點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差。顯然,不單與這步的計(jì)算有關(guān),它與以前各步的計(jì)算也有關(guān),所以誤差被稱為整體的。分析和估計(jì)整體截?cái)嗾`差是復(fù)雜的。為此,我們假設(shè)處的沒有誤差,即,考慮從到這一步的誤差,這就是如下的局部誤差的概念。n y (n x y (n n n y x y e =n x n e n x n e n x n y (n n x y y =n x 1+n x第八章常微分方程數(shù)值解法(h x y x y x x h x y x y T n n n n n n n ,1111+=定義8.1設(shè)是初

14、值問題(8.1.1的準(zhǔn)確解,則稱(x y 為單步法(8.1.7的局部截?cái)嗾`差。定義8.2如果給定方法的局部截?cái)嗾`差,其中為整數(shù),則稱該方法是p 階的,或具有p 階精度。若一個(gè)p 階單步法的局部截?cái)嗾`差為(11+=p n h O T 1p (,211+=p p n n n ho hx y x g T 則稱其第一個(gè)非零項(xiàng)為該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。對(duì)于Euler 方法,有Taylor 展開有(1+p nn h x y x g (n n n n n x y x hf x y x y T ,=+11(1n n n x y h x y x y =+(2432(62h o h o x y h x y h n n =+=h2 y ( xn 。 所以Euler方法是一種一階方法，其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為 2 對(duì)于隱式Euler方法，其局部截?cái)嗾`差為 第八章常微分方程數(shù)值解法 Tn +1 = y ( x n +1 y ( x n hf ( x n +1， y ( x n +1 = y (x n + 1 y (x n h y ( x n + 1 h2 y ( x n = 2 + O