線性代數(shù) 課后習題答案 總主編 鄒庭榮 主編 李仁所 張洪謙 第2章_向量與矩陣習題解1

1、習題22-1設，求：（1）；（2）解（1） .解（2） .2-2設，,（1）將化為單位向量；（2）向量是否正交.解（1） ,.解（2） 由于,所以向量正交.2-3計算：（1）；（2）.解（1） .解（2） .2-4計算下列乘積：（1）解 .（2）解 .（3）.解 .（4）.解 .（5）.解 2-5已知，,求和解 .2-6如果，證明當且僅當時成立證 必要性. 已知,且,有 ,即 ,化簡得 .充分性. 由得,又 ,代入得,化簡得 .證畢.2-7設，其中是階單位矩陣，是維單位列向量證明對任意一個維列向量，都有證 因,故對任意一個維列向量有,從而有 故有，證畢.2-8對于任意的方陣，證明：（1）是對稱

2、矩陣，是反對稱矩陣；（2）可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和證（1） 由,所以是對稱矩陣；,所以是反對稱矩陣.證（2） .2-9證明：如果都是階對稱矩陣，則是對稱矩陣的充分必要條件是與是可交換的證 必要性. 因，且,有,所以與是可交換的.充分性. 由，及，得，所以是對稱矩陣.2-10設是一個階對稱矩陣，是一個反對稱矩陣，證明是一個反對稱矩陣證 由，得，所以是一個反對稱矩陣2-11設是個線性無關的向量，其中全不為零證明中任意個向量線性無關證 從向量組中任取個向量，設有一組常數(shù)使得 （*）當時，線性無關，結論成立；當時，將代入（*）式得整理得,由于是個線性無關的向量，所以，由于全不為零，所以

3、，則向量組線性無關，故中任意個向量線性無關 2-12設向量組線性相關，向量組線性無關，（1）能否由線性表示？證明你的結論或舉出反例（2）能否由線性表示？證明你的結論或舉出反例解（1） 能由線性表示. 因線性相關，必有一組不全為零的常數(shù)，使得，下面只要證明即可. 若，則不全為0，于是有，即線性相關；又由線性無關，所以其部分組必線性無關，得出矛盾，從而各，即能由線性表示.解（2） 不能由線性表示. 如， ，顯然，線性相關，線性無關，但是不能由線性表示.2-13求下列矩陣的秩：（1）.解 ，所以矩陣的軼為2.（2）解 ，所以矩陣的軼為4.2-14判斷下列向量組是否線性相關；如果線性相關，求出向量組的

4、一個極大線性無關組，并將其余向量用這個極大線性無關組表示出來：（1）；解 用所給的3個向量作為列構造矩陣，對矩陣A施行行初等變換：，矩陣B的秩3，所以向量組線性無關.（2）解 用所給的3個向量作為列構造矩陣，對矩陣A施行行初等變換：，矩陣B的秩2，所以向量組線性相關，其中是其極大無關組，.2-15利用初等變換求下列矩陣的逆矩陣：（1）.解 ,因此 .（2）解 ,因此 .2-16求解矩陣方程：（1）解 記矩陣方程為,其中,由于，所以可逆，故.構造,所以 .（2）.解 記矩陣方程為,其中,由于，所以可逆，故.,因此 ，從而有.2-17已知，,試用初等行變換求解 依據可得所以 .2-18用分塊法求：

5、 （1）.解 ；（2）解 .2-19用分塊法求下列矩陣的逆矩陣：（1）. 解 ,因則.（2）.解 ,因 ，所以.2-20把下列向量組正交化：（1），.解 用施密特正交化方法得，則是正交向量組（2），解 用施密特正交化方法得，則是正交向量組2-21已知，（1）求與的夾角；（2）求；（3）求一個與等價的標準正交向量組解 （1）因為，所以.（2）因，所以 .（3）先將向量組正交化，則是正交向量組.再將單位化，則即為所求2-22*判別以下集合對于所指的運算是否構成實數(shù)域上的線性空間？(1)次數(shù)等于的實系數(shù)多項式的全體，對于多項式的加法和數(shù)乘運算；(2)階實對稱矩陣的全體，對于矩陣的加法和數(shù)乘運算；(3

6、)平面上不平行于某一向量的全體向量，對于向量的加法和數(shù)乘運算；(4)主對角線上各元素之和為零的階方陣的全體，對于矩陣的加法和數(shù)乘運算解 （1）否,加法與數(shù)乘運算都不滿足封閉性.（2）是.（3）否，加法與數(shù)乘運算都不滿足封閉性.（4）否，加法運算不滿足封閉性.2-23*在維線性空間中，分量滿足下列條件的全體向量能否構成的子空間？(1)；(2)解（1） 設，且滿足；又，滿足，而滿足故此條件下能構成的子空間.解（2） 設，且滿足，而 ，有，故此條件下不能構成的子空間.2-24*假設是線性空間中的向量，試證明它們的線性組合的全體構成的子空間這個子空間叫做由生成的子空間，記做證 設有兩組系數(shù)構成的兩個線

7、性組合，分別為，且,其中是線性空間的非空子集；（i）；（ii）是任意數(shù)，有，故構成的子空間.2-25*設和是線性空間的兩組向量，證明生成子空間和相等的充分必要條件是和等價證 必要性.已知，則必有是的子空間，可由線性表示，同時是的子空間，從而可由線性表示，故和等價.充分性.已知和等價，則可由線性表示，有是的子空間，同時可由線性表示，從而是的子空間， 故和相等.2-26*試證在中，由，生成的子空間與由，生成的子空間相等證 記，的兩個生成子空間和,由于且，所以向量組和等價，故生成子空間和相等.2-27*在中，求向量在基下的坐標解 構造矩陣，故向量在基下的坐標為2-28*設是線性空間的子空間，證明，若

8、的維數(shù)等于的維數(shù)，則=證明 由是線性空間的子空間且的維數(shù)等于，則存在個線性無關的向量是的一組基，故；又由是線性空間的子空間，則是的一組基，故，所以=2-29*設、是線性空間的兩個子空間，證明的非空子集=構成的子空間這個子空間叫做與的和子空間，記做+證 由的構成可知，它是線性空間的非空子集，下證構成的子空間:設有，滿足，則，其中，所以；又任取數(shù)，有故構成的子空間2-30判斷下列向量組的線性相關性：（1）；（2）；（3）解（1） 設有一組常數(shù)使得 ，即 ，得方程組 ，據克萊姆法則知該方程組只有零解 ，故線性無關解（2） 法一（依內容進度）：顯然，即有一組不全為零的常數(shù)，使成立，所以線性相關解（2）

9、 法二：設有一組常數(shù)使得 ，即 ，得方程組 ， 因 ，故方程組有非零解，所以線性相關解（3） 法一（依內容進度）：顯然它們各自前3個分量構成的向量組線性無關（本題的（1），由本章定理7知（線性無關的向量組，相應地增加分量后仍線性無關），線性無關.解（3） 法二：設有一組常數(shù)使得，得方程組 ，該方程組只有零解 ，故線性無關2-31求下列向量組的秩，并判斷其線性相關性：（1）；（2）；（3）解（1） 用所給向量組構造矩陣 ，對矩陣A施行行初等變換：，矩陣B的秩是2，故矩陣A的秩是2，所以向量組線性相關.解（2） 用所給向量組構造矩陣,對矩陣A施行行初等變換：,矩陣B的秩是2，故矩陣A的秩是2，向量

10、組線性相關.解（3） 用所給向量組構造矩陣，對矩陣A施行行初等變換：， 矩陣B的秩是3，故矩陣A的秩是3，向量組線性無關.2-32利用伴隨矩陣求下列矩陣的逆矩陣：（1）. 解 因,故存在，計算代數(shù)余子式得，從而得,所以（2）解 因,故存在，計算代數(shù)余子式得，從而得,所以（3）. 解 因,故存在，計算代數(shù)余子式得，從而得,所以（4）.解 因,故存在，計算代數(shù)余子式得，從而得,所以2-33（1）若，證明可逆，并求；（2）若，證明可逆，并求.證（1） 由，即存在矩陣,使得，故矩陣可逆，其逆矩陣為.證（2） 由，即存在矩陣,使得，故矩陣可逆，其逆矩陣為.2-34設矩陣滿足關系式，且，求矩陣.解 由關系

11、式，整理得，再由矩陣的分配律得，即 ，又由，則有,求其逆矩陣得，故矩陣.2-35將下列矩陣化為行最簡形矩陣：（1）. 解 .（2）.解 .補充題B2-1如果，則稱階矩陣為冪等陣設是冪等陣，證明：（1）如果也是冪等陣，則；（2）如果是可交換的，則是冪等陣證（1） 若是冪等陣，則必滿足,展開得，又由是冪等陣，即，則上式簡化得，證畢.證（2） 已知，且是可交換的，即，則有,故是冪等陣.B2-2證明：主對角線元素全為1的上三角形矩陣的乘積，仍是主對角線元素為1的上三角形矩陣證 把主對角線元素全為1的上三角形矩陣一般形式展開得其中，矩陣為主對角線元素全為0的上三角形矩陣.任取兩個主對角線元素全為1的上三

12、角形矩陣，分別記作，其中為主對角線元素全為0的上三角形矩陣，則，由矩陣乘法定義，可知為主對角線元素全為0的上三角形矩陣，再由矩陣加法定義，得仍為主對角線元素全為0的上三角形矩陣，故有是主對角線元素全為1的上三角形矩陣，證畢.B2-3設是可逆矩陣證明：如果是可交換的，則也是可交換的證 已知是可交換的，即滿足；又由是可逆矩陣，則有,所以是可交換的.B2-4設為階矩陣，且可逆證明：對矩陣施行初等行變換，當把矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚂r，即變?yōu)樽C 由初等變換的性質，對矩陣施行初等行變換，相當于在矩陣的左邊乘上相應的初等矩陣，即存在初等矩陣，使得題目敘述 的運算過程即為：,則有,即，從而,即對矩陣施行初等行變換把

13、矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚂r，即變?yōu)?B2-5設維向量組線性無關，和均正交，證明線性相關證 設有一組數(shù)使得 則由 ，得，因與均正交，上式簡化為，從而有（1）若時，則必線性相關；（2）若時，由可得，即線性無關，由定理8推論3知n+1個n維向量和線性相關，再由定理4知，可由唯一線性表示，記 任取，由正交性，代入式展開化簡得即，所以式化簡為，得線性相關，證畢.B2-6（1）設，求的逆矩陣解 設，則有，即，由條件，有可逆，從而，又， 所以 .（2）設，求的逆矩陣解 記，由條件，上式矩陣可進一步化簡得所以所求逆矩陣為,其中.B2-7如果向量可由向量組線性表示，證明：表示法是惟一的充分必要條件是線性無關證 必要性因

14、向量可由向量組線性表示，且表示法惟一，則存在惟一一組數(shù)，使得 假設線性相關，則存在一組不全為零的數(shù)使得,不妨設則有 將代入可得的新的線性表示式，這與線性表示式惟一矛盾，故線性無關充分性已知向量可由向量組線性表示，且線性無關，假設向量的線性表示式不惟一，存在兩組不同的數(shù)與使得 ，及，兩式相減得，此時由系數(shù)不全為零，得線性相關，矛盾，故向量的線性表示式惟一B2-8證明：任意個維向量必線性相關證 設維向量組，構成矩陣，則矩陣的秩，即向量組的秩小于向量個數(shù)，必線性相關B2-9證明：對于任意實數(shù)，向量組,線性相關證 由向量組構成矩陣，由的秩為2，則向量組的秩為2,小于向量個數(shù)3，故對任意實數(shù)，向量組必線性相關B2-10設是任意的4維向量，若可由向量線性表示，則線性相關證 由，則向量組的秩為2，又由向量的任意性，則向量組秩不超過3，線性相關；又由可由向量線性表示，則向量組的秩不超過向量組的秩，所以向量組的秩不超過3，線性相關B2-11設均為維向量，試證：線性無關的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示證 由維向量組線性無關，則它是維向量空間的一組基，則中的任一維向量都可由它們線性表示B2-12設均為維向量，若維線性無關的向量組可由它們線性表示，證明：線性無關證 由均為維向量，則其秩不超過；又由維線性無關的向量組可由它們線性表示，所以向量組的秩不低于；因此