第四章1異方差

1、第四章 經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型（放寬基本假定的模型： §4.1 異方差性我們已學(xué)到了許多有用的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法，如建立模型、估計(jì)參數(shù)、假設(shè)檢驗(yàn)、預(yù)測(cè)、非線性模型的線性化等。本章講授違背基本假定一種情況：隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在異方差性。目的與要求：掌握異方差的概念包括經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，異方差的出現(xiàn)對(duì)模型的不良影響，診斷異方差的方法和修正異方差的若干方法；經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生能夠處理模型中出現(xiàn)的異方差問題。本章講授要點(diǎn)：異方差性的含義、產(chǎn)生后果、檢驗(yàn)方法及補(bǔ)救措施一、異方差的定義對(duì)于線性模型若對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，而互不相同，即則認(rèn)為該模型出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedas

2、ticity)。例4.1.1：截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為:Yi:第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額 Xi:第i個(gè)家庭的可支配收入。高收入家庭：儲(chǔ)蓄的差異較大；低收入家庭：儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性，差異較?。籭的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化例4.1.2，以絕對(duì)收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)：將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測(cè)值。高收入家庭：消費(fèi)的差異較大；低收入家庭：消費(fèi)則更有規(guī)律性，差異較小。二、產(chǎn)生異方差性的原因1、模型中缺少了某些解釋變量1）由于一些客觀原因，使得某些重要的解釋變量無法包括在模型中；2）由于一些主觀原因，在變量的選擇上遺漏了某些重要的解釋變量（設(shè)定偏誤）2、樣

3、本數(shù)據(jù)的觀測(cè)誤差樣本數(shù)據(jù)的觀測(cè)誤差常隨時(shí)間的推移逐步積累； 或隨著數(shù)據(jù)采集技術(shù)的改進(jìn)，隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差減小。 注：除上述原因外，模型的函數(shù)形式不正確、異常值的出現(xiàn)等原因都可能產(chǎn)生異方差性。 三、異方差性的后果（一）參數(shù)估計(jì)量無偏，但不滿足有效性（用OLS估計(jì)）考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的（具有異方差性的）線性回歸模型：利用普通最小二乘法，可得回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量為：1、該估計(jì)量為無偏估計(jì)：證明：2、參數(shù)估計(jì)量的方差非最小OLS估計(jì)量仍然具有無偏性，但不具有有效性，因?yàn)樵谟行宰C明中利用了。以一元線性回歸模型為例進(jìn)行說明：在模型中，這是因?yàn)椋?（1） （2） （三）預(yù)測(cè)精度降低異方差存在：參數(shù)的OLS估計(jì)

4、的方差增大，造成對(duì)Y的預(yù)測(cè)誤差變大，降低了預(yù)測(cè)的精度；用該統(tǒng)計(jì)量對(duì)參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生偏誤，使估計(jì)失真。 四、異方差檢驗(yàn)檢驗(yàn)思路：由于異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么： 檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。問題在于用什么來表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差一般的處理方法： （一）圖形分析法：利用殘差序列繪制出各種圖形，以供分析檢驗(yàn)使用。1、解釋變量為X 軸，殘差的平方e2（或因變量Y、殘差e）為Y軸的 散點(diǎn)圖。2、時(shí)間為X 軸，殘差e 為Y 軸的殘差序列圖； 3、因變量估計(jì)值y 為X 軸, 殘差e 為Y 的Y-

5、e 散點(diǎn)圖）。(二) 帕克(Park)檢驗(yàn)與戈里瑟(Gleiser)檢驗(yàn)格里瑟（H . Glejser）檢驗(yàn)是殘差回歸檢驗(yàn)法之一。它是用普通最小二乘法的殘差的絕對(duì)值對(duì)各解釋變量建立各種回歸模型， 檢驗(yàn)回歸系數(shù)是否為零。 由于合適的回歸形式未知 Glejser曾提出如下模型形式（大樣本時(shí)選擇上述5個(gè)模型能夠得到滿意的效果）（三） 戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)Goldfeld-Quandt檢驗(yàn)(樣本分段法）1972年提出1）假定條件a) 樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況；b) 隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布； c) 除了異方差外，其它的假定都滿足。2）檢驗(yàn)的基本思路a) 將樣

6、本按某個(gè)解釋變量的大小順序排列，并將樣本分成三段 ；b) 用頭（樣本1）和尾部（樣本2）分別擬合模型（作回歸）；c) 比較產(chǎn)生的兩個(gè)子樣的殘差平方和之比 （統(tǒng)計(jì)量），以此統(tǒng)計(jì)量來判斷是否存在異方差。3） G-Q檢驗(yàn)具體步驟a）將樣本（觀察值）按某個(gè)解釋變量的大小排序；b）將序列中間（段）約 c = 1 / 4 個(gè)觀察值除去，并使余下的頭、尾兩段樣本容量相同，均為(n-c)/2 個(gè)；c）提出假設(shè)：d）分別對(duì)頭、尾兩部分樣本進(jìn)行回歸，且計(jì)算各殘差平方和分別為并建立統(tǒng)計(jì)量其中：k是估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)。e）進(jìn)行F檢驗(yàn)，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為存在異方差性；否則不存在異方差性。（四）White 檢驗(yàn)（大樣本檢驗(yàn)）

7、懷特檢驗(yàn)不需要排序，且適合任何形式的異方差。懷特檢驗(yàn)的基本思想與步驟（以二元為例）：設(shè) （1） 1） White 檢驗(yàn)的具體步驟：，如： （2）4、ARCH 檢驗(yàn)（時(shí)間序列數(shù)據(jù)）1）檢驗(yàn)的基本思路設(shè) （3）構(gòu)造輔助回歸模型：ARCH 檢驗(yàn)的具體步驟：1）對(duì)（3）式進(jìn)行回歸2）求3）構(gòu)造輔助回歸方程 （4）對(duì)（4）式進(jìn)行回歸 a) b) c) d) e) （ 或觀察統(tǒng)計(jì)量F-statistic和Obs*R-squared，如果統(tǒng)計(jì)量的值很小，相應(yīng)的p值大于5%，則接受原假設(shè)）四、異方差的解決方法 補(bǔ)救異方差的基本思路：變異方差為同方差； 盡量緩解方差變異的程度 方法：（一）加權(quán)最小二乘法 （二）

8、對(duì)原模型變換的方法 （三）“一般解決法”（模型的對(duì)數(shù)變換）(一) 加權(quán)最小二乘法（WLS） 1、加權(quán)最小二乘法的基本思路同方差時(shí)：認(rèn)為各 ei 提供信息的重要程度是一致的，即將各樣本點(diǎn)提供的殘差一視同仁異方差時(shí)：離散程度大的ei 對(duì)應(yīng)的回歸直線的位置很不精確，擬合直線時(shí)理應(yīng)不太重視其提供的信息，即 Xi 對(duì)應(yīng)的 ei 偏離大的所提供的信息貢獻(xiàn)應(yīng)打折扣（給予較小的權(quán)數(shù)）；而偏離小的所提供的信息貢獻(xiàn)則應(yīng)于重視（給予較大的權(quán)數(shù)） 。因此采用權(quán)數(shù)對(duì)殘差提供的信息的重要程度作一番校正，以提高估計(jì)精度。這就是 WLS（加權(quán)最小二乘法）的思路。2、加權(quán)最小二乘法的機(jī)理以遞增型為例。設(shè)權(quán)術(shù)WI與異方差的變異趨勢(shì)相反，如 （Wi使異方差經(jīng)受了“壓縮”和“擴(kuò)張”變?yōu)橥讲睿?、加權(quán)最小二乘法的定義，模型估計(jì)的加權(quán)最小二乘法，即求滿足 (二) 對(duì)原模型變換的方法1、模型變換法的定義模型變換法是對(duì)存在異方差的總體回歸模型作適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變換，使之成為滿足同方差假定的模型 , 進(jìn)而運(yùn)用OLS方法估計(jì)參數(shù)。2、模型變換法的關(guān)鍵通過對(duì)具體經(jīng)濟(jì)問題的經(jīng)驗(yàn)分析，事先對(duì)異方差給出合理的假設(shè)3、原模型變換法的過程, 則對(duì)原模型進(jìn)行變換，即用去乘以模型的兩邊，變換后的模型具有同方差性。（注：對(duì)原模型變換的方法與加權(quán)最小二乘法是等價(jià)的，最多相差一個(gè)常數(shù)因子）， ( 三)“一般解決法”