第16講不等式(組)的應(yīng)用

1、第十六講 不等式（組）的應(yīng)用在客觀世界中，相等的關(guān)系是相對(duì)的、局部的，不等的關(guān)系是絕對(duì)的、普遍的，因此，我們常常需要比較一些量的大小或者對(duì)某個(gè)量進(jìn)行估計(jì)，列出不等式(組)，運(yùn)用不等式(組)的相關(guān)知識(shí)予以求解。 不等式(組)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在：作差或作商比較數(shù)的大?。磺蟠鷶?shù)式的取值范圍；求代數(shù)式的最值，列不等式(組)解應(yīng)用題。 列不等式(組)解應(yīng)用題與列方程解應(yīng)用題的步驟相仿，一般步驟是： 1、弄清題意和題中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)； 2、找出能夠表示題目全部含義的一個(gè)或幾個(gè)不等關(guān)系； 3、列出不等式(組)；4、解這個(gè)不等式(組)，求出解集并作答。例題 【例1】 給出四個(gè)自然數(shù)a，b、c、d，

2、其中每三個(gè)數(shù)之和分別是180、197、208、222，則a，b、c、d中最大的數(shù)是 。 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 思路點(diǎn)撥 較繁的一般解法是解關(guān)于a，b、c、d的四元一次方程組由題意知a，b、c、d互不相等，不妨設(shè)a<b<c<d，思維定向，整體考慮可優(yōu)化解題過(guò)程。 【例2】 甲從一個(gè)魚(yú)攤上買(mǎi)了三條魚(yú)，平均每條a元，又從另一個(gè)魚(yú)攤上買(mǎi)了兩條魚(yú)，平均每條b元，后來(lái)他又以每條元的價(jià)格把魚(yú)全部賣(mài)給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢(qián)，原因是( )。Aa>b Ba<b Ca=b D與a和b的大小無(wú)關(guān) (山東省競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥 把買(mǎi)賣(mài)的錢(qián)數(shù)作差比較，推導(dǎo)出a與b的關(guān)系。注： 學(xué)習(xí)不等式 (1

3、)基本簡(jiǎn)單 許多人非常不重視基本的東西，甚至輕視它，“基本”應(yīng)該等于“重要”加上“簡(jiǎn)單”。 (2)懂會(huì)對(duì)“懂”有時(shí)只是浮面的，只是形式上的了解，還必須經(jīng)過(guò)組織與整理，融會(huì)貫通，并從問(wèn)題的演練中不斷地發(fā)現(xiàn)自己不會(huì)的地方，才可以逐漸達(dá)到“真會(huì)”的地步。在解一些涉及到多個(gè)變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，題設(shè)條件并沒(méi)有給出變?cè)拇笮№樞颍艚o它們假設(shè)一個(gè)大小順序，并不影響命題的成立，則給問(wèn)題的解決增加了一個(gè)可供使用的條件，從而降低問(wèn)題的難度，這種方法叫排序法 【例3】已知是彼此互不相等的正整數(shù)，它們的和等于159，求其中最小數(shù)a1的最大值。 (北京市競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 設(shè)則a1+a2+a3+a7=159，解題的關(guān)鍵

4、是怎樣把多元等式轉(zhuǎn)化為只含a1o的不等式，這里要用到整數(shù)的如下性質(zhì)：設(shè)a、b為整數(shù)，若a<b，則a+1b?！纠?】現(xiàn)計(jì)劃把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車(chē)運(yùn)往某地，已知這列貨車(chē)掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車(chē)廂共40節(jié)，使用A型車(chē)廂每節(jié)費(fèi)用為6000元，使用B型車(chē)廂每節(jié)費(fèi)用為8000元 (1)設(shè)運(yùn)送這批貨物的總費(fèi)用為y萬(wàn)元，這列貨車(chē)掛A型車(chē)廂x節(jié)，試寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式： (2)如果每節(jié)A型車(chē)廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節(jié)B型車(chē)廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時(shí)按此要求安排A、B兩種車(chē)廂的節(jié)數(shù)，那么共有哪幾種安排車(chē)廂的方案? (3)在上述方案中，

5、哪個(gè)方案運(yùn)費(fèi)最省?最少運(yùn)費(fèi)為多少元? (廣州市中考題) 思路點(diǎn)撥 (2)解關(guān)于x的不等式組，由正整數(shù)x的值確定安排車(chē)廂的不同方案。 【例5】 某錢(qián)幣收藏愛(ài)好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣，請(qǐng)你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案。 (河北省競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結(jié)合起來(lái)。 注： 從近年中考應(yīng)用題中可以看出，應(yīng)用題涉及我們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)營(yíng)決策、商品買(mǎi)賣(mài)、方案設(shè)計(jì)，最佳效益等多方面，且呈現(xiàn)出數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、背景新穎的趨勢(shì)為此，我們應(yīng)對(duì)社會(huì)和自然充滿好奇心，貼近生活實(shí)際

6、，關(guān)心c社會(huì)熱點(diǎn)，加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，努力用數(shù)學(xué)的思想和方法研究解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)在解題中側(cè)重于與解答有關(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，不必追求那些自己一時(shí)不易弄懂的背景材料的實(shí)際意義。解含等式、不等式組成的混合型問(wèn)題的基本策略是，通過(guò)消元轉(zhuǎn)化成只舍有一個(gè)未知數(shù)的不等式(組)，解不等式(組)通近求解，從而解決相關(guān)問(wèn)題。 【例6】 (江蘇省常州市中考題)某校為了獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)的學(xué)生，買(mǎi)了若干本課外讀物準(zhǔn)備送給他們?nèi)绻咳怂?本，則還余8本；如果前面每人送5本，則最后一人得到的課外讀物不足3本設(shè)該校買(mǎi)了m本課外讀物，有x名學(xué)生獲獎(jiǎng)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題： (1)用含x的代數(shù)式表示m； (2)求出該校的獲獎(jiǎng)

7、人數(shù)及所買(mǎi)的課外讀物的本數(shù)。 思路點(diǎn)撥 (1)m=3x十8； (2) 依題意得， x是正整數(shù)，x=6，m=26。 答：該校的獲獎(jiǎng)人數(shù)為6人，所買(mǎi)的課外讀中的本數(shù)為26。注：在一些實(shí)際問(wèn)題中，往往含有：“不足”“不超過(guò)”不低于”等關(guān)鍵詞，將這些關(guān)鍵詞轉(zhuǎn)換成不等符號(hào)，就可以建立不等式，從而使問(wèn)題得以解決。 【例7】(黑龍江省中考題)為了迎接2002年的世界杯足球賽，某足球協(xié)會(huì)舉辦了一次足球賽，其記分規(guī)則和獎(jiǎng)勵(lì)方案如下： 勝一場(chǎng) 平一場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)積分310獎(jiǎng)金(元/人)15007000當(dāng)比賽進(jìn)行到第12輪結(jié)束時(shí)(每隊(duì)需要比賽12場(chǎng))，A隊(duì)共積19分。(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，判斷A隊(duì)勝、平、負(fù)各九場(chǎng)? (2)若

8、每賽一場(chǎng)，每個(gè)參賽隊(duì)員得出場(chǎng)費(fèi)500元，設(shè)A隊(duì)其中一名，參賽隊(duì)員所得的獎(jiǎng)金和出場(chǎng)費(fèi)的和為W(元)，試求W的最大值。 思路點(diǎn)撥 設(shè)A隊(duì)勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng)，負(fù)z場(chǎng)，則有 ， 解得 由題意可知x0，y0，z0，且x、y、z均為整數(shù)， 解得 3x6， x=4，5，6。 A隊(duì)勝4場(chǎng)，平7場(chǎng)，負(fù)1場(chǎng)；或勝5場(chǎng)，平4場(chǎng)，負(fù)3場(chǎng)；或勝6場(chǎng)，平1場(chǎng)，負(fù)5場(chǎng) (2)W=(1500+500)x+(700十500)y+ 500z=600x十19300， 觀察代數(shù)式600x+19300，發(fā)現(xiàn)x越小，W越大。 當(dāng)x=4時(shí)，W最大值=16900元。 注： 題中有兩個(gè)明顯的相等關(guān)系，可以列出兩個(gè)方程，但問(wèn)題中迫切需要求出三個(gè)未知

9、量，利用題中隱含的不等關(guān)系“三個(gè)未知量都是非負(fù)整數(shù)”建立不等式組，確定未知量的取值范圍這實(shí)際上也是利用不等式求不定方程組的整數(shù)解的一種重要方法。【例8】 商業(yè)大廈購(gòu)進(jìn)某種商品1000件，銷(xiāo)售價(jià)定為購(gòu)進(jìn)價(jià)的125現(xiàn)計(jì)劃節(jié)日期間按原定銷(xiāo)售價(jià)讓利10，售出至多100件商品，而在銷(xiāo)售淡季按原定銷(xiāo)售價(jià)的60大甩賣(mài)，為使全部商品售完后贏利，在節(jié)日和淡季外要按原定價(jià)銷(xiāo)售至少多少件商品? 思路點(diǎn)撥 設(shè)購(gòu)進(jìn)價(jià)為a元，按原定價(jià)銷(xiāo)售x件，節(jié)日讓利銷(xiāo)售y件，則淡季銷(xiāo)售(1000xy)件。 依題意有 125ax+125(110)ay+125x60a(1000x-y)>1000a 即4x+3y>2000， y

10、100， 4x>20003y1700， 又x是整數(shù)，x425。 所以，在節(jié)日和淡季外要按原定價(jià)銷(xiāo)售至少435件商品才能贏利。 注：充分利用“贏利”這一不等關(guān)系，贏利即銷(xiāo)售金頗大于成本，題目中并沒(méi)有包含x、y的等量關(guān)系，但利用y100和不等式的傳遞性建立關(guān)于x的不等式，從而求出x的取值范圍。 【例9】 (江蘇省競(jìng)賽試題)貨輪上卸下若干只箱子，其總重量為10t，每只箱子的重量不超過(guò)1t，為保證能把這些箱子一次運(yùn)走，問(wèn)至少需要多少輛載重3t的汽車(chē)? 思路點(diǎn)撥 設(shè)共需n輛汽車(chē)，它們運(yùn)走的重量依次為a1，a2，an則2ai3(I=1，2，n)，ala2an=102n103n，解得 車(chē)子數(shù)n應(yīng)為整數(shù)

11、， n=4或5，但4輛車(chē)子不夠例如有13只箱子，每只重量為，而3×3，4×3，即每輛車(chē)子只能運(yùn)走3只箱子，4輛車(chē)子只能運(yùn)走12只箱子，還剩一只箱子，故需5輛汽車(chē)。學(xué)歷訓(xùn)練1若方程只有負(fù)數(shù)根，則a的取值范圍是 。2若方程組的解x、y都是正數(shù)，則m的取值范圍是 (河南省中考題)3某化工廠2001年12月在制定2002年某種化肥的生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，收集了如下信息： (1)生產(chǎn)該種化肥的工人數(shù)不能超過(guò)200人； (2)每個(gè)工人全年工作時(shí)數(shù)不得多于2100個(gè)； (3)預(yù)計(jì)2002年該化肥至少可售銷(xiāo)80000袋； (4)每生產(chǎn)一袋該化肥需要工時(shí)4個(gè)； (5)每袋該化肥需要原料20千克； (6

12、)現(xiàn)庫(kù)存原料800噸，本月還需用200噸，2002年可以補(bǔ)充1200噸。 根據(jù)上述數(shù)據(jù)，確定2002年該種化肥的生產(chǎn)袋數(shù)的范圍是 。 (江蘇徐州中考題) ：4設(shè)，則P、Q的大小關(guān)系是（ ）。AP>Q BP<Q CP=Q D不能確定5某種出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)7元(即行駛距離不超過(guò)3千米都需付7元車(chē)費(fèi))，超過(guò)3千米以后每增加1千米，加收24元(不足1千米按1千米計(jì))某人乘這種出租車(chē)從甲地到乙地共支付車(chē)費(fèi)19元，設(shè)此人從甲地到乙地經(jīng)過(guò)的路 程是x千米，那么x的最大值是( ) A11 B3 C7 D5 (南京市中考題)6韓日“世界杯“期間重慶球迷一行56人從旅館乘出租車(chē)到球場(chǎng)為中國(guó)隊(duì)

13、加油，現(xiàn)有A、B兩個(gè)出租車(chē)隊(duì)，A隊(duì)比B隊(duì)少3輛車(chē)，若全部安排乘A隊(duì)的車(chē)，每輛坐5人，車(chē)不夠，每輛坐6人，有的車(chē)未坐滿；若全部安排乘B隊(duì)的車(chē)，每輛車(chē)坐4人，車(chē)不夠，每輛車(chē)坐5人，有的車(chē)未坐滿，則A隊(duì)有出租車(chē)( )。 A11輛 B10輛 C 9輛 D8輛 (重慶市中考題)7為了能有效地使用電力資源，寧波市電業(yè)局從2002年1月起進(jìn)行居民峰谷用電試點(diǎn)，每天8：00至22：00用電每千瓦時(shí)056元(“峰電價(jià))，22：00至次日8：00每千瓦時(shí)028元(“谷電”價(jià))，而目前不使用“峰谷”電的居民用電每千瓦時(shí)053元。(1)一居民家庭在某月使用“峰谷”電后，付電費(fèi)952元，經(jīng)測(cè)算比不使用“峰谷”電節(jié)約10

14、8元，問(wèn)該家庭當(dāng)月使用“峰電”和“谷電”各多少千瓦時(shí)?(2)當(dāng)“峰電”用量不超過(guò)每月總用電量的百分之幾時(shí)，使用“谷電”合算?(精確到1) (寧波市中考題)8為了保護(hù)環(huán)境，某企業(yè)決定購(gòu)買(mǎi)10臺(tái)污水處理設(shè)備現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià)格、月處理污水量及年消耗費(fèi)如下表：A型B型價(jià)格(萬(wàn)元臺(tái))1210處理污水量(噸月)240200年消耗費(fèi)(萬(wàn)元臺(tái))11經(jīng)預(yù)算，該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的資金不高于105萬(wàn)元。(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)該企業(yè)有幾種購(gòu)買(mǎi)方案；(2)若企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇哪種購(gòu)買(mǎi)方案；(3)在第(2)問(wèn)的條件下，若每臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，污水廠處理污水費(fèi)為每噸10元

15、，請(qǐng)你計(jì)算，該企業(yè)自己處理污水與將污水排到污水廠處理相比較，l0年節(jié)約資金多少萬(wàn)元?(注：企業(yè)處理污水的費(fèi)用包括購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的資金和消耗費(fèi))(黑龍江省中考題)9大、中、小三個(gè)正整數(shù)，大數(shù)與中數(shù)之和等于2003，中數(shù)減小數(shù)之差等于1000，那么這三個(gè)正整數(shù)的和為 。 (北京市競(jìng)賽題)10已知a+b+c=0，a>b>c，則的取值范圍是 。 (江蘇省競(jìng)賽題)11適合方程的正整數(shù)x的值是 。12 設(shè)為自然數(shù)，且，又，則的最大值是 (安徽省競(jìng)賽題)13正五邊形廣場(chǎng)ABCDE的周長(zhǎng)為2000m，甲、乙兩人分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)繞廣場(chǎng)沿ABCDEA的方向行走，甲的速度為50mmIm，乙的速度為46

16、mmin，則出發(fā)后經(jīng)過(guò) min，甲、乙第一次行走在同一條邊上 (河北省競(jìng)賽題)14如果，那么( )。 A(x+1)(x一1)>0 B(x+1)(x一1)<0 C(x+1)(x一1)0 D(x+1)(x一1)0 (山東省競(jìng)賽題)15小林?jǐn)M將1，2，n這n個(gè)數(shù)輸入電腦，求平均數(shù)當(dāng)他認(rèn)為輸入完畢時(shí)，電腦顯示只輸入了(n一1)個(gè)數(shù)，平均數(shù)為35，假設(shè)這(n一1)個(gè)數(shù)輸入無(wú)誤，則漏輸入的一個(gè)數(shù)為( )。 A10 B53 C56 D67 (江蘇省競(jìng)賽題)16已知0a一b1且1a+b4，則a的取值范圍是( )。 A1ao2 B2a3 ca Da (重慶市競(jìng)賽題)17某果品公司急需將一批不易存放的

17、水果從A市運(yùn)到B市銷(xiāo)售，現(xiàn)有三家運(yùn)輸公司可供選擇，這三家運(yùn)輸公司提供的信息如下：運(yùn)輸單位運(yùn)輸速度(千米時(shí))運(yùn)輸費(fèi)用(元千米)包裝與裝卸時(shí)間(時(shí))包裝與裝卸費(fèi)用(元)甲公司60641500乙公司50821000丙公司100103700解答下列問(wèn)題：(1)若乙、丙兩家公司的包裝與裝卸及運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用總和恰好是甲公司的2倍，求A、B兩市的距離(精確到個(gè)位)；(2)如果A、B兩市的距離為S千米，且這批水果在包裝與裝卸及運(yùn)輸過(guò)程上損耗為300元時(shí)，那么要使果晶公司支付的總費(fèi)用(包裝與裝卸費(fèi)用、運(yùn)輸費(fèi)用及損耗三項(xiàng)之和)最小，應(yīng)選擇哪家公司? (南通市中考題)18今有濃度為5、8、9的甲、乙、丙三種鹽水分別為6

18、0克、60克、47克，現(xiàn)要配制濃度為7的鹽水100克，問(wèn)甲種鹽水最多可用多少克?最少可用多少克? (北京市競(jìng)賽題)19某企業(yè)有員工300人生產(chǎn)A種產(chǎn)品，平均每人每年可創(chuàng)造利潤(rùn)m萬(wàn)元(m為大于零的常數(shù))為減員增效，決定從中調(diào)配x人去生產(chǎn)新開(kāi)發(fā)的B種產(chǎn)品根據(jù)評(píng)估，調(diào)配后繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可增加20，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的員工平均每人每年可創(chuàng)造利潤(rùn)154m萬(wàn)元。(1)調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤(rùn)為 萬(wàn)元，生產(chǎn)月種產(chǎn)品的年利潤(rùn)為 萬(wàn)元(用含rn的代數(shù)式表示)若設(shè)調(diào)配后企業(yè)全年的總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y關(guān)于x的關(guān)系式為 ；(2)若要求調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤(rùn)不少于調(diào)配前企業(yè)年利潤(rùn)的五分之四，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤(rùn)大于調(diào)配前企業(yè)年利潤(rùn)的一半，應(yīng)有哪幾種調(diào)配方案?請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái)，并指出其中哪種方案全年總利潤(rùn)最大(必要時(shí)運(yùn)算過(guò)程可保留3個(gè)有效數(shù)字)。(3)企業(yè)決定將(2)中的年最大總利潤(rùn)(m2)繼續(xù)投資開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，現(xiàn)有六種產(chǎn)品可供選擇(不得重復(fù)投資同一種產(chǎn)品)，各產(chǎn)品所需資金以及所獲利潤(rùn)如下表：產(chǎn)品CDEF