第9章隨機(jī)數(shù)學(xué)模型ppt課件

1、 我們?cè)谔幚韺?shí)際問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)遇到許多不確定的因素，引入隨機(jī)變量描述這種不確定的行為，通常是對(duì)實(shí)際問(wèn)題最恰當(dāng)?shù)拿枋?。由此建立的?shù)學(xué)模型稱為隨機(jī)數(shù)學(xué)模型。9.3零件的預(yù)防性更換 v運(yùn)行中的零件會(huì)發(fā)生故障或損壞，如果等到損壞時(shí)才更換零件可能會(huì)帶來(lái)較大的經(jīng)濟(jì)損失，比如產(chǎn)生廢品等。v如果對(duì)尚屬正常的零件做預(yù)防性更換，就可以避免一些廢品、次品的損失。如果策略得當(dāng)，有可能將損失降到最低程度。分析解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確估計(jì)零件壽命。由于零件在制造及運(yùn)行過(guò)程中受到多種因素的影響，零件的壽命是一隨機(jī)變量，可以通過(guò)試驗(yàn)分析及理論分析來(lái)確定零件的壽命分布及其他數(shù)字特征。一般來(lái)說(shuō)，不同的零件壽命分布不一樣，預(yù)防性

2、更換的策略也不一樣。模型假設(shè)v零件壽命X服從某種已知的分布，其分布函數(shù)為F(t)=P(Xt),概率密度為f(t) ，數(shù)學(xué)期望為 EX。v確定一個(gè)正常的時(shí)間間隔T，當(dāng)XT時(shí)，對(duì)零件進(jìn)行故障更換，更換費(fèi)用為c1，當(dāng)X=T時(shí)，對(duì)仍然正常工作的零件進(jìn)行預(yù)防性更換，更換費(fèi)用為c2c1。v記零件可靠度R(t)=1-F(t)，失效率r(t)=f(t)/R(t)。模型目標(biāo)：?jiǎn)挝粫r(shí)間的損失費(fèi)用最小 v稱零件每更換一次為一個(gè)周期，則周期的平均長(zhǎng)度為( )0c T0( )( )( )TTLE ttf t dtTf t dtv一個(gè)周期內(nèi)的期望損失為12( )1( )Cc F TcF Tv單位時(shí)間的平均期望損失為122

3、0() ( )( )( )Tcc F TcCc TLR t dtv求平均期望損失的最小值2012( )( )( )( )Tch Tr TR t dtF Tcc0( )TR t dtv定理：當(dāng)r(T)是單調(diào)增函數(shù)，且 時(shí)，存在唯一的有限的最小值點(diǎn)正值T*），且最小值為 。2012( )( )( )( )Tch Tr TR t dtF Tcc0(0)0, ( )( )1,( )TdhdrhhrEXR t dtdTdT 112( )crEXcc12()() ()c Tcc r T考慮假設(shè)給定某個(gè)壽命分布密度函數(shù) f(t),是否存在最優(yōu)預(yù)防性更換策略？如果存在，如何求出最優(yōu)策略？如果不存在，為什么？

4、不同壽命分布的零件的最優(yōu)的更換策略存在較大差異 1.指數(shù)分布指數(shù)分布( )0h T ( ),0,0tXf tet1( )1, ( ), ( ),ttF teR ter tEX 不存在預(yù)防性更換策略 幾種常見(jiàn)壽命分布情況最優(yōu)預(yù)防性更換策略分析幾種常見(jiàn)壽命分布情況最優(yōu)預(yù)防性更換策略分析指數(shù)分布?？勺鳛橹笖?shù)分布常可作為“壽命壽命” ” 分布的近似，如電子元件的壽命分布的近似，如電子元件的壽命. .2.( , ), ,0X 112ccc當(dāng) 時(shí)，存在預(yù)防性更換策略 0, ( )rr 110( )1dxxtr tex1( )(),0( )tf ttet,EX可靠性中常用的概率分布可靠性中常用的概率分布 伽

5、瑪分布：要比指數(shù)分布和正態(tài)分布更具有普遍性，適用于各種形式的分布。伽瑪分布：要比指數(shù)分布和正態(tài)分布更具有普遍性，適用于各種形式的分布。能用來(lái)表示早期失效、偶發(fā)失效和能用來(lái)表示早期失效、偶發(fā)失效和 耗損失效等不同的失效分布耗損失效等不同的失效分布 1當(dāng) 時(shí)，存在預(yù)防性更換策略 111( ),r ttEX 1()( )(),0, ,0tf ttet 22( )1r tt 3. Welbull 3. Welbull 分布分布v威布爾分布：在可靠性工程中被廣泛應(yīng)用，尤其適用于機(jī)電類產(chǎn)品的磨損累計(jì)失效的分布形式。v威布爾分布是根據(jù)最弱環(huán)節(jié)模型或串聯(lián)模型得到的，能充分反映材料缺陷和應(yīng)力集中源對(duì)材料疲勞壽命

6、的影響，而且具有遞增的失效率，所以，將它作為材料或零件的壽命分布模型或給定壽命下的疲勞強(qiáng)度模型是合適的。 v目前，二參數(shù)的威布爾分布主要用于滾動(dòng)軸承的壽命試驗(yàn)以及高應(yīng)力水平下的材料疲勞試驗(yàn)，三參數(shù)的威布爾分布用于低應(yīng)力水平的材料及某些零件的壽命試驗(yàn).v一般而言，它具有比對(duì)數(shù)正態(tài)分布更大的適用性。但是，威布爾分布參數(shù)的分析法估計(jì)較復(fù)雜，區(qū)間估計(jì)值過(guò)長(zhǎng)，實(shí)踐中常采用概率紙估計(jì)法，從而降低了參數(shù)的估計(jì)精度這是威布爾分布目前存在的主要缺點(diǎn)，也限制了它的應(yīng)用。9.7分類問(wèn)題1.距離判別法1.1歐氏Euclidean distance距離判別法2,minikkd x xxx1.2馬氏 (P. C. Mah

7、alanobis)距離判別法1,min,cov()Tikkkkkkd x xxxSxxSx1.3海明Hamming距離判別法兩個(gè)合法代碼對(duì)應(yīng)位上編碼不同的位數(shù)稱為海明距離。 合理的距離v如果用dij表示第i個(gè)樣品和第j個(gè)樣品之間的距離，那么對(duì)于一切i，j和k，dij應(yīng)該滿足如下三個(gè)條件： v dij0，當(dāng)且僅當(dāng)i=j時(shí)，dij=0 （非負(fù)性）v dijdji （對(duì)稱性） v dijdikdkj三角不等式） 顯然，歐氏距離滿足以上三個(gè)條件。歐氏距離的缺點(diǎn)v歐氏距離雖然簡(jiǎn)單，但也有明顯的缺點(diǎn)。它歐氏距離雖然簡(jiǎn)單，但也有明顯的缺點(diǎn)。它將樣本的不同屬性即各指標(biāo)或各變量之將樣本的不同屬性即各指標(biāo)或各變量

8、之間的差別等同看待，這一點(diǎn)有時(shí)不能滿足實(shí)間的差別等同看待，這一點(diǎn)有時(shí)不能滿足實(shí)際要求。際要求。馬氏距離優(yōu)缺點(diǎn)v1馬氏距離的計(jì)算是建立在總體樣本的基礎(chǔ)上的，這一點(diǎn)可以從上述協(xié)方差矩陣的解釋中可以得出，也就是說(shuō)，如果拿同樣的兩個(gè)樣本，放入兩個(gè)不同的總體中，最后計(jì)算得出的兩個(gè)樣本間的馬氏距離通常是不相同的，除非這兩個(gè)總體的協(xié)方差矩陣碰巧相同； v2在計(jì)算馬氏距離過(guò)程中，要求總體樣本數(shù)大于樣本的維數(shù)，否則得到的總體樣本協(xié)方差矩陣逆矩陣不存在，這種情況下，用歐式距離計(jì)算即可。 v3還有一種情況，滿足了條件總體樣本數(shù)大于樣本的維數(shù)，但是協(xié)方差矩陣不可逆，比如三個(gè)樣本點(diǎn)3，4），（5，6和7，8），這種情況

9、是因?yàn)檫@三個(gè)樣本在其所處的二維空間平面內(nèi)共線。這種情況下，也采用歐式距離計(jì)算。 v4在實(shí)際應(yīng)用中“總體樣本數(shù)大于樣本的維數(shù)這個(gè)條件是很容易滿足的，而所有樣本點(diǎn)出現(xiàn)3中所描述的情況是很少出現(xiàn)的，所以在絕大多數(shù)情況下，馬氏距離是可以順利計(jì)算的，但是馬氏距離的計(jì)算不穩(wěn)定，不穩(wěn)定的來(lái)源是協(xié)方差矩陣，這也是馬氏距離與歐式距離的最大差異之處。 v優(yōu)點(diǎn)：不受量綱的影響，兩點(diǎn)之間的馬氏距離與原始數(shù)據(jù)的測(cè)量單位無(wú)關(guān)；由標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)和中心化數(shù)據(jù)(即原始數(shù)據(jù)與均值之差計(jì)算出的二點(diǎn)之間的馬氏距離相同。馬氏距離還可以排除變量之間的相關(guān)性的干擾。缺點(diǎn)：夸大了變化微小的變量的作用。 2.Fisher判別法vFisher判別的

10、基本思想是將k個(gè)總體的所有p維空間的樣本點(diǎn)投影到一維空間上，使投影后組與組之間盡可能的分開(kāi)，然后利用方差分析的方法推出判別函數(shù)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，通常利用線性的判別函數(shù)u(x)=aTx.v尋找一個(gè)最恰當(dāng)?shù)姆较騛，使在這個(gè)方向上，組間方差與組內(nèi)方差的商最大11111, ,kkkkTTjjiiiiiiiiiiiiixxSSxxxxYm xxxxk,iijiiikpxxiG xm假設(shè)已知 個(gè) 維類別 ，其均值向量為 ,第 類已有樣本集:,樣本容量為求解最優(yōu)判別方向等價(jià)于求解帶約束函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題2max ( ). . 1TTa YaL aa Sasta1aS Y為矩陣的主特征向量可以證明：v Fisher判別法v根據(jù)各個(gè)樣本均值在最優(yōu)方向上的投影值v 從小到大將樣本集重新編號(hào)，假設(shè)序號(hào)仍然為G1Gk。v定出Gj和Gj+1的分界值uj, j=1k-1，比如：v確定樣本類別： Tiiu xa x111jjjjjjjxxC10( )(), ()(), ()Tjjjku xa xu cu cxGu cu c 1minTTTTjiji ka xa xa xa xxG Bayes判別法v距離判別法雖然簡(jiǎn)單，便于使用。但是該方法也有它明顯的不足之處。v第一，判別方法與總體各自出現(xiàn)的概率的大小無(wú)關(guān)；v第二，