第八章變形及剛度計算改ppt課件

1、第八章第八章 變形及剛度計算變形及剛度計算第八章第八章變形及剛度計算變形及剛度計算主講教師：余茜主講教師：余茜 8 1 8 1 軸向拉伸桿的變形軸向拉伸桿的變形 8 2 8 2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算 8 3 8 3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8 4 8 4 簡單超靜定問題簡單超靜定問題目目 錄錄第二章第二章 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形FF一、軸向拉壓的變形分析一、軸向拉壓的變形分析FFl0 lll1 1ll1ld1dd1d軸向拉伸：軸向拉伸：縱向伸長

2、、橫向縮短縱向伸長、橫向縮短縱向伸長量：縱向伸長量：橫向縮短量：橫向縮短量：0 ddd1 0 lll1軸向壓縮：軸向壓縮：縱向縮短、橫向伸長縱向縮短、橫向伸長縱向縮短量：縱向縮短量：橫向伸長量：橫向伸長量：0 ddd1注：絕對變形量不足以描述變形的程度，尤其對于長度不一注：絕對變形量不足以描述變形的程度，尤其對于長度不一的桿件，因此引入應(yīng)變的概念。的桿件，因此引入應(yīng)變的概念。FFFFl1ll1ld1dd1d lll11、縱軸向變形量：、縱軸向變形量：2、橫向變形量：、橫向變形量： ddd1二、線應(yīng)變二、線應(yīng)變軸向線應(yīng)變：軸向線應(yīng)變：線應(yīng)變：將絕對伸長量除以桿件的初始尺寸，即得單位伸長，線應(yīng)變：

3、將絕對伸長量除以桿件的初始尺寸，即得單位伸長，稱之為線應(yīng)變。稱之為線應(yīng)變。ll 橫向線應(yīng)變：橫向線應(yīng)變：dd 3、線應(yīng)變的符號約定：、線應(yīng)變的符號約定： 與變形量的正負號一致，即拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?。與變形量的正負號一致，即拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨摗?8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 上式表明，在線彈性范圍內(nèi)軸向拉、壓桿件的上式表明，在線彈性范圍內(nèi)軸向拉、壓桿件的伸長或縮短量伸長或縮短量 l ，與軸力，與軸力 FN和桿長和桿長 l 成正比成正比,與與EA 成反比。成反比。lEAFlEllNEA抗拉壓剛度抗拉壓剛度 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形AFNE 由胡克

4、定律由胡克定律且且軸向線應(yīng)變：軸向線應(yīng)變：ll EAlFlNEAlFlNE彈性模量彈性模量EAEA抗拉壓剛度抗拉壓剛度 l 表示長為表示長為 l的桿件在軸力的桿件在軸力 FN的作用下的伸長量或縮短量的作用下的伸長量或縮短量條件：桿件在條件：桿件在 l長范圍內(nèi)長范圍內(nèi)EA和和FN均為常數(shù)。均為常數(shù)。EA(x)(x)dxF(dx)NlNlEA(x)(x)dxF(dx)Ln1iiiiNEAlFL 當當EAEA和和FNFN在桿長范圍內(nèi)分段為常數(shù)時在桿長范圍內(nèi)分段為常數(shù)時N（x）xd x(x)FN+FN圖圖 當當EAEA和和FNFN在桿長范圍內(nèi)為位置的函數(shù)時在桿長范圍內(nèi)為位置的函數(shù)時 8-1 8-1 軸

5、向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形三、泊松比三、泊松比 當桿件受拉伸沿縱向伸長時，橫向則縮短；當桿件受當桿件受拉伸沿縱向伸長時，橫向則縮短；當桿件受壓縮沿縱向縮短時，橫向則伸長。壓縮沿縱向縮短時，橫向則伸長。FFb1h1bh橫向線應(yīng)變：橫向線應(yīng)變：bbbbbhhhhh11ll 縱向線應(yīng)變：縱向線應(yīng)變：實驗表明，對于同一種線彈性材料，存在如下關(guān)系：實驗表明，對于同一種線彈性材料，存在如下關(guān)系： 稱為泊松比，量綱為一稱為泊松比，量綱為一負號表示縱向與橫負號表示縱向與橫向變形的方向總是相反向變形的方向總是相反l1l 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形40KN20KN10KN+50kN20k

6、N30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1m。求求桿桿的的總總變變形形。彈彈性性模模量量材材料料的的積積，受受力力如如圖圖。已已知知桿桿的的長長度度、截截面面面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAE分析：多力作用下，分析：多力作用下，整個桿長范圍內(nèi)軸力整個桿長范圍內(nèi)軸力分段為常數(shù)，只能分分段為常數(shù)，只能分段求變形，再求和。段求變形，再求和。 又因為又因為BD段內(nèi)雖然軸力段內(nèi)雖然軸力為常數(shù)，但截面面積又分兩為常數(shù)，但截面面積又分兩段，所以要分段，所以要分4段求變形。段求變形。FN圖圖 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形40KN20

7、KN10KN+50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1m。求求桿桿的的總總變變形形。彈彈性性模模量量材材料料的的積積，受受力力如如圖圖。已已知知桿桿的的長長度度、截截面面面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAEFN圖圖0.762mm250102.11011040L533AB0.381mm250102.11021010L533BC0.238mm200102.11011010L533CD 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形40KN20KN10KN+50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3

8、m1m。求求桿桿的的總總變變形形。彈彈性性模模量量材材料料的的積積，受受力力如如圖圖。已已知知桿桿的的長長度度、截截面面面面例例MPa10125 .EEAlFLLLLLLNDECDBCABiAEFN圖圖1.572mm1.4290.2380.3810.762LAE1.429mm200102.11031020L533DE即桿被壓短了即桿被壓短了1.572mm1.572mm 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形下下的的伸伸長長量量。求求自自重重作作用用長長抗抗拉拉剛剛度度等等直直桿桿容容重重為為例例lEA, ayqy(y)FNyqLqEA11 GAlql b c解：解：把自重簡化為沿著軸

9、線均勻分布的線荷載，集度把自重簡化為沿著軸線均勻分布的線荷載，集度qA任意取一個截面任意取一個截面11，畫受力圖。軸力，畫受力圖。軸力qy(y)FN在在11截面處取出一微段截面處取出一微段dy作為研究對象，受力如圖。作為研究對象，受力如圖。由于取的是微段，由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，認為在微段可以忽略，認為在微段dy上軸上軸力均勻分布常數(shù)）力均勻分布常數(shù)）dy(y)dF(y)FNNqy(y)FN 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形下下的的伸伸長長量量。求求自自重重作作用用長長抗抗拉拉剛剛度度等等直直桿桿容容重重為為例例lEA, ayqy(y)FNyqLqEA11dy c

10、2EAGL2EALAL2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FNEA(y)dyFLdN2EAAL2EAqLEAqydyEA(y)dyFLdL22L0LNL 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 ayqy(y)FNyqLqEA11dy c2EAGL2EALAL2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FN結(jié)論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當作集結(jié)論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當作集中力作用在桿端所引起的變形量的一半。中力作用在桿端所引起的變形量的一半。LEAG令取一根相同的桿件，把它的自重作為一個集中力作令取一根相同的桿件，把它的自重作為一個集中力作用在自由

11、端，此時桿件的伸長量為用在自由端，此時桿件的伸長量為EAGLLL21L 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 8 2 8 2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算一、扭轉(zhuǎn)變形一、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角抗扭剛度抗扭剛度扭率：扭率：pTGIM 單位長度扭轉(zhuǎn)角扭率描述單位長度扭轉(zhuǎn)角扭率描述了扭轉(zhuǎn)變形的劇烈程度了扭轉(zhuǎn)變形的劇烈程度pGI扭轉(zhuǎn)角：扭轉(zhuǎn)角：dxGIMdxl0pTl單位：單位：radradpTGIlM一、扭轉(zhuǎn)變形一、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角：扭轉(zhuǎn)角：dxGIMdxl0pTl當在桿長當在桿長l l內(nèi)扭率為常數(shù)時內(nèi)扭率為常數(shù)時單位：單位：radrad當在桿長當在桿長l

12、 l內(nèi)扭率分段為常內(nèi)扭率分段為常數(shù)時，用求和公式數(shù)時，用求和公式piiiTiIGlM 8 2 8 2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算二、剛度條件二、剛度條件 GITp以度每米為單位時以度每米為單位時以弧度每米為單位時以弧度每米為單位時 180GITp許用單位長度扭轉(zhuǎn)角許用單位長度扭轉(zhuǎn)角三、剛度條件的應(yīng)用三、剛度條件的應(yīng)用（1 1校核剛度校核剛度（2 2設(shè)計截面設(shè)計截面（3 3確定荷載確定荷載 rad/m/m 8 2 8 2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算 例題：圓軸如圖所示。已知例題：圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的許用切應(yīng)

13、力材料的許用切應(yīng)力=40MPa，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角角 =0. 8/m，剪切彈性模量，剪切彈性模量G=80GPa。試校核。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強度和剛度。該軸的扭轉(zhuǎn)強度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.md2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：強度校核解：強度校核MPaWMpT6 .301611010836222T T圖圖1 12 2MPaWMpT2 .36167510336111 MPa2361.max滿足強度條件滿足強度條件分析：雖然分析：雖然MTABMTBCMTAB0M 0 , M 0 , M 0曲線向下凸曲線向下凸 時時 ： y

14、 0y 0因此因此, M , M 與與 yy的正負號相反的正負號相反oxy推導公式推導公式 zEIxM)(2321)( yyzEIxMyy)()( 2321二、二、 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程zEIxMy)(此式稱為此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程近似原因近似原因 : (1) : (1) 略去了剪力的影響略去了剪力的影響 ; (2) ; (2) 略去了略去了 y 2 y 2 項。項。2y與與 1 1 相比十分微小而可以忽略不計相比十分微小而可以忽略不計, , 故上式可近似為故上式可近似為推導公式推導公式zEIxMyy)()( 2321二、二、 撓曲線的近似微

15、分方程撓曲線的近似微分方程三、三、 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形zEIxMy)(梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程（一）、公式推導（一）、公式推導再積分一次再積分一次, , 得撓度方程得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程CM(x)dxyEIEIZZDCxM(x)dxyEI2z式中式中C C 、D D稱為積分常數(shù)，可通過梁撓曲線的位移邊界條件稱為積分常數(shù)，可通過梁撓曲線的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件來確定。和變形連續(xù)光滑條件來確定。AB0yA0yB0yA0 AAB在簡支梁中，在簡支梁中， 左右兩鉸支座處的撓度左右兩鉸支座處的撓度 yA yA 和和 yB yB

16、 都應(yīng)等于零邊境）；都應(yīng)等于零邊境）；C C左、左、C C右截右截面的饒度、轉(zhuǎn)角相等變形連續(xù)光滑）。面的饒度、轉(zhuǎn)角相等變形連續(xù)光滑）。在懸臂梁在懸臂梁 中，固定端處的撓度中，固定端處的撓度 yAyA和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 A A 都應(yīng)等于零。都應(yīng)等于零。（二）、位移邊界條件和變形連續(xù)條件（二）、位移邊界條件和變形連續(xù)條件位移邊界條件：位移邊界條件：yA yA 0 0 ，yB yB 0 0位移邊界條件：位移邊界條件：yA yA 0 0 ， A A 0 0留意：位移邊界條件在支座處留意：位移邊界條件在支座處 變形連續(xù)條件中間在分段點變形連續(xù)條件中間在分段點變形連續(xù)條件：變形連續(xù)條件：CyyCC2121CCy

17、C1 yC1 yC2 yC2 ， C1 C1 C2C2三、三、 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形注注 意意 當梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁當梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程也隨之而異。方程也隨之而異。ABFDabl三、三、 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形1 1、正確分段，分別列彎矩方程；、正確分段，分別列彎矩方程；2 2、分段列近似微分方程，一次積分得轉(zhuǎn)角方程，再此積、分段列近似微分方程，一次積分得轉(zhuǎn)角

18、方程，再此積分得撓度方程；分得撓度方程；3 3、由位移邊界條件和變形連續(xù)條件求得積分常數(shù)。、由位移邊界條件和變形連續(xù)條件求得積分常數(shù)。步步 驟驟留意：留意：1、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)條件在中間分段、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)條件在中間分段點處；點處；2、分、分n段，就要列段，就要列n個彎矩方程，就有個彎矩方程，就有n個轉(zhuǎn)角方程和個轉(zhuǎn)角方程和n個撓度方程，因此就有個撓度方程，因此就有2n個積分常數(shù)，就必須列出個積分常數(shù)，就必須列出2n個補充方程邊界條件和變形連續(xù)條件）個補充方程邊界條件和變形連續(xù)條件）三、三、 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形CDAFB例題例題 ：用積分法求位移時

19、，：用積分法求位移時，圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線的近似微分方程？試分別列的近似微分方程？試分別列出確定積分常數(shù)時需用的邊出確定積分常數(shù)時需用的邊界條件和變形連續(xù)條件。界條件和變形連續(xù)條件。3m3m2mq解：分解：分ACAC、CBCB、BDBD三段三段1位移邊界條件：位移邊界條件：變形連續(xù)條件：變形連續(xù)條件：yA yA 0 0yC1 yC1 yC2 yC2 ， C1 C1 C2C223應(yīng)該列應(yīng)該列6 6個補充方程個補充方程yB2 yB2 yB3 yB3 ， B2 B2 B3B3A A截面：截面：x1=0 x1=0時，時，C C截面：截面：x1=x2=3mx1=x2=3m時，

20、時，B B截面：截面：x2=x3=6mx2=x3=6m時，時，B B截面：截面：x2=x3=6mx2=x3=6m時，時， yB yB 0 0 x例題例題 ：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為 EI EI 的懸臂梁的懸臂梁, , 在自由端受一在自由端受一集中力集中力 P P 作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, , 并并確定其最大撓度確定其最大撓度 ymax ymax 和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角 max max 。 lyABxP P(1) )()(xlPxM彎矩方程為彎矩方程為解：解：撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為(2) )( PxPlxMEIyx)(x

21、MyEI lyABxP P(3) 212CPxPlxEIy對撓曲線近似微分方程進行積分對撓曲線近似微分方程進行積分)4(622132CxCPxPlxEIy0,00,0yxyx邊界條件為邊界條件為 ：C1=0 C2=0C1=0 C2=0將邊界條件代入將邊界條件代入(3) (4)(3) (4)兩式中兩式中, ,可得可得(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIyxlyABxP PC1=0 C2=0C1=0 C2=0(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIy梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為EIPxEIPlxy22E

22、IPxEIPlxy6232xlyABxP P max max 及及 ymaxymax都發(fā)生在自由端截面處都發(fā)生在自由端截面處（ ）EIPlyylx33|maxlyABxP PfmaxmaxEIPlEIPlEIPllx22222|max（ ）ymax例題例題 ：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為EI EI的簡支梁的簡支梁, , 在在D D點處受一點處受一集中力集中力P P的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求并求D D截面的撓度和截面的撓度和A A、B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角ABPDabllbPFRAlaPFRB解：梁的兩個支反力為解：梁的兩個支反力

23、為ABPDablRARBFRAFRB)(axxlbPxFMRA0112)()(lxaaxPxlbPM2xx1 1、分兩段分別列彎矩方程、分兩段分別列彎矩方程2、兩段梁的撓曲線方程分別為、兩段梁的撓曲線方程分別為xlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(2DxCaxPxlbPEIy223326)(612撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )l)(axxlbPxFMRA01)()(lxaaxPxlbPM2可見，梁分兩段，就有可見，梁分兩段，就有4個積分常數(shù)個

24、積分常數(shù)D D點的連續(xù)條件：點的連續(xù)條件：在在 x1x2 = a 處處21yyyy21邊界條件邊界條件在在處，處，在在 X = 0 X = 0 處，處，01ylx 02yABPDabl12RARBFRAFRB3 3、邊界條件和變形連續(xù)條件、邊界條件和變形連續(xù)條件代入方程可解得：代入方程可解得：021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326

25、)(6在在處，處，在在 X = 0 X = 0 處，處，01ylx 02y在在 x1x2 = a 處處21yyyy21021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326)(6)(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIP

26、by)()(622332)(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332lEIblPabxA601)(|將將 x = 0 x = 0 和和 x = l x = l 分別代入轉(zhuǎn)角方程，左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別代入轉(zhuǎn)角方程，左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角lEIalPabB6)(max當當 a b a b 時時, , 右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大lEIalPablxB62)(|ABPDabl12RARBFRAFRB)(312222

27、11xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332ABPDabl12RARBFRAFRBD截面的撓度：截面的撓度：把把x=a代入代入y1或者或者y2，得，得)(2226abllEIPaby|ax四、四、 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形力的獨立作用原理力的獨立作用原理在線彈性及小變形條件下，在線彈性及小變形條件下，梁的變形撓度梁的變形撓度y y和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角與荷載始終保持線性關(guān)與荷載始終保持線性關(guān)系，而且每個荷載引起的變形與其他同時作用的荷系，而且每個荷載引起的變形

28、與其他同時作用的荷載無關(guān)。載無關(guān)。疊加法的分類疊加法的分類直接疊加直接疊加梁上荷載可以化成若干個典型荷載，梁上荷載可以化成若干個典型荷載，每個典型荷載都可以直接查表求出位移，然后直每個典型荷載都可以直接查表求出位移，然后直接疊加；接疊加；間接疊加間接疊加梁上荷載不能化成直接查表的若干梁上荷載不能化成直接查表的若干個典型荷載，需將梁進行適當轉(zhuǎn)換后才能利用表個典型荷載，需將梁進行適當轉(zhuǎn)換后才能利用表中結(jié)果進行疊加計算。中結(jié)果進行疊加計算。四、四、 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形例題：一抗彎剛度為例題：一抗彎剛度為 EI EI 的簡支梁受荷載如圖所示。的簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨

29、中點的撓度試按疊加原理求梁跨中點的撓度 yC yC 和支座處橫截和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角面的轉(zhuǎn)角 A A 、 B B 。A AB BmlC Cq解：將梁上荷載分為兩項解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖簡單的荷載，如圖b b、c c 所所示示(b)(b)A AB BmlC CqB BA AC CqB BA AmC C(C)yyyCmCqCAmAqABmBqB)(16384524EImlEIqlycqycmAqAmBqBmA AB BmlC CqA AC CqA AmC CEImlEIql3243( )EImlEIql6243( )查表，得查表，得例題：試利用疊加法，求圖所示抗彎剛度為例題：試利用

30、疊加法，求圖所示抗彎剛度為 EI EI 的簡的簡支梁跨中點的撓度支梁跨中點的撓度 yC yC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A , A , B B 。l2lABC Cq解：解： 可視為正對稱可視為正對稱荷載與反對稱荷載荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。兩種情況的疊加。l2lABC CqABC Cq/2C CA AB B2q2qEIqlEIlqyC768538425441)(（1 1正對稱荷載作用下正對稱荷載作用下EIqlEIlqBA482423311)(ABC Cq/2（2 2反對稱荷載作用下反對稱荷載作用下可將可將ACAC段和段和BCBC段分別視為受均布線荷載作用且長度段分別視為受均布線荷

31、載作用且長度為為 l /2 l /2 的簡支梁的簡支梁在跨中在跨中C C截面處，撓度截面處，撓度 yc yc 等于零等于零 ，但，但 轉(zhuǎn)角不等于零轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的且該截面的 彎矩也等于零彎矩也等于零C CA AB B2q2qEIqlBA2422322)()(02yCC CA AB B2q2qEIql3843C CA AB B2q2q（2 2反對稱荷載作用下反對稱荷載作用下將相應(yīng)的位移進行疊將相應(yīng)的位移進行疊加加, , 即得即得EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321)(EIqlyyyCCC7685421EIEIEIqlqlqlAAA12838448333321l2lAB

32、C Cq例例7.6 7.6 等截面外伸梁受力如圖等截面外伸梁受力如圖7.87.8a a所示，其抗彎剛所示，其抗彎剛度度EI EI為常數(shù)。試求自由端處的撓度為常數(shù)。試求自由端處的撓度 yCyC。BCEIAB(a)(b)CC1ylaFFaAB為基本部分為基本部分BC為附屬部分為附屬部分 基本部分基本部分ABAB的變形使附屬的變形使附屬部分部分BCBC產(chǎn)生的剛體位移，稱產(chǎn)生的剛體位移，稱為牽連位移為牽連位移 附屬部分附屬部分BCBC自身變形引起自身變形引起的位移，稱為附加位移的位移，稱為附加位移圖7.8BAC(c)alFMe=FaBCEIAB(a)(b)CCylaFFaBCEIAB(a)(b)CC1

33、yCylaFFaBCEIAB(a)(b)CCylaFFaC1y圖7.8BAC(c)al直線C2B2yFMe=Fa12CCCyyy例例7.6 7.6 等截面外伸梁受力如圖等截面外伸梁受力如圖7.87.8a a所示，其抗彎剛所示，其抗彎剛度度EI EI為常數(shù)。試求自由端處的撓度為常數(shù)。試求自由端處的撓度 yCyC。BCEIAB(a)(b)CC1ylaFFa牽連位移牽連位移 附加位移附加位移圖7.8BAC(c)alFMe=FaBCEIAB(a)(b)CCylaFFaBCEIAB(a)(b)CC1yCylaFFaBCEIAB(a)(b)CCylaFFaC1y圖7.8BAC(c)al直線C2B2yFMe

34、=Fa313CFayEI222tanCBByaae233BM lFlaEIEI2223CBFlayaEI12322()333CCCyyyFaFlaFalaEIEIEI例例7.7 7.7 變截面梁受力如圖變截面梁受力如圖7.97.9a a所示，試求自由端處所示，試求自由端處的撓度的撓度 yByB。(b)(a)l/2 FByEIB 1F2EIEIBCAl/2 l/2 C(c)l/2 l/2 yCCC直線Me=Fl/2F2EIB 2EIyA圖7.9BAC為基本部分為基本部分CB為附屬部分為附屬部分 (b)(a)l/2 FByEIB 1F2EIEIBCAl/2 l/2 C例題：一抗彎剛度為例題：一抗彎

35、剛度為 EI EI 的外伸梁受荷載如圖所示的外伸梁受荷載如圖所示, , 試按疊加原理并利用附表試按疊加原理并利用附表, , 求截面求截面 B B 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 B B 以及以及 A A 端和端和BC BC 中點中點 D D 的撓度的撓度 y A y A 和和 yD yD 。 A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q解：將外伸梁沿解：將外伸梁沿 B B 截面截成兩段，將截面截成兩段，將AB AB 段看成段看成 B B 端固定的懸臂梁，端固定的懸臂梁，BC BC 段看成簡支梁。段看成簡支梁。A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2q2qA AB BB B 截面

36、兩側(cè)的相互截面兩側(cè)的相互作用力為：作用力為：qaMB2 2qa2qaqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq qA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q簡支梁簡支梁 BC BC 的受力情的受力情況與外伸梁況與外伸梁 AC AC 的的 BC BC 段的受力情況相同段的受力情況相同由簡支梁由簡支梁 BC BC 求得的求得的B B ，yDyD，就是外，就是外伸梁伸梁 AC AC 的的 B B ，yDyDA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q

37、簡支梁簡支梁 BC BC 的變形就的變形就是是MB MB 和均布荷載和均布荷載 q q 分別引起變形的疊加。分別引起變形的疊加。q qB BC CD DB BC CD DqaMB2 (1)(1)求求 B B ，yDyDfDqBqq qB BC CD DfMBDMBBB BC CD DqaMB2 EIqaEIqlBq32433EIqaEIlMBBMB3233EIEIqaqlyDq243845544EIEIMqalMyBDB41642EIqaMBBBqB33EIMqayyyBDDqD244由疊加原理得由疊加原理得2q2qA AB B(2) (2) 求求 yAyA由于簡支梁上由于簡支梁上 B B 截

38、面的轉(zhuǎn)動，代動截面的轉(zhuǎn)動，代動 AB AB 段一起作剛體運段一起作剛體運動，使動，使 A A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度 y1 y1 懸臂梁懸臂梁 AB AB 本身的彎曲變形，使本身的彎曲變形，使 A A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度 y2y2y2y1qaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qBA AB BC CD Dq qByyyyaBA221EIqay8242)(EIEIEIqaqaqayA12437444因此，因此，A A端的總撓度應(yīng)為端的總撓度應(yīng)為查表，得查表，得2q2qA AB BqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qA

39、AB BC CD Dq qBBy2y1EIqaB33lflymax式中：式中：ymax ymax 為梁上最大的撓度；為梁上最大的撓度；l l 為梁的跨長；為梁的跨長； f / l f / l 為為 梁的許可撓度與的跨長比值。梁的許可撓度與的跨長比值。五、五、 梁的剛度校核梁的剛度校核剛度條件一般只校核撓度）剛度條件一般只校核撓度）留意：留意：1、建筑結(jié)構(gòu)即要滿足強度條件，同時也要滿足剛度條件；、建筑結(jié)構(gòu)即要滿足強度條件，同時也要滿足剛度條件；2、一般情況下，強度條件起控制作用，所以，在設(shè)計梁的、一般情況下，強度條件起控制作用，所以，在設(shè)計梁的截面時，用強度條件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件

40、截面時，用強度條件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件進行校核。進行校核。 梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI EI、梁的跨、梁的跨度、荷載、約束等因素有關(guān)。度、荷載、約束等因素有關(guān)。提高梁彎曲剛度的措施提高梁彎曲剛度的措施措施：措施：1、選用合理的截面形狀，增大梁的抗彎剛度、選用合理的截面形狀，增大梁的抗彎剛度EI ；2、改善結(jié)構(gòu)形式，調(diào)整跨長；、改善結(jié)構(gòu)形式，調(diào)整跨長；3、改變加載方式；、改變加載方式；4、增加約束，采用超靜定結(jié)構(gòu)；、增加約束，采用超靜定結(jié)構(gòu)；一、超靜定的概念一、超靜定的概念 8-4 8-4 簡單超靜定問題簡單超靜定問題 8-4 8-4 簡單超靜定問

41、題簡單超靜定問題靜定問題：單個物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的靜定問題：單個物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨立的平衡方程的數(shù)目，全部未知量均可求出，這樣的問獨立的平衡方程的數(shù)目，全部未知量均可求出，這樣的問題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。 超靜定或靜不定超靜定或靜不定 ：未知量的數(shù)目多于獨立的平衡方程的數(shù)：未知量的數(shù)目多于獨立的平衡方程的數(shù)目，未知量不可全部求出，這樣的問題稱為超靜定問題，目，未知量不可全部求出，這樣的問題稱為超靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。超出幾個未知量，就是幾次超靜定問題。超出幾個未知

42、量，就是幾次超靜定問題。通常超靜定問題需要建立補充方程，方可求解。通常超靜定問題需要建立補充方程，方可求解。在超靜定結(jié)構(gòu)中，若不考慮強度和剛度而僅針對維持結(jié)構(gòu)在超靜定結(jié)構(gòu)中，若不考慮強度和剛度而僅針對維持結(jié)構(gòu)的平衡而言，有些約束是可以去掉的，這些約束稱為多余的平衡而言，有些約束是可以去掉的，這些約束稱為多余約束，與其相應(yīng)的支座反力稱為多余支反力。約束，與其相應(yīng)的支座反力稱為多余支反力。獨立的平衡方程數(shù)：獨立的平衡方程數(shù)：2 23 36 6未知力數(shù)：未知力數(shù)：2+1+2+12+1+2+16 6獨立的平衡方程數(shù)獨立的平衡方程數(shù)= =未知力數(shù)未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)：獨立的平衡方程數(shù)：2 23 36

43、 6未知力數(shù)：未知力數(shù)：3+1+2+13+1+2+17 7未知力數(shù)未知力數(shù) 獨立的平衡方程數(shù)獨立的平衡方程數(shù)靜定問題靜定問題超靜定問題超靜定問題 8-4 8-4 簡單超靜定問題簡單超靜定問題 例題：兩端固定的等直桿例題：兩端固定的等直桿ABAB橫截面積為橫截面積為A A，彈性模量，彈性模量為為E E，在，在C C點處承受軸力點處承受軸力P P的作用，如圖的作用，如圖 所示所示 。計算。計算A A、B B的約束反力。的約束反力。 PblBACa 8-4 8-4 簡單超靜定問題簡單超靜定問題FRByPBFRAAC判斷超靜定次數(shù)：這是一次超靜定問題。判斷超靜定次數(shù)：這是一次超靜定問題。解：解：PblBAC（1平衡方程為平衡方程為0PFFRBRAa 8-4 8-4 簡單超靜定問題簡單超靜