函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中任意性和存在性問題探究(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中任意性和存在性問題探究命題人：閆霄 審題人：馮昀山 一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1：；結(jié)論2：；結(jié)論3：；結(jié)論4：；結(jié)論5：；【如圖一】結(jié)論6：；【如圖二】結(jié)論7：；【如圖三】結(jié)論8：；【如圖四】結(jié)論9：的值域和的值域交集不為空；結(jié)論10：的值域是的值域的子集【例題1】：已知兩個函數(shù);(1) 若對,都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(2) 若,使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(3) 若對,都有成立，求實數(shù)的取值范圍；解：（1）設(shè),（1）中的問題可轉(zhuǎn)化為：時，恒成立，即。；當(dāng)變化時，的變化情況列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-4

2、5增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因為,所以，由上表可知，故k-450，得k45,即k45,+).小結(jié)：對于閉區(qū)間I，不等式f(x)<k對xI時恒成立f(x)max<k, xI;不等式f(x)>k對xI時恒成立f(x)min>k, xI. 此題常見的錯誤解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件“f(x)maxg(x)min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價.（2）根據(jù)題意可知，（2）中的問題等價于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3時有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+7

3、0，即k-7,+).(3)根據(jù)題意可知，（3）中的問題等價于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得, x-3,3時, f(x)max=120k.仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x-3,3時, g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).說明：這里的x1,x2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三個問題的解答過程可以看出,對于一個不等式一定要看清是對“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價條件,千萬不要稀里糊涂的去猜.【例題2】：(2010年山東理科22) 已知函數(shù)

4、;(1) 當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時，若對，,使，求實數(shù)的取值范圍；解：（1）（解答過程略去，只給出結(jié)論）當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增；當(dāng)a=時，函數(shù)f(x)在（0，+）上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<時，函數(shù)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（0,1），；（2）函數(shù)的定義域為（0，+），（x）=a+=，a=時，由（x）=0可得x1=1,x2=3.因為a=（0,），x2=3（0,2）,結(jié)合（1）可知函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,2）上單調(diào)遞增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值為f(1)= .由于“對x1（0,2），x21,2,使f(x1)

5、 g(x2)”等價于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= ”. （）又g(x)=(xb)2+4b2, x1,2,所以 當(dāng)b<1時，因為g(x)min=g(1)=52b>0,此時與（）矛盾； 當(dāng)b1,2時, 因為g(x)min=4b20，同樣與（）矛盾； 當(dāng)b（2，+）時，因為g(x)min=g(2)=84b.解不等式84b，可得b.綜上，b的取值范圍是,+).二、相關(guān)類型題：類型一：直接求最值（往往需帶參討論）例3：類題：例4：類題：類型二：分離常數(shù)法求最值例5：類題：例6： 類題：類型三：先進(jìn)行變形簡化，再求最值例7：類題：類型四：分離常數(shù)

6、法+羅比達(dá)法則洛必達(dá)法則簡介：法則1 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)在點a的去心內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g'(x)0； (3)，那么 =。 法則2 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在與上可導(dǎo)，且g'(x)0； (3)，那么 =。 法則3 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)在點a的去心內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g'(x)0； (3)，那么 =。利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意： 將上面公式中的xa，x換成x+，x-，洛必達(dá)

7、法則也成立。洛必達(dá)法則可處理，型。在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。 若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。例8：(2010年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)。（1） 若，求的單調(diào)區(qū)間；（2） 若當(dāng)時，求的取值范圍原解：（1）時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（II）由（I）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故，從而當(dāng)，即時，而，于是當(dāng)時，.由可得.從而當(dāng)時，故當(dāng)時，而，于是當(dāng)時，.綜合得的取值范圍為原解在處理第（II）時較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：另解:（II）當(dāng)時，對任意實數(shù)a,均在；當(dāng)時，等價于令(x>0),則，令，則，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達(dá)法則知，00，故綜上，知a的取值范圍為。類題1：例4及其類題，例7及其類題，以下示范例7解法解法二：原解在處理第（II）時非常難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：（II）由題設(shè)可得，當(dāng)時，k<恒成立。令g (x)= (),則，再令()，則，易知在上為增函數(shù)，且；