數(shù)值分析—一元非線性方程求解

1、課 程 設(shè) 計(jì) 報(bào) 告課程名稱 課題名稱 專 業(yè) 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 指導(dǎo)教師 年 月 日湖 南 工 程 學(xué) 院課 程 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) 書課程名稱 計(jì)算方法 課 題 專業(yè)班級(jí) 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)老師 審 批 任務(wù)書下達(dá)日期 2007 年 6 月 9 日任務(wù)完成日期 2007 年 6 月 20日一、設(shè)計(jì)內(nèi)容與設(shè)計(jì)要求1設(shè)計(jì)內(nèi)容： 對(duì)課程計(jì)算方法中的常見(jiàn)算法進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)或應(yīng)用（具體課題題目見(jiàn)后面的供選題目）。2設(shè)計(jì)要求：l 課程設(shè)計(jì)報(bào)告正文內(nèi)容a. 問(wèn)題的描述及算法設(shè)計(jì)；b. 算法的流程圖（要求畫出模塊圖）；c. 算法的理論依據(jù)及其推導(dǎo)；d. 相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（通過(guò)程序調(diào)試)，；e. 數(shù)值計(jì)

2、算結(jié)果的分析；f. 附件（所有程序的原代碼，要求對(duì)程序?qū)懗霰匾淖⑨專?。l 書寫格式a要求用A4紙打印成冊(cè)b正文格式：一級(jí)標(biāo)題用3號(hào)黑體,二級(jí)標(biāo)題用四號(hào)宋體加粗,正文用小四號(hào)宋體;行距為22。c正文的內(nèi)容:正文總字?jǐn)?shù)要求在3000字左右（不含程序原代碼）。d封面格式如下頁(yè)。l 考核方式指導(dǎo)老師負(fù)責(zé)驗(yàn)收程序的運(yùn)行結(jié)果，并結(jié)合學(xué)生的工作態(tài)度、實(shí)際動(dòng)手能力、創(chuàng)新精神和設(shè)計(jì)報(bào)告等進(jìn)行綜合考評(píng)，并按優(yōu)秀、良好、中等、及格和不及格五個(gè)等級(jí)給出每位同學(xué)的課程設(shè)計(jì)成績(jī)。具體考核標(biāo)準(zhǔn)包含以下幾個(gè)部分：a平時(shí)出勤 （占10%）b系統(tǒng)需求分析、功能設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及程序總體結(jié)構(gòu)合理與否（占10%）c程序能否完整、

3、準(zhǔn)確地運(yùn)行，個(gè)人能否獨(dú)立、熟練地調(diào)試程序（占40%）d設(shè)計(jì)報(bào)告（占30%）注意：不得抄襲他人的報(bào)告（或給他人抄襲），一旦發(fā)現(xiàn)，成績(jī)?yōu)榱惴?。e獨(dú)立完成情況（占10%）。l 課程驗(yàn)收要求a判定算法設(shè)計(jì)的合理性，運(yùn)行相關(guān)程序，獲得正確的數(shù)值結(jié)果。b回答有關(guān)問(wèn)題。c提交課程設(shè)計(jì)報(bào)告。d提交軟盤（源程序、設(shè)計(jì)報(bào)告文檔）。e依內(nèi)容的創(chuàng)新程度，完善程序情況及對(duì)程序講解情況打分。三、進(jìn)度安排1、 班級(jí)： 信息與計(jì)算科學(xué)：0501、0502、05032、 主講教師：聶 存 云3、 輔導(dǎo)教師：聶 存 云、趙 釷 焱4、 時(shí)間安排：第 16 周 星期一 8時(shí)：30分11時(shí)：30分 星期二 8時(shí)：30分11時(shí)：30分

4、 星期四 8時(shí)：30分11時(shí)：30分 星期五 8時(shí)：30分11時(shí)：30分1 問(wèn)題的描述：12 算法的流程圖2(1) Fixed-point 的算法流程圖2(2) Newton iteration 算法的流程圖3(3) Secant iteration 算法流程圖4(4) Aitken method 算法流程圖53 算法的理論依據(jù)：6(1) Fixed-point iteration6(2) Newton iteration6(3) Secant iteration6(4) Aitken method64 相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（通過(guò)程序調(diào)試）7(1) Fixed-point7(2) Newton it

5、eration8(3) Secant iteration9(4) Aitken method105 數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析106 所有程序的源代碼：10(1) Fixed-point10(2) Newton11(3) Secant12(4) Aitken method13151 問(wèn)題的描述：給定函數(shù)f(x)= -x-4x+10 要求用一下四種方法球的該一次非線性函數(shù)的零點(diǎn)(1)Fixed-point iteration (2)Newton iteration (3)Secant iteration (4)Aitken method 算法設(shè)計(jì) 用簡(jiǎn)單的程序加上已經(jīng)推導(dǎo)出的公式即可以將該函數(shù)的零點(diǎn)算出

6、2 算法的流程圖(1) Fixed-point 的算法流程圖開(kāi)始輸入x0 Ni<=N0x=sqrt(10-x)/2error<=TOL 輸出xi+; x0=x;結(jié)束NYYN 圖1 不動(dòng)點(diǎn)迭代流程(2) Newton iteration 算法的流程圖開(kāi)始輸入x0 Ni<=Nx=x0-f(x0)/f(x0)error<=TOL 輸出xi+; x0=x;結(jié)束NYYN 圖2 牛頓迭代算法流程圖(3) Secant iteration 算法流程圖開(kāi)始輸入x0 ,x1, Ni<=Nx=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0)error<=TOL 輸出x

7、i+; x0=x1; x1=x;結(jié)束NYYN 圖3 割線算法流程圖(4) Aitken method 算法流程圖開(kāi)始輸入x0 Ni<=Nx1=sqrt(10-x)/2; x2=sqrt(10-x);x=x0-(x1-x0)/(x0-2*x1+x2)error<=TOL 輸出xi+; x0=x;結(jié)束NYYN 圖4 加速算法流程圖針對(duì)以上四個(gè)圖形的說(shuō)明：x0，x1 ：初值i :迭代的次數(shù)N0: 總的迭代次數(shù)Y： 是 N：否error: 誤差TOL: 精度要求。3 算法的理論依據(jù)：(1) Fixed-point iteration 理論依據(jù)是利用了函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)定理即函數(shù)在某一個(gè)自變量處的

8、函數(shù)值與該自變量相等（x=g(x)）(2) Newton iteration 理論依據(jù)是利用了切線原理，首先得到函數(shù)在初值點(diǎn)處切線與直線y=0的交點(diǎn)，然后用該交點(diǎn)作為下一輪迭代的初值點(diǎn)(x=x0-f(x0)/f(x0)(3) Secant iteration 的理論依據(jù)是利用了割線與直線y=0的交點(diǎn)得到，已知兩個(gè)初值點(diǎn)求得兩的函數(shù)值在函數(shù)曲線上用直線連接該兩點(diǎn)得到函數(shù)曲線的割線，得到割線與直線y=的交點(diǎn)，結(jié)合第一輪中的一個(gè)點(diǎn)作為下一輪迭代的兩個(gè)初值點(diǎn)即（x=x1-f(x1)(x1-x0)/(f(x1)-f(x0)）(4) Aitken method 理論依據(jù)是，根據(jù)原來(lái)的序列構(gòu)造出一個(gè)新的序列

9、，新的序列比原來(lái)序列的收斂速度快,新的序列中的元素是p=p0-(p1-p0)/(p0-2*p1+p2).4 相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（通過(guò)程序調(diào)試）(1) Fixed-point (2) Newton iteration (3) Secant iteration (4) Aitken method 5 數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析從運(yùn)行結(jié)果可以看出 不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂速度最慢，Newton 和Secant 的收斂速度差不多,從四種方法運(yùn)行的結(jié)果可以看出該函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)1.36523。6 所有程序的源代碼：(1) Fixed-point # include<iostream># include<cma

10、th>using namespace std;int main()double x0,x,TOL=pow(10,-4);int i=0,N;cout<<"請(qǐng)輸入初值x0="cin>>x0; cout<<endl;cout<<"請(qǐng)輸入要迭代的次數(shù)N="cin>>N;cout<<endl;while(i<=N)/不動(dòng)點(diǎn)迭代函數(shù)x=sqrt(10-pow(x0,3)/2; /誤差判斷if(fabs(x-x0)<=TOL) /輸出結(jié)果 cout<<"x

11、"<<i<<"= "<<x<<endl;i+;/更換初始值x0=x; return 0;(2) Newton # include<iostream># include<cmath>using namespace std;int main()double x0,x,TOL=pow(10,-6);int i=1,N;cout<<"請(qǐng)輸入初值x0="cin>>x0;cout<<endl;cout<<"請(qǐng)輸入要迭代的次數(shù)N=

12、"cin>>N;cout<<endl;while(i<=N)/Newton 迭代公式x=x0-(-pow(x0,3)-4*pow(x0,2)+10)/(-3*pow(x0,2)-8*x0);/誤差判斷if(fabs(x-x0)<=TOL)/輸出結(jié)果cout<<"x"<<i<<"= "<<x<<endl;i+;/更換初始值x0=x;return 0;(3) Secant # include<iostream># include<cma

13、th>using namespace std;int main()double x0=0, x1=0, x=0,TOL=pow(10,-4),fx0,fx1,fx;int i=2,N;cout<<"請(qǐng)輸入初值x0="cin>>x0;cout<<"請(qǐng)輸入初值x1="cin>>x1;cout<<"請(qǐng)輸入要迭代的次數(shù)N="cin>>N;while(i<=N) /計(jì)算初值點(diǎn)出的函數(shù)值fx1=-pow(x1,3)-4*pow(x1,2)+10; fx0=-pow

14、(x0,3)-4*pow(x0,2)+10; fx=-pow(x,3)-4*pow(x,2)+10; /割線公式x=x1-fx1*(x1-x0)/(fx1-fx0); /判斷是否滿足精度要求if(fabs(x1-x)<=TOL)cout<<"x"<<i<<"= "<<x<<endl;i+;/更換初始值x0=x1;fx0=fx1; x1=x;fx1=fx;return 0;(4) Aitken method# include<iostream># include<cmath>using namespace std;int main()double x0,x1,x2,x,TOL=pow(10,-4);int i=1,N;cout<<"請(qǐng)輸入初值x0="cin>>x0;cout<<"請(qǐng)輸入要迭代的次數(shù)N="cin>>N;while(i<=N)/根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)迭代公式計(jì)算兩個(gè)初值點(diǎn)x1=sqrt(10-pow(x0,3)/2;x2=sqrt(10-pow(x1,3)/2; /加速公式x=x0-pow(x1-x0,2)/(x0-2*x1