數(shù)值分析常微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)題

1、數(shù)值分析第四次上機(jī)練習(xí)實(shí)驗(yàn)報(bào)告常微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)題一、 問(wèn)題的描述考慮一下問(wèn)題：；初試條件為，。其精確解為；請(qǐng)分別用古典四級(jí)四階顯式Runge-Kutta方法和隱式二級(jí)四階Runge-Kutta方法計(jì)算，計(jì)算區(qū)間取成，并與精確解比較。二、 方法描述Runge-Kutta方法是采用不同點(diǎn)上函數(shù)值的不同組合來(lái)提高方法的精度。又避免了函數(shù)f的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算。a 古典四級(jí)四階顯式Runge-Kutta方法古典四級(jí)四階顯式Runge-Kutta方法相應(yīng)的計(jì)算格式為b 隱式二級(jí)四階Runge-Kutta方法隱式二級(jí)四階Runge-Kutta方法相應(yīng)的計(jì)算格式為：三、 方案設(shè)計(jì)我們通過(guò)編寫程序來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，程序

2、語(yǔ)言采用Matlab語(yǔ)言，運(yùn)行環(huán)境為Matlab R2010b。在我們的程序文件中practice4.m文件為主程序文件， RK_ex44.m 為使用古典四級(jí)四階顯式Runge-Kutta方法計(jì)算的函數(shù)，RK_im24.m 為使用隱式二級(jí)四階Runge-Kutta方法計(jì)算的函數(shù)。a 古典四級(jí)四階顯式Runge-Kutta方法由function y=RK_ex44(f,a,b,y0,N,p函數(shù)計(jì)算得到。該函數(shù)可計(jì)算函數(shù)f，計(jì)算區(qū)間上下限為a、b，初值為y0，N個(gè)點(diǎn)，p個(gè)未知數(shù)，使用古典四級(jí)四階顯式Runge-Kutta方法計(jì)算得到的值。顯式計(jì)算方法非常便于實(shí)現(xiàn)，按照計(jì)算公式使用matlab語(yǔ)句編

3、程實(shí)現(xiàn)即可。具體實(shí)現(xiàn)詳見源程序。b 隱式二級(jí)四階Runge-Kutta方法由function y=RK_im24(A,c,a,b,y0,N 函數(shù)計(jì)算得到。該函數(shù)可計(jì)算函數(shù)f，計(jì)算區(qū)間上下限為a、b，初值為y0，N個(gè)點(diǎn)使用隱式二級(jí)四階Runge-Kutta方法計(jì)算得到的值。隱式計(jì)算方法不似顯式那么便利，需要解非線性方程組。然后依然是迭代求解。具體實(shí)現(xiàn)詳見源程序。四、 計(jì)算結(jié)果及誤差分析 如上圖所示為步長(zhǎng)h=0.001時(shí)的仿真結(jié)果。圖中藍(lán)色線代表精確解，紅色線代表古典顯式四級(jí)四階Runge-Kutta方法的解，綠色線（由于顏色疊加顯示為黃色線）代表隱式二級(jí)四階Runge-Kutta方法的解。由圖可

4、知，當(dāng)步長(zhǎng)h選擇足夠小時(shí)，兩種方法均能較好的對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模擬。下面對(duì)當(dāng)選擇不同的步長(zhǎng)h時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行討論。首先討論古典顯式四級(jí)四階Runge-Kutta方法。下述六幅圖分別顯示了當(dāng)步長(zhǎng)h=0.0015，h=0.0014，h=0.0013時(shí)，u(t和v(t的仿真結(jié)果。由圖中可以看出，當(dāng)步長(zhǎng)不夠小時(shí)，無(wú)法得到正確的仿真結(jié)果。而一旦選擇足夠小的步長(zhǎng)，能夠得到較好的仿真結(jié)果。當(dāng)h=0.0015時(shí)當(dāng)h=0.0014時(shí)當(dāng)h=0.0013時(shí)當(dāng)h=0.1時(shí)接下來(lái)討論步長(zhǎng)h對(duì)隱式二級(jí)四階Runge-Kutta方法的仿真結(jié)果的影響。當(dāng)h=0.01時(shí)可以看出，當(dāng)h=0.1時(shí)，隱式二級(jí)四階算法已能較好的精確v(t，然而，因?yàn)閡(t值出現(xiàn)了階躍，故并不能很好的對(duì)u(t進(jìn)行仿真。下表顯示了h=0.1,h=0.08, h=0.06, h=0.04, h=0.02, 0.01時(shí)，u(t的仿真圖。并根據(jù)局部討論的需要進(jìn)行了局部的放大。由圖中可以看出，隨著步長(zhǎng)的逐步縮減，在t=0處由于，u(t的階躍造成的誤差在逐步縮減，直至可以忽略。五、 結(jié)論通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，顯式RK方法雖然表達(dá)方式簡(jiǎn)明，步驟簡(jiǎn)單，然而需要較小的步長(zhǎng)以及較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間才能達(dá)到較精確的解。相比之下，隱式RK方法需要的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)小于顯式方法，并且較大的步長(zhǎng)就可以滿足得到精確解的需求