中考復(fù)習(xí)專題之三角函數(shù)與幾何結(jié)合

1、與三角函數(shù)有關(guān)的幾何題例1、如圖3，直線經(jīng)過O上的點(diǎn)，并且，O交直線于，連接（1）求證：直線是O的切線；（2）試猜想三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）若，O的半徑為3，求的長析解：（1）證明：如圖6，連接，是O的切線（2）BC2=BD×BE是直徑，又，又，BC2=BD×BE.（3），設(shè)，則又BC2=BD×BE，（2x）2=x(x+6解之，得，2 、 已知：如圖， 是 O 的直徑， , 切 O 于點(diǎn) 垂足為 交 O 于點(diǎn) （1）求證：;（2）若, 求的長3、如圖，以線段AB為直徑的O交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，OM交AC于點(diǎn)D，BOE=60°，co

2、sC=，BC=2（1）求A的度數(shù)；（2）求證：BC是O的切線；（3）求MD的長度分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出A的度數(shù)（2）要證BC是O的切線，只要證明ABBC即可（3）根據(jù)切線的性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)的知識求出MD的長度解答：（1）解：BOE=60°，A=BOE=30°（2）證明：在ABC中，cosC=，C=60°又A=30°，ABC=90°，ABBCBC是O的切線（3）解：點(diǎn)M是的中點(diǎn)，OMAE在RtABC中，BC=2，AB=BCtan60°=2×=6OA=3，OD=OA=，MD=點(diǎn)評：本題綜合考查了三角函數(shù)的知識、

3、切線的判定要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可4、如圖，已知RtABC和RtEBC，B=90°以邊AC上的點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的O與EC相切，D為切點(diǎn)，ADBC（1）用尺規(guī)確定并標(biāo)出圓心O；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）（2）求證：E=ACB；（3）若AD=1，求BC的長分析：（1）若O與EC相切，且切點(diǎn)為D，可過D作EC的垂線，此垂線與AC的交點(diǎn)即為所求的O點(diǎn)（2）由（1）知ODEC，則ODA、E同為ADE的余角，因此E=ODA=OAD，而ADBC，可得OAD=ACB，等量代換后即可證得E=ACB（3）由（2）證得E=ACB，即tan

4、E=tanDAC=，那么BC=AB；由于ADBC，易證得EADEBC，可用AB表示出AE、BC的長，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求出AB的長，進(jìn)而可得到BC的值解答：（1）解：（提示：O即為AD中垂線與AC的交點(diǎn)或過D點(diǎn)作EC的垂線與AC的交點(diǎn)等）（2）證明：連接ODADBC，B=90°，EAD=90°E+EDA=90°，即E=90°EDA又圓O與EC相切于D點(diǎn)，ODECEDA+ODA=90°，即ODA=90°EDAE=ODA；又OD=OA，DAC=ODA，DAC=E）ADBC，DAC=ACB，E=ACB（3）解：RtDEA中，ta

5、nE=，又tanE=tanDAC=，AD=1，EA= RtABC中，tanACB=，又DAC=ACB，tanACB=tanDAC=，可設(shè)AB=，BC=2x，ADBC，RtEADRtEBC =，即x=1，BC=2x=2 點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)等重要知識，能夠準(zhǔn)確的判斷出O點(diǎn)的位置，是解答此題的關(guān)鍵5、如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點(diǎn)D，DEAC，垂足為E（1）求證：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（2）判斷DE與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如果O的直徑為9，cosB=，求DE的長分析：（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易證

6、；（2）相切連接OD，證明ODDE即可根據(jù)三角形中位線定理證明；（3）由已知可求BD，即CD的長；又B=C，在CDE中求DE的長解答：（1）證明：連接ADAB為直徑，ADBCAB=AC，D是BC的中點(diǎn)；（2）DE是O的切線證明：連接ODBD=DC，OB=OA，ODACACDE，ODDEDE是O的切線（3）解：AB=9，cosB=，BD=3CD=3AB=AC，B=C，cosC=在CDE中，CE=1，DE=點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、解直角三角形等知識點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題，難度不大6、如圖以ABC的一邊AB為直徑作O，O與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作O的切線交AC邊于點(diǎn)E（1）求證：DEAC；

7、（2）若ABC=30°，求tanBCO的值分析：（1）連接OD，根據(jù)三角形的中位線定理可求出ODAC，根據(jù)切線的性質(zhì)可證明DEOD，進(jìn)而得證（2）過O作OFBD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義用OB表示出OF、CF的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解解答：（1）證明：連接ODO為AB中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，ODACDE為O的切線，DEODDEAC（2）解：過O作OFBD，則BF=FD在RtBFO中，B=30°，OF=OB，BF=OBBD=DC，BF=FD，F(xiàn)C=3BF=OB在RtOFC中，tanBCO=點(diǎn)評：本題比較復(fù)雜，綜合考查了三角形中位線定理及切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知

8、識點(diǎn)，有一定的綜合性7、如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBCO是CD邊的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點(diǎn)E過E作EHAB，垂足為H已知O與AB邊相切，切點(diǎn)為F（1）求證：OEAB；（2）求證：EH=AB；（3）若，求的值分析：（1）判斷出B=OEC，根據(jù)同位角相等得出OEAB；（2）連接OF，求出EH=OF=DC=AB（3）求出EHBDEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答解答：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，B=C，OE=OC，OEC=C，B=OEC，OEAB（2）證明：連接OFO與AB切于點(diǎn)F，OFAB，EHAB，OFEH，又OEAB，四邊形OEHF為平行四

9、邊形，EH=OF，OF=CD=AB，EH=AB（3）解：連接DECD是直徑，DEC=90°，則DEC=EHB，又B=C，EHBDEC，=，=，設(shè)BH=k，則BE=4k，EH=k，CD=2EH=2k，=點(diǎn)評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形、矩形解決有關(guān)問題8、如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12以BC為直徑作O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DFAC，垂足為F，交CB的延長線于點(diǎn)E（1）求證：直線EF是O的切線；（2）求sinE的值分析：（1）求證直線EF是O的切線，只要連接OD證明ODEF即可

10、；（2）根據(jù)E=CBG，可以把求sinE的值得問題轉(zhuǎn)化為求sinCBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求RtBCG中，兩邊的比的問題解答：（1）證明：方法1：連接OD、CDBC是直徑，CDABAC=BCD是AB的中點(diǎn)O為CB的中點(diǎn)，ODACDFAC，ODEFEF是O的切線方法2：因?yàn)锳C=BC，所以A=ABC，因?yàn)锳DF=EDB（對頂角），OB=OD，所以DBO=BDO，所以A+ADF=EDB+BDO=90°EF是O的切線（2）解：連BGBC是直徑，BGC=90°CD=8ABCD=2SABC=ACBG，BG=CG=BGAC，DFAC，BGEFE=CBG，sinE=sinCBG=點(diǎn)評：考查切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)，再證垂直即可9、如圖9，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交與B、C兩點(diǎn)，tanOCB=.（1） 求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；（2） 若點(diǎn)A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個(gè)動點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動過程中，試寫出AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3） 探索：1 當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到什么位置時(shí)，AOB的面積是；2 在成立的情況下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使POA是等腰三角形.若存在，請寫出滿足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.圖9【答案】解：（1