2017年高考第二輪復(fù)習(xí)(文數(shù))專題十二 直線與圓的方程

1、2017年高考第二輪復(fù)習(xí)（文數(shù)）專題十二 直線與圓的方程1(2013·廣東，7，易)垂直于直線yx1且與圓x2y21相切于第一象限的直線方程是()Axy0Bxy10Cxy10Dxy01A由題意可設(shè)圓的切線方程為yxm，因為與圓相切于第一象限，所以m>0且d1，故m，所以切線方程為xy0，故選A.2(2013·遼寧，9，中)已知點O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB為直角三角形，則必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|02C若OAB為直角三角形，則A90°或B90°.當(dāng)A90°時，有ba3；當(dāng)B90°時，

2、有·1，得ba3.故(ba3)0，選C.3(2014·四川，9，難)設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|PB|的取值范圍是()A，2B，2C，4D2，43B直線xmy0過定點A(0，0)，直線mxym30過定點B(1，3)當(dāng)m0時，過定點A的直線方程為x0，過定點B的直線方程為y3，兩條直線互相垂直，此時P(0，3)，|PA|PB|4.當(dāng)m0時，直線xmy0的斜率為，直線mxym30的斜率為m.×m1，兩條直線互相垂直，即點P可視為以AB為直徑的圓上的點當(dāng)點P與點A或點B重合時，|PA|PB|有最小值.當(dāng)點P

3、不與點A，點B重合時，如圖，PAB為直角三角形，且|PA|2|PB|2|AB|210.因為|PA|2|PB|22|PA|PB|，所以2(|PA|2|PB|2)(|PA|PB|)2，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時取等號，所以|PA|PB|2 2 ，|PA|PB|，2 綜合得|PA|PB|，2 4(2011·浙江，12，易)若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，則實數(shù)m_.4【解析】k1，k2，兩直線互相垂直，k1·k21，即·1，m1.【答案】15(2013·四川，15，難)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距

4、離之和最小的點的坐標(biāo)是_.5【解析】由已知得kAC2，kBD1，AC的方程為y22(x1)，即2xy0，BD的方程為y5(x1)，即xy60，聯(lián)立，解得直線AC與直線BD的交點為P(2，4)，此點即為所求點|PA|PB|PC|PD|AC|BD|，取異于P點的任一點P，|PA|PB|PC|PD|(|PA|PC|)(|PB|PD|)>|AC|BD|PA|PB|PC|PD|.故點P就是到A，B，C，D的距離之和最小的點【答案】(2，4)直線及其方程在高考中的地位相對較弱，通常與其他知識結(jié)合起來進行考查，有兩種常見方式：一是與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，求曲線的斜率、傾斜角和切線方程；二是與圓、圓錐曲線結(jié)合，考查

5、直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等求直線方程的一種重要方法是待定系數(shù)法，選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式對解題往往很重要 1(1)(2014·福建，6)已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則l的方程是()Axy20Bxy20Cxy30 Dxy30(2)(2015·山東理，9)一條光線從點(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或 B或C或 D或【解析】(1)已知圓的圓心為(0，3)，直線xy10的斜率為1，則所求直線的斜率為1.所以所求直線的方程為y3x0，即xy30.(2)由題知，反射線所在直線過點(2，3)

6、，設(shè)反射光線所在的直線方程為y3k(x2)，即kxy2k30.圓(x3)2(y2)21的圓心為(3，2)，半徑為1，且反射光線與該圓相切，1，化簡得12k225k120，解得k或k.故選D.【答案】(1)D(2)D 1.(2016·湖南長沙一模，5)過點(1，3)作直線l，若經(jīng)過點(a，0)和(0，b)，且aN*，bN*，則可作出的直線l的條數(shù)為()A1B2 C3D41B由題意得1，即(a1)(b3)3.又aN*，bN*，故有兩個解或2(2016·江西上饒模擬，13)設(shè)光線從點A(2，2)出發(fā)，經(jīng)過x軸反射后過點B(0，1)，則光線與x軸的交點坐標(biāo)為_2【解析】因為B(0，

7、1)關(guān)于x軸的對稱點為(0，1)，所以入射光線的方程為yx1.令y0，得x，即光線與x軸的交點坐標(biāo)為.【答案】3(2015·山東煙臺高三期中，17，12分)求適合下列條件的直線方程：(1)過點A(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的倍；(2)過點A(1，1)與已知直線l1：2xy60相交于點B且|AB|5.3解：(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意得k×3.又直線經(jīng)過點A(1，3)，所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.(2)方法一：過點A(1，1)與y軸平行的直線為x1.解方程組求得B點坐標(biāo)為(1，4)，此時|AB|5，即x1為所求直線方程設(shè)過A(1，1)且與y軸不平

8、行的直線為y1k(x1)，解方程組得兩直線交點為(k2，否則與已知直線平行)則B點坐標(biāo)為.由已知得52，解得k，直線方程為y1(x1)，即3x4y10.綜上可知，所求直線的方程為x1或3x4y10.方法二：設(shè)B(x0，62x0)，則|AB|5，5，(x01)2(72x0)225，即x6x050，x01或x05，B(1，4)或(5，4)，所求直線的方程為x1或3x4y10.,(1)由于所求直線過定點(0，3)，且與已知直線垂直，故采用點斜式求直線方程(2)由于入射光線與反射光線關(guān)于y軸對稱，則點(2，3)關(guān)于y軸的對稱點(2，3)在反射光線上，然后根據(jù)反射光線與圓的位置關(guān)系求解斜率求直線方程的方

9、法(1)直接法：根據(jù)已知條件，求出直線方程的確定條件，根據(jù)適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，直接寫出直線方程(2)待定系數(shù)法：其具體步驟為：設(shè)出直線方程的恰當(dāng)形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式)；根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組得到待定系數(shù)；寫出直線方程；驗證所得直線方程即為所求直線方程，如果有遺漏需要補加求斜率的常用方法(1)已知直線上兩點時，由斜率公式k(x1x2)來求斜率(2)已知傾斜角或的三角函數(shù)值時，由ktan (90°)來求斜率此類問題經(jīng)常與三角函數(shù)知識結(jié)合在一起，要注意三角函數(shù)公式的靈活運用(3)方程為AxByC0(B0)的直線的斜率為k.(4)

10、直線的方向向量a與斜率的關(guān)系：a(1，k)(0)直線的法向量n與一般式AxByC0(A2B20)的關(guān)系：n(A，B)(0)兩條不同的直線的位置關(guān)系有平行、相交(垂直是其中一種特殊情況)兩種情況，要求能根據(jù)直線方程判斷兩條直線的位置關(guān)系，利用兩條直線平行、垂直求其中一條直線的方程或參數(shù)的取值范圍，多以選擇題、填空題的形式命題，難度較易 2(1)(2012·浙江，4)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x2y40平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件(2)(2014·江蘇，11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y

11、ax2(a，b為常數(shù))過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_【解析】(1)若a1，則直線l1為x2y10，所以l1l2，反之，若l1l2，則，所以a1，故選C.(2)yax2的導(dǎo)數(shù)為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.【答案】(1)C(2)3 1.(2016·廣東廣州一模，4)直線x2y10關(guān)于直線x1對稱的直線方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y301D由題意得直線x2y10與直線x1的交點坐標(biāo)為(1，1)又直線x2y10上的點(1，0)，關(guān)于直線x1的對稱點為(3，0)，所以由直線方程的兩點式，得

12、，即x2y30.2(2016·安徽阜陽模擬，5)若動點A，B分別在直線l1：xy70和l2：xy50上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A3B2 C3D42A依題意知，AB的中點M的集合為與直線l1：xy70和l2：xy50距離相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離設(shè)點M所在直線的方程為l：xym0，根據(jù)平行線間的距離公式得，即|m7|m5|，解得m6，即l：xy60，根據(jù)點到直線的距離公式，得AB的中點M到原點的距離的最小值為3.,題(1)從正反兩個方面來檢驗兩直線平行；題(2)先求導(dǎo)數(shù)，即得曲線在點P(2，5)處的切線的斜率，再利用兩條直線平行的條件

13、，建立關(guān)于a，b的方程組求解兩直線的位置關(guān)系問題的解題策略(1)求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等且縱截距不相等”、“互為負倒數(shù)”若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究或直接用直線的一般式判斷(2)兩直線交點的求法：求兩直線的交點坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點即為交點(3)求與直線有關(guān)的距離：利用點到直線的距離公式時，需要先將直線方程化為一般式；利用平行線間的距離公式時，需要先將兩條平行線方程化為x，y的系數(shù)對應(yīng)相等的一般式1(2016·河北秦皇島一模，2)直線xy10的傾斜角是()A

14、. B. C. D.1D由直線的方程得直線的斜率為k，設(shè)傾斜角為，則tan ，又0，)，所以.2(2016·湖南常德一模，5)已知過點A(2，m)和點B(m，4)的直線為l1，直線2xy10為l2，直線xny10為l3.若l1l2，l2l3，則實數(shù)mn的值為()A10 B2 C0 D82Al1l2，kAB2，解得m8.又l2l3，×(2)1，解得n2，mn10.3(2015·河北衡水一模，5)已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()Ayx2 Byx2Cyx Dyx23A直線x2y40的斜率為，直線l在y軸上的截距為

15、2，直線l的方程為yx2，故選A.4(2016·山東濟南二模)若P(2，1)為圓(x1)2y225的弦AB的中點，則直線AB的方程為()Axy10 B2xy30Cxy30 D2xy504C圓(x1)2y225的圓心為(1，0)，直線AB的斜率等于1，由點斜式得到直線AB的方程為y1(x2)，即xy30，故選C.5(2016·湖南箴言中學(xué)模擬，5)若直線xcos ysin 10與圓(x1)2(ysin )2相切，且為銳角，則該直線的斜率是()A B C. D.5A由題意得，|cos2cos |，為銳角，則cos2cos ，cos ，故所求直線的斜率為tan ，故選A.6(20

16、15·安徽合肥一模，8)設(shè)兩條直線的方程分別為xya0，xyb0，已知a，b是方程x2xc0的兩個實根，且0c，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是()A.， B.， C.， D.，6D由題意得，ab1，abc，兩條直線之間的距離為d，又0c，故d，故最大值和最小值分別是，.7(2016·云南昆明一模，14)已知A，B兩點分別在兩條互相垂直的直線2xy0和xay0上，且線段AB的中點為P，則線段AB的長為_7【解析】依題意，得a2，P(0，5)，設(shè)A(x，2x)，B(2y，y)，故解得則A(4，8)，B(4，2)，|AB|10.【答案】108(2016·遼

17、寧沈陽一模，14)若直線l：1(a0，b0)經(jīng)過點(1，2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是_8【解析】直線l：1(a0，b0)經(jīng)過點(1，2)，1，ab(ab)332，當(dāng)且僅當(dāng)ba時上式等號成立直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值為32 .【答案】32 1(2016·山東，7，易)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離1B由題意知，圓M的圓心為(0，a)，半徑為a.圓M被直線xy0所截弦長為2，()2a2.a2.|MN|<12.圓M與圓N相交2(2

18、016·課標(biāo)，6，易)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()A BC. D22A考向2x2y22x8y130可化為(x1)2(y4)24，圓心為(1，4)由1，得a.3(2016·北京，5，易)圓(x1)2y22的圓心到直線yx3的距離為()A1 B2C. D23C考向2圓心(1，0)到直線xy30的距離為d.故選C.4(2015·安徽，8，易)直線3x4yb與圓x2y22x2y10相切，則b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或124D考向2由x2y22x2y10，得(x1)2(y1)21，即圓心坐標(biāo)為(1，1)，半徑為1

19、.根據(jù)直線與圓相切的幾何意義得1，b2或12.5(2014·湖南，6，易)若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m()A21 B19 C9 D115C圓C1的圓心C1(0，0)，半徑r11，圓C2的方程可化為(x3)2(y4)225m，所以圓心C2(3，4)，半徑r2.從而|C1C2|5.由兩圓外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9，故選C.6(2013·安徽，6，易)直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長為()A1 B2 C4 D46C考向2圓的方程可化為(x1)2(y2)25，則圓心(1，2)，半徑r，故圓心到直線的距離d1，所以弦長2

20、4.7(2013·重慶，4，易)設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動點，Q是直線x3上的動點，則|PQ|的最小值為()A6 B4 C3 D27B考向2當(dāng)PQ所在直線過圓心且垂直于直線x3時，|PQ|有最小值，且最小值為圓心(3，1)到直線x3的距離減去半徑2，即最小值為4，故選B.8(2012·陜西，6，易)已知圓C：x2y24x0，l是過點P(3，0)的直線，則()Al與C相交 Bl與C相切Cl與C相離 D以上三個選項均有可能8A考向2由x2y24x0，即(x2)2y24，可知圓心為(2，0)，半徑r2，點P到圓心距離d1<2，點P在圓內(nèi)，故直線與圓相交9(2014

21、·安徽，6，中)過點P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.9D考向2已知圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑r1，由題意知直線l斜率一定存在，設(shè)直線l方程為y1k(x)，即kxyk10.因為直線l與圓有公共點，所以圓心到直線的距離d1，平方得k2k0，所以0k.由斜率定義ktan ，知0.10(2016·浙江，10，易)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑是_10考向1【解析】方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，a2a2，a1或a2(舍)，圓的方程為x2y24x8y50.圓心坐標(biāo)

22、為(2，4)，半徑r5.【答案】(2，4)511(2016·天津，12，易)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_11考向1【解析】設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(a，0)，a>0，半徑為r，則.a>0，a2.r2(20)2(0)29，圓C的方程為(x2)2y29.【答案】(x2)2y2912(2016·課標(biāo)，15，中)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若|AB|2，則圓C的面積為_12考向1【解析】圓x2y22ay20可化為x2(ya)2a22，圓心為(0，a)由()2R2a22，得a2

23、2，所以SR24.【答案】413(2016·課標(biāo)，15，中)已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|_.13考向3【解析】如圖，yx2，kAC，ACD60°，過D作DEAC于E，則|DE|AB|.圓心到直線l的距離d3，r2d21293.|AB|212，則|AB|2.在RtDEC中，|CD|4.【答案】414(2015·山東，13，中)過點P(1，)作圓x2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則·_14考向2【解析】依題意，作出圖象如圖所示，則圓心O(0，0)，|PO|2.在RtBOP中，

24、|PO|2，|BO|1，則|BP|，sinBPO，BPO30°，同理|PA|，APO30°，·|·cosAPB()2×cos 60°.【答案】15(2015·湖北，16，中)如圖，已知圓C與x軸相切于點T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_；(2)圓C在點B處的切線在x軸上的截距為_15考向1，2【解析】(1)如圖，過C作CDy軸，則CD1.AB2，BD1，rBC，CTr，C(1，)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)22.(2)B(0，1)，kBC1，切線斜率k1.切線

25、方程為yx1，當(dāng)y0時，x1.【答案】(1)(x1)2(y)22(2)116(2013·湖北，14，中)已知圓O：x2y25，直線l：xcos ysin 1.設(shè)圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k，則k_.16考向2【解析】圓O的圓心(0，0)到直線l：xcos ysin 1的距離d1，而圓的半徑r，且rd11，圓O上在直線l的兩側(cè)各有兩點到直線l的距離等于1.故共有4個點，k4.【答案】417(2012·江西，14，中)過直線xy20上點P作圓x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點P的坐標(biāo)是_17考向2【解析】如圖所示，|OP|2，設(shè)P(x，y

26、)，則故P(，)【答案】(，)18(2013·江蘇，17，14分，中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0，3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍18考向1，3解：(1)由題意知，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3，2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過A(0，3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意得，1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.

27、設(shè)點M(x，y)，因為MA2MO，所以2，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.19(2013·四川，20，13分，難)已知圓C的方程為x2(y4)24，點O是坐標(biāo)原點直線l：ykx與圓C交于M，N兩點(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)Q(m，n)是線段MN上的點，且.請將n表示為m的函數(shù)19考向3解：(1)將ykx代入x2(y4)24，得(1k2)x28kx120.

28、(*)由(8k)24(1k2)×12>0，得k2>3，所以k的取值范圍是(，)(，)(2)因為M，N在直線l上，可設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1)，(x2，kx2)，則|OM|2(1k2)x，|ON|2(1k2)x.又|OQ|2m2n2(1k2)m2，由，得，即.由(*)式可知，x1x2，x1x2，所以m2.因為點Q在直線ykx上，所以k，代入m2中并化簡，得5n23m236.由m2及k2>3，可知0<m2<3，即m(，0)(0，)，根據(jù)題意知，點Q在圓C內(nèi)，則n>0，所以n.于是，n與m的函數(shù)關(guān)系為n(m(，0)(0，).圓的方程在高考中涉

29、及三個方面的應(yīng)用，一是利用直接法或待定系數(shù)法或動點軌跡確定圓的方程；二是利用圓的方程求圓心和半徑；三是圓的方程與其他知識結(jié)合起來進行綜合考查，常涉及到點到直線的最大或最小距離問題但不管是哪一方面，掌握圓的實質(zhì)內(nèi)涵“心定位，徑定大”是至關(guān)重要的 1(1)(2015·北京，2)圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是()A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22(2)(2014·北京，7)已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點A(m，0)，B(m，0)(m>0)若圓C上存在點P，使得APB90°，則m的最大值

30、為()A7 B6 C5 D4(3)(2015·江蘇，10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】(1)設(shè)半徑為r，則r2(10)2(10)22，圓心為(1，1)且過原點的圓的方程為(x1)2(y1)22.(2)由已知圓心C(3，4)，半徑r1，設(shè)圓上的點P(x0，y0)，則x0>0.A(m，0)，B(m，0)，m>0，(x0m，y0)，(x0m，y0)由已知APB90°，APBP，即，·0，(x0m)(x0m)y0.即m2xy，m>0，m，m表示的幾何意義為圓

31、C上的點P(x0，y0)到原點(0，0)的距離mmax|OC|r516.(3)由mxy2m10可得m(x2)y1，由mR知該直線過定點(2，1)，從而點(1，0)與直線mxy2m10的距離的最大值為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22.【答案】(1)D(2)B(3)(x1)2y22 1.(2015·湖南，8)已知點A，B，C在圓x2y21上運動，且ABBC.若點P的坐標(biāo)為(2，0)，則|的最大值為()A6B7C8D91B由題意ABBC，則AC為圓直徑，則2(O為圓心)，|2|，顯然當(dāng)P，O，B共線時模最大，|max7，故選B.2(2015·課標(biāo)，7)已知三點A(1，0)，

32、B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.2B圓心在線段BC的垂直平分線x1上，故設(shè)圓心為(1，b)又圓過A(1，0)，所以圓的半徑為b，故圓的方程為(x1)2(yb)2b2.代入點B的坐標(biāo)得1(b)2b2，解得b，故圓心到原點的距離為.3(2014·山東，14)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_3【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.由已知又圓心(a，b)到y(tǒng)軸、x軸的距離分別為|a|，|b|，所以|a|r，|b|23r2.綜上，解得a2，b1，r2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2

33、(y1)24.【答案】(x2)2(y1)24,(1)求出圓的半徑，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)利用向量知識，轉(zhuǎn)化為·0，結(jié)合關(guān)系式的幾何意義求解即可；(3)求出圓心到直線的距離的最大值即可，考慮到直線過定點，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離即為最大半徑用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟(1)選用圓的方程兩種形式中的一種，若知圓上三個點的坐標(biāo)，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標(biāo)軸間的關(guān)系，通常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)或a，b，r的方程組；(3)解方程組，求出D，E，F(xiàn)或a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求圓的方程確定圓心位置的方法(1)圓心在

34、過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線與圓上點(x，y)有關(guān)的最值問題的常見類型及解法(1)形如t形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題，即轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值；(2)形如taxby形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如t(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題直線與圓的位置關(guān)系通常用兩種方式表述，一是代數(shù)方式，即用直線與圓公共點的個數(shù)說明位置關(guān)系；二是幾何方式，即用圓心到直線的距離說明位置關(guān)系，在高考中也主要以這兩種方式進行考查直線與圓位

35、置關(guān)系的應(yīng)用涉及切線長和弦長，主要以圓心、半徑、勾股定理、點到直線的距離、弦心距公式等為基礎(chǔ)，所涉及的題目在高考中屬于中等難度 2(1)(2013·陜西，8)已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切B相交C相離 D不確定(2)(2013·山東理，9)過點(3，1)作圓(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30(3)(2015·湖南，13)若直線3x4y50與圓x2y2r2(r>0)相交于A，B兩點，且AOB120°(O為坐標(biāo)原點

36、)，則r_.【解析】(1)因為M(a，b)在圓x2y21外，所以a2b2>1.又因為圓心(0，0)到直線的距離d<1r，所以直線與圓相交(2)方法一：如圖，圓心坐標(biāo)為C(1，0)，易知A(1，1)又kAB·kPC1，且kPC，kAB2.故直線AB的方程y12(x1)，即2xy30.方法二：直線AB是以PC為直徑的圓(x2)2與圓(x1)2y21的公共弦所在直線，直線AB的方程為2xy30.方法三：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線PA的方程為(x11)(x1)y1y1，直線PB的方程為(x21)(x1)y2y1.又PA，PB都經(jīng)過P(3，1)，(x11)(31)

37、y1×11，(x21)(31)y2×11，由知(x1)(31)y×11經(jīng)過A(x1，y1)，B(x2，y2)，而過兩點的直線唯一，直線AB的方程為2xy30.(3)如圖因為AOB120°，所以60°.在RtAOD中，OA2ODr，又因為OD1，所以r2.【答案】(1)B(2)A(3)2 1.(2014·江蘇，9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_1【解析】由題意知圓(x2)2(y1)24的圓心為C(2，1)，半徑為r2，則點C到直線x2y30的距離d，故所求弦長為l22.【答案】2(201

38、4·大綱全國，15)直線l1和l2是圓x2y22的兩條切線若l1與l2的交點為(1，3)，則l1與l2的夾角的正切值等于_2【解析】如圖所示，|OA|.半徑為，|AB|2，tanOAB，所求夾角的正切值為tanCAB.【答案】3(2014·重慶，13)已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A，B兩點，且ABC為等邊三角形，則實數(shù)a_.3【解析】圓心C(1，a)到直線axy20的距離為.ABC為等邊三角形，|AB|BC|2，1222，解得a4±.【答案】4±,(1)利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系(2)思路一：結(jié)合圖形可知點

39、A的坐標(biāo)，再利用直線PC與直線AB垂直，求出直線AB的斜率，從而求出直線的方程；思路二：將問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交，即直線AB是以PC為直徑的圓與已知圓的公共弦所在直線，將兩圓方程相減即可得直線AB的方程；思路三：設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由直線PA，PB均過P(3，1)，得出滿足A，B的方程(3)結(jié)合圖形分析，可知AOD等于60°，從而半徑為點O到直線AB 距離的二倍，由點到直線的距離公式求出OD的長，再求半徑判斷直線與圓位置關(guān)系的注意問題若圓方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法過一點求圓的切線的方法(1)過圓上一點(x0，y

40、0)的圓的切線方程的求法先求切點與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為，由點斜式方程可求切線方程若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程xx0.(2)過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，切線方程為yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程當(dāng)斜率不存在時要加以驗證直線與圓的綜合問題在高考中出現(xiàn)的頻率不高，主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運算量較大，對邏輯推理能力的要求較高 3(2015·課標(biāo)，20，12分)已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(1)求k的取值范圍

41、；(2)若·12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|.【解析】(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1.因為l與C交于兩點，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以直線l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2. (2014·課標(biāo)，20，12分)已知點P(2，2)，圓C：x2y28y0，過點P的動直線l與圓C交于A

42、，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|OM|時，求l的方程及POM的面積思路點撥：(1)利用圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為·0求解；(2)主要是將|OP|OM|轉(zhuǎn)化為O在線段PM的垂直平分線上解：(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則(x，y4)，(2x，2y)由題設(shè)知·0，即x(2x)(y4)(2y)0，(x1)2(y3)22.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，為半徑的圓由于|OP|OM|，故O在線段PM的

43、垂直平分線上又P在圓N上，從而ONPM.因為直線ON的斜率為3，所以l的斜率為，故l的方程為yx.又|OM|OP|2，O到l的距離為，|PM|，所以POM的面積為.(1)直線與圓位置關(guān)系的判斷有兩種方法，即幾何法和代數(shù)法，結(jié)合本例條件可選擇用幾何法求解(2)整體思路：欲求|MN|，需知道直線l的斜率，結(jié)合條件中·12，可借助向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立關(guān)于k的方程求解具體措施：設(shè)出點M，N的坐標(biāo)，將直線方程代入圓的方程，消元，借助根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和及兩根之積后代入向量數(shù)量積運算式求出斜率k，從而得到直線方程，發(fā)現(xiàn)直線過圓心，因而求得線段MN的長度直線與圓綜合問題的求解策略(1)

44、利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計算，使問題得到解決(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放到一起綜合考慮.1(2016·黑龍江鶴崗一模，4)經(jīng)過點(1，0)，且圓心是兩直線x1與xy2的交點的圓的方程為()A(x1)2y21 B(x1)2(y1)21Cx2(y1)21 D(x1)2(y1)221B考向1由得即所求圓的圓心坐標(biāo)為(1，1)，又由該圓過點(1，0)，得其半徑為1，故圓的方程為(x1)2(y1)21.2(2

45、016·河北邯鄲模擬，5)由直線yx1上的一點向圓x26xy280引切線，則切線長的最小值為()A1 B2 C. D32C考向2切線長的最小值在直線yx1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3，0)到直線的距離為d2，圓的半徑為1，故切線長的最小值為.3(2016·河南鶴壁一模，5)垂直于直線yx1且與圓x2y21相切于第一象限的直線方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy03A考向2與直線yx1垂直的直線方程可設(shè)為xyb0，由xyb0與圓x2y21相切，所以1，故b±.因為直線與圓相切于第一象限，故結(jié)合圖形知b，所以所求直線方程為xy0.4(2016

46、83;河北邯鄲一模，7)已知在圓x2y24x2y0內(nèi)，過點E(1，0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A3 B6 C4 D24D考向3由題意可知圓是以(2，1)為圓心，為半徑的圓，點E在圓內(nèi)，顯然當(dāng)弦AC為直徑時最長且為2，BD與AC垂直時其長最短為2，所以四邊形ABCD的面積為S×2×22 .故選D.5(2016·湖南長沙二模，13)已知圓C：(x1)2y28，若點Q(x，y)是圓C上一點，則xy的取值范圍為_5考向2【解析】設(shè)xyt，因為Q(x，y)是圓上的任意一點，所以該直線與圓相交或相切，即2，所以5t3，即xy的取值范圍為5

47、，3【答案】5，36(2016·山東濟寧一模，14)當(dāng)方程x2y2kx2yk20所表示的圓的面積取最大值時，直線y(k1)x2的傾斜角_.6考向1【解析】由題意知，圓的半徑r1，當(dāng)半徑r取最大值時，圓的面積最大，此時k0，r1，所以直線方程為yx2，則tan 1，又0，)，故.【答案】7(2016·遼寧阜新一模，15)過點(1，)的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k_.7考向2【解析】由(12)2()234，知點(1，)在圓(x2)2y24的內(nèi)部，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l交圓的弦長最短，此時圓心(2，0)與點(1，)的連線

48、垂直于直線l，由知，所求直線l的斜率k.【答案】8(2016·湖南箴言中學(xué)三模，18，12分)已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圓，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線x2y40相交于M，N兩點，且OMON(O為坐標(biāo)原點)，求m的值；(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程8考向1，3解：(1)由D2E24F0得(2)2(4)24m0，解得m5.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2y40得x42y.將x42y代入x2y22x4ym0得5y216y8m0，y1y2，y1y2.OMON，·1，即x1x2y1y20.x1x2(42y1

49、)(42y2)168(y1y2)4y1y2，x1x2y1y2168(y1y2)5y1y20，即(8m)8×160，解得m.(3)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，則a(x1x2)，b(y1y2)，半徑r|OC|，所求圓的方程為.9(2015·廣東十校聯(lián)考，19，12分)已知圓x2y22ax2ay2a24a0(0<a4)的圓心為C，直線l：yxm.(1)若m4，求直線l被圓C所截得弦長的最大值；(2)若直線l是圓心C下方的切線，當(dāng)a在(0，4上變化時，求m的取值范圍9考向2，3解：(1)x2y22ax2ay2a24a0，(xa)2(ya)24a.圓心為C(a，a)，半徑為r2.設(shè)直線l被圓C所截得的弦長為2t，圓心C到直線l的距離為d，當(dāng)m4時，圓心C到直線l的距離為d|a2|，t2(2)22(a2)22a212a82(a3)210.又0<a4，當(dāng)a3時，直線l被圓C所截得弦長的值最大，其最大值為2.(2)圓心C到直線l的距離為d|m2a|.直線l是圓C的切線，dr，即|m2a|2，m2a±2.直線l在圓心C的下方，m2a2(1)21.a(0，4，m1，84一