系統(tǒng)仿真技術(shù)Chapter2經(jīng)典的連續(xù)系統(tǒng)仿真建模方法學(xué)ppt課件

1、控制系統(tǒng)仿真技術(shù)控制系統(tǒng)仿真技術(shù)盛盛 立立victory8209sina中國石油大學(xué)自動(dòng)化系中國石油大學(xué)自動(dòng)化系Chapter 2 第2章經(jīng)典的連續(xù)系統(tǒng)仿真建模方法學(xué) 對(duì)下面的控制系統(tǒng)描述，需要放在計(jì)算機(jī)上求解對(duì)下面的控制系統(tǒng)描述，需要放在計(jì)算機(jī)上求解常微分方程常微分方程 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述 11201112112nnnnnnnnnnnd ydydyduduaaaa yccc udtdtdtdtdt121211011( )( )( )nnnnnnnnc sc scscY sG sU sa sa sasaBUAXXCXY方法一：方法一：ODE23,ODE45可解一階微分方程

2、組，可解一階微分方程組， 狀態(tài)空間描述是一階微分方程組狀態(tài)空間描述是一階微分方程組常微分方程，傳遞函數(shù)常微分方程，傳遞函數(shù) 狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式求解？求解？ ODE23,ODE45可解一階微分方程組，可解一階微分方程組，原理是什么？原理是什么？對(duì)下面的控制系統(tǒng)描述，需要放在計(jì)算機(jī)上求解對(duì)下面的控制系統(tǒng)描述，需要放在計(jì)算機(jī)上求解常微分方程常微分方程 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述 BUAXXCXY方法一：方法一：ODE23,ODE45可解一階微分方程組，可解一階微分方程組， 狀態(tài)空間描述是一階微分方程組狀態(tài)空間描述是一階微分方程組常微分方程，傳遞函數(shù)常微分方程，傳遞函數(shù) 狀態(tài)空

3、間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式原理原理: 一階微分方程線性，非一階微分方程線性，非線性數(shù)值求解方法線性數(shù)值求解方法11201112112nnnnnnnnnnnd ydydyduduaaaa yccc udtdtdtdtdt121211011( )( )( )nnnnnnnnc sc scscY sG sU sa sa sasa 數(shù)數(shù)值值求求解解方方法法 歐拉法歐拉法 梯形法梯形法 龍格庫塔法龍格庫塔法RK2RK42.1 離散化原理及要求離散化原理及要求 p問題：數(shù)字計(jì)算機(jī)在數(shù)值及時(shí)間上的離散性問題：數(shù)字計(jì)算機(jī)在數(shù)值及時(shí)間上的離散性-被仿真系統(tǒng)數(shù)值及時(shí)間上的連續(xù)性被仿真系統(tǒng)數(shù)值及時(shí)間上的連續(xù)性?p連續(xù)系

4、統(tǒng)的仿真，從本質(zhì)上：對(duì)原連續(xù)系統(tǒng)從時(shí)連續(xù)系統(tǒng)的仿真，從本質(zhì)上：對(duì)原連續(xù)系統(tǒng)從時(shí)間、數(shù)值兩個(gè)方面對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行離散化并選擇合間、數(shù)值兩個(gè)方面對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行離散化并選擇合適的數(shù)值計(jì)算方法來近似積分運(yùn)算適的數(shù)值計(jì)算方法來近似積分運(yùn)算 p 離散模型離散模型原連續(xù)模型？原連續(xù)模型？ 相似原理相似原理 p設(shè)系統(tǒng)模型為：設(shè)系統(tǒng)模型為： ，其中，其中u(t)為輸為輸入變量，入變量，y(t)為系統(tǒng)變量；令仿真時(shí)間間隔為為系統(tǒng)變量；令仿真時(shí)間間隔為h，離散化后的輸入變量為，離散化后的輸入變量為 ，系統(tǒng)變量為，系統(tǒng)變量為 ，其中，其中 表示表示t=nh。p假如假如 , 且且p即即 , p（對(duì)所有（對(duì)所有n=0,1,2,

5、） ,則可認(rèn)為兩模型等價(jià)則可認(rèn)為兩模型等價(jià)。 ),(tuyfy )( ntu)( ntynt)()( nntutu)()( nntyty0)()( )(nnnututute0)()( )(nnnytytyteu(t)h y(t) -+圖圖2.1 2.1 相似原理相似原理原連續(xù)模型 ),(tuyfy 仿真模型 ), , (ntuyfy )( nty0)(nyte)( ntu相似原理相似原理 對(duì)仿真建模方法三個(gè)基本要求對(duì)仿真建模方法三個(gè)基本要求 p（1穩(wěn)定性：若原連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化后得到穩(wěn)定性：若原連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化后得到的仿真模型也應(yīng)是穩(wěn)定的。的仿真模型也應(yīng)是穩(wěn)定的。 p（2準(zhǔn)確

6、性：有不同的準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，最基本的準(zhǔn)則準(zhǔn)確性：有不同的準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，最基本的準(zhǔn)則是：是： p絕對(duì)誤差準(zhǔn)則：絕對(duì)誤差準(zhǔn)則： p相對(duì)誤差準(zhǔn)則：相對(duì)誤差準(zhǔn)則： p 其中其中 規(guī)定精度的誤差量。規(guī)定精度的誤差量。 )()( )(nnnytytyte)( )()( )(nnnnytytytytep（3快速性：若第快速性：若第k步計(jì)算對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)時(shí)間間隔步計(jì)算對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)時(shí)間間隔為為 計(jì)算機(jī)由計(jì)算需要的時(shí)間為計(jì)算機(jī)由計(jì)算需要的時(shí)間為 ，假，假設(shè)設(shè) Tn=hn 稱為實(shí)時(shí)仿真，稱為實(shí)時(shí)仿真，Tnhn稱為超實(shí)稱為超實(shí)時(shí)仿真時(shí)仿真, Tnhn 稱為亞實(shí)時(shí)仿真。稱為亞實(shí)時(shí)仿真。1,nnnhttnT,nnTh,nnT

7、h,nnTh 系統(tǒng)仿真中最常用、最基本的求解常微系統(tǒng)仿真中最常用、最基本的求解常微分方程數(shù)值解的方法主要是數(shù)值積分法。分方程數(shù)值解的方法主要是數(shù)值積分法。 設(shè)系統(tǒng)常微分方程為：設(shè)系統(tǒng)常微分方程為： （2-1） 為包含有時(shí)間為包含有時(shí)間t和函數(shù)和函數(shù)y的表達(dá)式，的表達(dá)式，y0為函數(shù)為函數(shù)y在初始時(shí)刻在初始時(shí)刻t0時(shí)的對(duì)應(yīng)初值。我時(shí)的對(duì)應(yīng)初值。我們將求解方程們將求解方程2-1中函數(shù)中函數(shù) 的問題稱為的問題稱為常微分方程數(shù)值求解問題。常微分方程數(shù)值求解問題。00)(),(ytyytfdtdy),( ytf)(ty2.2 數(shù)值積分法數(shù)值積分法 1歐拉公式的推導(dǎo) 將2-1式在小區(qū)間上進(jìn)行積分可得： 1)

8、,(1kkttkkdtytfyy),(),(1kkttythfdtytfkk其幾何意義是把 ),( ytf在,1kktt 區(qū)間內(nèi)的曲邊面積用矩形面積近似代替，如圖2-1所示。 2.2.1 歐拉法歐拉法Euler00)(),(ytyytfdtdy1),(1kkttkkdtytfyytf(t,y)0fktktk+1h圖2-1 歐拉法數(shù)值積分 歐拉法歐拉法Euler當(dāng)h很小時(shí)，可以認(rèn)為造成的誤差是允許的。所以有：),(1kkkkythfyy稱之為歐拉公式。 p截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于 h2歐拉歐拉Euler公式：公式：),(1kkkkythfyy00)(ytyp截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于 h2

9、2 . 歐拉法具備以下特點(diǎn)：歐拉法具備以下特點(diǎn)：（1歐拉法實(shí)際上是采用折線代替了實(shí)際曲線，也稱之為歐拉法實(shí)際上是采用折線代替了實(shí)際曲線，也稱之為折線法。折線法。（2歐拉法計(jì)算簡單，容易實(shí)現(xiàn)。由前一點(diǎn)值僅一步遞推歐拉法計(jì)算簡單，容易實(shí)現(xiàn)。由前一點(diǎn)值僅一步遞推就可以求出后一點(diǎn)值，所以稱為單步法。就可以求出后一點(diǎn)值，所以稱為單步法。（3歐拉法計(jì)算只要給定初始值，即可開始進(jìn)行遞推運(yùn)算，歐拉法計(jì)算只要給定初始值，即可開始進(jìn)行遞推運(yùn)算，不需要其它信息，因此它屬于自啟動(dòng)模式。不需要其它信息，因此它屬于自啟動(dòng)模式。（4歐拉法是一種近似的處理，存在計(jì)算誤差，所以系統(tǒng)歐拉法是一種近似的處理，存在計(jì)算誤差，所以系統(tǒng)

10、的計(jì)算精度較低。的計(jì)算精度較低。 歐拉法歐拉法Euler 數(shù)數(shù)值值求求解解方方法法 歐拉法歐拉法 梯形法梯形法 龍格庫塔法龍格庫塔法RK2RK4p截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于 h21梯形公式 為了彌補(bǔ)歐拉法計(jì)算精度較低的不足，可以采用梯形面積公式來代替曲線下的定積分計(jì)算，如圖2-2所示。 依然對(duì)式2-1進(jìn)行求解，采用梯形法作相應(yīng)近似處理之后，其輸出為： ),(),(2111kkkkkkytfytfhyy 稱為梯形積分公式 。2.2.2 梯形法梯形法tf(t,y)0fktktk+1hfk+1圖2-2 梯形法數(shù)值積分 梯形法梯形法 從中可以看到，在計(jì)算 時(shí)，其右端函數(shù)中也含有 ，這種公式稱為隱式公

11、式，不能靠自身解決，需要采用迭代方法來啟動(dòng)，稱之為多步法。可以先采用歐拉公式進(jìn)行預(yù)報(bào)，再利用梯形公式進(jìn)行校正。即梯形法的預(yù)報(bào)校正公式 ： 1ky1ky),(),(21),(1)0(111)0(kkkkkkkkkkytfytfhyyythfyy梯形法梯形法2. 梯形法具備以下特點(diǎn)：梯形法具備以下特點(diǎn)：（1采用梯形代替歐拉法的矩形來計(jì)算積分面積，其計(jì)采用梯形代替歐拉法的矩形來計(jì)算積分面積，其計(jì)算精度要高于歐拉法。算精度要高于歐拉法。（2采用預(yù)報(bào)采用預(yù)報(bào)校正公式，每求一個(gè)校正公式，每求一個(gè) ，計(jì)算量要比歐，計(jì)算量要比歐拉法多一倍。因此計(jì)算速度較慢。拉法多一倍。因此計(jì)算速度較慢。（3梯形公式中的右端函

12、數(shù)含有未知數(shù)，不能直接計(jì)算梯形公式中的右端函數(shù)含有未知數(shù)，不能直接計(jì)算左端的變量值，這是一種隱式處理，要利用迭代法求解。左端的變量值，這是一種隱式處理，要利用迭代法求解。即梯形法不能自啟動(dòng)，要靠多步法來實(shí)現(xiàn)計(jì)算。即梯形法不能自啟動(dòng)，要靠多步法來實(shí)現(xiàn)計(jì)算。ky梯形法梯形法 數(shù)數(shù)值值求求解解方方法法 歐拉法歐拉法 梯形法梯形法 龍格庫塔法龍格庫塔法RK2RK4截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于 ，記為，記為 h2)(2hO截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于 ，記為，記為 3h)(3hO歐拉歐拉Euler公式：公式：),(1kkkkythfyy00)(ytyp截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于 h2),(),(21)

13、,(1)0(111)0(kkkkkkkkkkytfytfhyyythfyy梯形法公式梯形法公式p截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于 3h2.2.3 龍格庫塔法龍格庫塔法 1 龍格龍格-庫塔法基本原理庫塔法基本原理 對(duì)對(duì) 的數(shù)值求解：稱作的數(shù)值求解：稱作“右端函數(shù)計(jì)算問題。右端函數(shù)計(jì)算問題。 將將 在在 附近展開附近展開Taylor級(jí)數(shù)，只保留級(jí)數(shù)，只保留 項(xiàng)，則有項(xiàng)，則有：1),()()(1nnttnndtytftyty)(nntyy 1),(QnnttndtytfnnnnyytyQ)(11nQt0h2200010)(21),(htfdtdyyfhytfyyt若令：若令：則有則有 00)(),(yt

14、yytfdtdy1y 假設(shè)這個(gè)解可以寫成如下形式：假設(shè)這個(gè)解可以寫成如下形式： 其中其中 對(duì)對(duì) 式右端的函數(shù)展成式右端的函數(shù)展成Taylor級(jí)數(shù)，保留級(jí)數(shù)，保留h項(xiàng)，項(xiàng)，可得：可得： 代入，則有：代入，則有： yya ka kh101122(),(001ytfk kf tb hyb k h201021()，k2hyfkbtfbytfkt0)(),(121002)(),(),(012100200101hyfkbtfbytfhaythfayyt200010)(21),(htfdtdyyfhytfyyt200010)(21),(htfdtdyyfhytfyyt龍格龍格-庫塔法基本原理續(xù)）庫塔法基本原

15、理續(xù)） 進(jìn)行比較，可得：進(jìn)行比較，可得： 四個(gè)未知數(shù)四個(gè)未知數(shù) 但只有三個(gè)方程但只有三個(gè)方程，因此有無窮多個(gè)解。，因此有無窮多個(gè)解。 若限定若限定 ，那么，那么 計(jì)算公式：計(jì)算公式： 其中其中 aaa ba b122 12 211 21 2+=,/ ,/ ，2121bbaaaa12aabb1212121，)(22101kkhyy)(),(1002001hkyhtfkytfk，龍格龍格-庫塔法基本原理續(xù)）庫塔法基本原理續(xù)）若寫成一般遞推形式，即為：若寫成一般遞推形式，即為： 其中其中截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于h3，稱為二階龍格，稱為二階龍格-庫塔法簡稱庫塔法簡稱RK-2）。）。 )(2)(21

16、11kkhyytynnn),(),(121hkyhtfkytfknnnn，二階龍格二階龍格-庫塔公式庫塔公式)(2)(2111kkhyytynnn),(),(121hkyhtfkytfknnnn四階龍格庫塔公式 ：),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhtfkkhyhtfkkhyhtfkytfkkkkkhyykkkkkkkkkk四階龍格四階龍格庫塔庫塔RungeKutta法法p截?cái)嗾`差正比于截?cái)嗾`差正比于 5h（1為單步法，并且可自啟動(dòng)。為單步法，并且可自啟動(dòng)。（2改變仿真步長比較方便，可根據(jù)精度要求而定。改變仿真步長比較方便，可根據(jù)精度要求而定。（3仿真計(jì)算

17、量與仿真步長仿真計(jì)算量與仿真步長h的大小密切相關(guān)，的大小密切相關(guān)，h值越值越小計(jì)算精度越高，但所需仿真時(shí)間也就越長。小計(jì)算精度越高，但所需仿真時(shí)間也就越長。（4用泰勒級(jí)數(shù)展開龍格庫塔法計(jì)算公式時(shí)，只取用泰勒級(jí)數(shù)展開龍格庫塔法計(jì)算公式時(shí)，只取h的一次項(xiàng)，即為歐拉法計(jì)算公式；若取到的一次項(xiàng)，即為歐拉法計(jì)算公式；若取到h2項(xiàng)，則為項(xiàng)，則為二階龍格庫塔法計(jì)算公式；若取到二階龍格庫塔法計(jì)算公式；若取到h4項(xiàng)，則為四階項(xiàng)，則為四階龍格庫塔法計(jì)算公式。龍格庫塔法計(jì)算公式。 龍格庫塔法特點(diǎn)龍格庫塔法特點(diǎn) 【例2.1】 已知一階系統(tǒng)的微分方程為： ，初始條件 ，取仿真步長h=0.1，分別用歐拉法、梯形法和龍格庫

18、塔法計(jì)算該系統(tǒng)仿真第一步的值。102ydtdy1)(00 yty解：原方程可變?yōu)? ),(210kkytfydtdy即 1210),(0yyytfkkk2.2.4 數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 （1用歐拉法計(jì)算 根據(jù)歐拉公式，將函數(shù)表達(dá)式及其初始值代入后，可得該系統(tǒng)仿真第一步的值：8 .1)1210(1 .01),(0001ythfyy數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 ),(1kkkkythfyy（2用梯形法計(jì)算： 根據(jù)預(yù)報(bào)校正公式，將函數(shù)表達(dá)式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。 用預(yù)報(bào)公式求起始值：8 . 1) 1210(1 . 01),(0001)0(ythfyy數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)

19、值積分公式應(yīng)用 ),(),(21),(1)0(111)0(kkkkkkkkkkytfytfhyyythfyy再用校正公式得到系統(tǒng)仿真第一步的值：72. 1)8 . 1210() 1210(1 . 0211),(),(211)0(10001ytfytfhyy數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 二階龍格二階龍格-庫塔公式庫塔公式)(2)(2111kkhyytynnn),(),(121hkyhtfkytfknnnn（3用二階龍格庫塔法計(jì)算 根據(jù)公式先計(jì)算出兩個(gè)系數(shù)，再計(jì)算仿真第一步的值： 812100),(001yytfk4 . 6)81 . 01 (210)(210),(101002hkyhkyht

20、fk數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 則系統(tǒng)仿真第一步的值為：72. 1)4 . 68(1 . 0211)(22101kkhyy數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 （4用四階龍格庫塔公式計(jì)算根據(jù)公式先計(jì)算出4個(gè)系數(shù)，再計(jì)算仿真第一步的值： 81210210),(0001yytfk2 . 7)81 . 0211 (210)2(210)2,2(101002khykhyhtfk數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 ),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhtfkkhyhtfkkhyhtfkytfkkkkkhyykkkkkkkkkk四階龍格四階龍格庫塔庫塔RungeKutta

21、法法5h28. 7)2 . 71 . 0211 (210)2(210)2,2(202003khykhyhtfk544. 6)28. 71 . 01 (210)(210),(303004hkyhkyhtfk數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 則系統(tǒng)仿真第一步的值為：725067. 1)544. 628. 722 . 728(1 . 0611)22(6432101kkkkhyy數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 從上述結(jié)果可以看出從上述結(jié)果可以看出: 對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算時(shí)，其值的精度是隨對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算時(shí)，其值的精度是隨著數(shù)值積分公式的變化而改變的，其中歐拉法計(jì)算精著數(shù)值積分公式的變

22、化而改變的，其中歐拉法計(jì)算精度最低，其次為梯形法和二階龍格度最低，其次為梯形法和二階龍格庫塔法，四階龍庫塔法，四階龍格格庫塔法計(jì)算精度最高。庫塔法計(jì)算精度最高。數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 數(shù)值積分公式在狀態(tài)方程中應(yīng)用數(shù)值積分公式在狀態(tài)方程中應(yīng)用 )22(6),()2,2()2,2()(),(432113423121kkkkhxxhkxhtfkkhxhtfkkhxhtfktBuAxxxtfkkkkkkkkkkkkk11kkCxyCxyBAxtxfxu),(2.3.1 仿真精度與系統(tǒng)穩(wěn)定性仿真精度與系統(tǒng)穩(wěn)定性1. 仿真過程的誤差仿真過程的誤差（1初始誤差初始誤差:現(xiàn)場(chǎng)采集數(shù)據(jù)不一定很準(zhǔn)，會(huì)造

23、成仿真過程現(xiàn)場(chǎng)采集數(shù)據(jù)不一定很準(zhǔn)，會(huì)造成仿真過程中產(chǎn)生誤差，稱為初始誤差。應(yīng)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的檢測(cè)，中產(chǎn)生誤差，稱為初始誤差。應(yīng)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的檢測(cè)，也可多次采集，以其平均值作為參考初始數(shù)據(jù)。也可多次采集，以其平均值作為參考初始數(shù)據(jù)。（2舍入誤差舍入誤差:由于不同檔次的計(jì)算機(jī)其計(jì)算結(jié)果的有效值由于不同檔次的計(jì)算機(jī)其計(jì)算結(jié)果的有效值不一致，導(dǎo)致仿真過程出現(xiàn)舍入誤差。不一致，導(dǎo)致仿真過程出現(xiàn)舍入誤差。 應(yīng)選擇擋次高的計(jì)算應(yīng)選擇擋次高的計(jì)算機(jī)，其字長越長，仿真數(shù)值結(jié)果尾數(shù)的舍入誤差就越小。機(jī)，其字長越長，仿真數(shù)值結(jié)果尾數(shù)的舍入誤差就越小。（3截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差:仿真步距確定后，數(shù)值積分公式的階次

24、將導(dǎo)仿真步距確定后，數(shù)值積分公式的階次將導(dǎo)致系統(tǒng)仿真時(shí)產(chǎn)生截?cái)嗾`差，階次越高，截?cái)嗾`差越小。仿致系統(tǒng)仿真時(shí)產(chǎn)生截?cái)嗾`差，階次越高，截?cái)嗾`差越小。仿真時(shí)多采用四階龍格真時(shí)多采用四階龍格庫塔法，其截?cái)嗾`差較小。庫塔法，其截?cái)嗾`差較小。2.3 數(shù)值積分法性能分析數(shù)值積分法性能分析 2. 仿真過程的穩(wěn)定性仿真過程的穩(wěn)定性 計(jì)算結(jié)果對(duì)系統(tǒng)仿真的計(jì)算誤差反應(yīng)不敏感，稱之為算計(jì)算結(jié)果對(duì)系統(tǒng)仿真的計(jì)算誤差反應(yīng)不敏感，稱之為算法穩(wěn)定，否則稱算法不穩(wěn)定。對(duì)于不穩(wěn)定的算法，誤差會(huì)不法穩(wěn)定，否則稱算法不穩(wěn)定。對(duì)于不穩(wěn)定的算法，誤差會(huì)不斷積累，最終可能導(dǎo)致仿真計(jì)算達(dá)不到系統(tǒng)要求而失敗。斷積累，最終可能導(dǎo)致仿真計(jì)算達(dá)不到

25、系統(tǒng)要求而失敗。（1系統(tǒng)的穩(wěn)定性與仿真步長的關(guān)系系統(tǒng)的穩(wěn)定性與仿真步長的關(guān)系 一個(gè)數(shù)值解是否穩(wěn)定，取決于該系統(tǒng)微分方程的特征根一個(gè)數(shù)值解是否穩(wěn)定，取決于該系統(tǒng)微分方程的特征根是否滿足穩(wěn)定性要求，而不同的數(shù)值積分公式具有不同的穩(wěn)是否滿足穩(wěn)定性要求，而不同的數(shù)值積分公式具有不同的穩(wěn)定區(qū)域，在仿真時(shí)要保證穩(wěn)定就要合理選擇仿真步長，使微定區(qū)域，在仿真時(shí)要保證穩(wěn)定就要合理選擇仿真步長，使微分方程的解處于穩(wěn)定區(qū)域之中。分方程的解處于穩(wěn)定區(qū)域之中。數(shù)值積分法性能分析數(shù)值積分法性能分析 （2積分步長的選擇積分步長的選擇 由于積分步長直接與系統(tǒng)的仿真精度和穩(wěn)定性密由于積分步長直接與系統(tǒng)的仿真精度和穩(wěn)定性密切相關(guān)

26、，所以應(yīng)合理地選擇積分步長切相關(guān)，所以應(yīng)合理地選擇積分步長h的值。的值。 通常遵循兩個(gè)原則：通常遵循兩個(gè)原則：使仿真系統(tǒng)的算法穩(wěn)定。使仿真系統(tǒng)的算法穩(wěn)定。使仿真系統(tǒng)具備一定的計(jì)算精度。使仿真系統(tǒng)具備一定的計(jì)算精度。 一般掌握的原則是：在保證計(jì)算穩(wěn)定性及計(jì)算精一般掌握的原則是：在保證計(jì)算穩(wěn)定性及計(jì)算精度的要求下，盡可能選較大的仿真步長。度的要求下，盡可能選較大的仿真步長。數(shù)值積分法性能分析數(shù)值積分法性能分析 由于工程系統(tǒng)的仿真處理采用四階龍格由于工程系統(tǒng)的仿真處理采用四階龍格庫塔法居多，庫塔法居多，所以選擇仿真積分步長可參考以下公式：所以選擇仿真積分步長可參考以下公式： 時(shí)域內(nèi)：時(shí)域內(nèi)： ；其中

27、；其中ts 為系統(tǒng)過渡過程調(diào)節(jié)時(shí)間為系統(tǒng)過渡過程調(diào)節(jié)時(shí)間 頻域內(nèi)：頻域內(nèi)： ；其中；其中 為系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率為系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率40sth ch51c數(shù)值積分法性能分析數(shù)值積分法性能分析 3.速度與精度速度與精度 四階方法的四階方法的h可以比二階方法的可以比二階方法的h大大10倍，每步計(jì)算倍，每步計(jì)算量僅比二階方法大一倍量僅比二階方法大一倍 高于四階的方法由于每步計(jì)算量將增加較多，而精高于四階的方法由于每步計(jì)算量將增加較多，而精度提高不快。度提高不快。 數(shù)值積分法性能分析數(shù)值積分法性能分析 仿真步長與穩(wěn)定性關(guān)系仿真步長與穩(wěn)定性關(guān)系2.4 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 p仿真方法選擇的基本要求：仿真計(jì)算不改變?cè)到y(tǒng)仿真方法選擇的基本要求：仿真計(jì)算不改變?cè)到y(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。的絕對(duì)穩(wěn)定性。p原系統(tǒng)是穩(wěn)定的。觀察歐拉法仿真遞推公式原系統(tǒng)是穩(wěn)定的。觀察歐拉法仿真遞推公式p故有故有 (i)p p yn (n=0,1,2,)為它的一個(gè)仿真解，為它的一個(gè)仿真解， iydtdy,/Re 0),(1nnnnythfyynnnyhyy1穩(wěn)定性分析續(xù)）穩(wěn)定性分析續(xù)）設(shè)設(shè) 為其準(zhǔn)確解，即為其準(zhǔn)確解，即 （ii）用用(ii)式減去式減去(i)式