實(shí)變函數(shù)第三章測度論習(xí)題解答

1、第三章測度論習(xí)題解答1.證明：若E有界，則m E “H。證明 E有界，必有有限開區(qū)間E使得E - I，因此m*E空m*l .2證明可數(shù)點(diǎn)集的外測度為零證明設(shè)E,對(duì)任意總>0，存在開區(qū)間h,使得Xi li，且h =二2(在Rp空間中取邊長為£ 的包含Xi的開區(qū)間h)，所以cdoCU li =E，且瓦 |li| = E， i呂i呂由e的任意性得m*E = 0。3.設(shè)E是直線上一有界集合m*E 0，則對(duì)任意小于m*E的正數(shù)C，恒有E 的子集巳，使 m* =c。證明 設(shè) a = inf x,b =supx，貝U E b,b】，令 Exa,xl E，x逕X隹a 込x b， f (x) =

2、m Ex是a,b 上的連續(xù)函數(shù)；當(dāng)Axa0時(shí)，f(x+Ax) f(x)| ='m*Exp m*Ex 蘭 |m*(Ex Ex)蘭 m*(x,x + x)=3于是當(dāng) x > 0用類似方法可證明，當(dāng)厶x0,厶x；0時(shí)，f(xAx)； f(x)， 即f(x)是a,b 1上的連續(xù)函數(shù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理f (a) =m*Ea =m*(E "a) = 0，f (b) = m* (Ea,b ) =m*E，因此對(duì)任意正數(shù)C，cvm*E，存在XoHb】，使f(x0)=c，即*§ = m*(a,x0 丨 E)=c，令 E a,xj E E，貝U4設(shè)Si,S2, ,Sn是

3、一些互不相交的可測集合,EiSi,i=1,2,，n，求證m (Ei E2En)二 m Ei m E2 亠 亠 m En證明 因?yàn)镾i,S2,，Sn是一些互不相交的可測集合，由§2定理3推論1，對(duì)任意Tn有 m* 仃'I I Si)：n八 m*(T Si)，i 4n特別取t = Si=4i，則T Sin=(Ej)Si = Ei，j 4nnT ( SJ 二 Ei所以i 4i Annnnm*(Ei)=m*(T "(U S)=Z*m (T仃S)=送m*Ei。i T7i三iT5.若mE =0，貝U E可測證明任意T ，T=(T E)仃 CE)，所以m*T 空 m* (T E)

4、 m* (T CE)又 T E E，所以 m*(T E)乞 m*E =0， T CE T， m* (T CE)m*T，所以 m*T 蘭m*(T“E) +m*(T “CE)因此m*T二m*仃 E) m*仃 CE)，則E可測。6證明康托集合的測度為0證明 據(jù)康托集合的構(gòu)造，即在 0,1】中挖去可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間而成。第n次挖掉的長度為2心3n，因此p在0,1中的余集的測度為2丁n 3又因所以,m0jl=m(P (b,1】-P)二 mP m(0,1】-P) mP=mb,l Lm( b,1 P) =1 -1 =0即康托集合的測度為0.7.設(shè)A,B RP ,且m*B ：=，若 A 是可測集，證明*

5、1 |m (A B)二 mA m B - m (A B)證明因A是可測集，由卡拉泰奧多里條件m*(A B)二 m*(A B) A) m* (A B) CA)二 mA m*(B - A)另一方面又有m*B=m*(B A) (m*B CA)由 m B ；：，所以 m (B CA) < :, 于是 m* (B - A)二m* B - m* (A B)，代入前式得m*(A B)二 mA m*B-m*(A B)證畢。8證明：若E可測，則對(duì)于任意；0，恒有開集G及閉集F,使F E G , 而m(G 一 E) ： ； ， m(E F)：；證明 當(dāng)mE ：:時(shí)，對(duì)任意； 0，存在一列開區(qū)間譏？，i =1

6、,2,，使Q0I i 二 E，i £OcO且送IjVmE+g，令G=Uh ，貝U G為開集，G = E，且 i珀i生Q0mE 遼mG 二二 mli : mE ；i壬因此 m(G E) ： ；， m( E F)：；。當(dāng)mE 時(shí)，E總可以表為可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測集的和；0E = En (mEn :：)n £對(duì)每個(gè)En應(yīng)用上面結(jié)果，可找到開集Gn，使Gn二En，且m(GEnP，0令 G 二 Gn，n ±OOQOOOG 為開集，G E，且 G-E Gn - En 二- (Gn - En)，因此nTn¥n=1oOm(G _E)乞' m(Gn _En)：

7、；n =1又當(dāng)E可測時(shí)，CE也可測，所以對(duì)任意0，有開集 G，G- CE，且m(GCE ) J 匚。因G CE =G 口 E = E C(CG) = E CG，令 F =CG，貝U F 是閉集，且m(E _F)二m(G _CE)：； 證畢。9.設(shè)E Rq，存在兩列可測集 入 Jbj， 使得AnEBn m(AnBn)； 0(n')，則 E 可測QOQO證明 對(duì)任意i , BnBj ,所以Bn 一 EBj 一 E，又E二A ,n =1n z!Bj _ E 二 Bj _ A所以對(duì)任意i,QO* _ * *m ( Bn - E) _ m (Bj - E) _ m (Bj - A ) = m(B

8、j - A)n -1oCoO令 j t 旳，由 m(Bj - A) t 0，得 m* (0 Bn E) = 0。所以 Cl Bn E n z!n=J是可測的。QOCOQO又Bn可測，Bn也是可測的，所以 E =Bn -( Bn-E)是可測的。n z!n z!n=1P10.設(shè)A,B R ,證明成立不等式：m (A B) m (A B) < m A m B證明 若m A二:或m B =:,則結(jié)論成立。當(dāng) m A 出匕-且 m B f 取 G .型集 G1 與 G2，使 G<)- A,G2 - B，并且 mGj = m A， mG2 = m B，則m*(A B)乞 m(G1 G2)，m* (A B)乞 m(G1 G2) 所以由第7題m*(A B)m*(ABm(G1G2)m(G1G2)= mG1mG2二 m*Am*B證畢。11設(shè)EurP，若對(duì)于任意的名:>0,存在閉集Fue，使得m*(EF)£g，證 明E是可測集水1證明 由條件對(duì)任何正整數(shù) n