高等數(shù)學(xué)-輔導(dǎo)1ppt課件

1、第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容：定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .定理定理2 2.)(lim)(lim)(limAxfAxfAxfxxx 且且?guī)讉€極限不存在的例子幾個極限不存在的例子lim, limarctan , limsin .xxxxexx 因因, 0lim xxe.lim xxe,2arctanlim xx.2arctanlim xx定理定理3 3.)(lim)(lim00Axfxfxxxx Axfxx)(lim0幾個極限不存在的例子幾個極限不存在的例子100011lim, limarctan, limsinxxxxexxxy1sin oy

2、x1xey1 因因, 0lim10 xxe.lim10 xxe,21arctanlim0 xx.21arctanlim0 xx,)(lim)1(0Axfxx 若若定理定理4 (4 (局部保號性局部保號性) );0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有內(nèi)內(nèi)則則在在),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或內(nèi)內(nèi)有有若若在在).0(0 AA或或則則必必有有),0(0 AA或或且且B例例1 1 2( )( )lim1,()xaf xf axa 若若則點(diǎn)則點(diǎn) )(ax （A是是 的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)（B是是 的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn) （C是是 的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)（D不是不是

3、的駐點(diǎn)的駐點(diǎn))(xf)(xf)(xf)(xf定義定義1. 1. 極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小. . 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理定理5 5Axfxx )(lim0.)(0時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx ),()(xAxf 定理定理6 6 無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小. .,1arctan,1cos1sin22并并判判斷斷其其類類型型的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)或或求求函函數(shù)數(shù)例例 xxyxxyxxy答案答案.0為為第第一一類類可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x定義定義2. 2. 絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為

4、無窮大. .定理定理7 7 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理8則則設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf 這是因?yàn)檫@是因?yàn)? 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1( BBAxgxfBAxgxfBAxgxf其中其中推論推論. 0)(lim, 0)(lim,)()(lim xfxgAxgxf則則且且若若. 00)()()(lim)(lim Axgxgxfxf典型極限典型極限為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時時有有和和當(dāng)當(dāng)n

5、mba, 0, 000 00101101,lim0,.mmmnnxnanmba xa xanmb xb xbnm 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)lim ().xxxxx 例例3 3 求求解解limxxxxxxx 3111lim.21111xxxx 原式原式例例4 4 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a, a, 使使解解 令令,1xt 那么那么01 a即即. 1 a tatt33011lim0tatt 1lim30301lim30 att3. 0)1(lim33 xaxx求求,2112111111nxn .limnnx 解解 即即.25lim nnx由于由于2)1(1211 nnn)1(2 nn,122 nn所以所以 12

6、242323222211nnxn121211 n),(25 n例例5 5 設(shè)設(shè)例例6 6,12lim31bxaxxx 已已知知解解1lim(1)0,xx31lim(2)0,xxxa, 3 a3123lim1xxxbx . 5 求常數(shù)求常數(shù) a, b.123lim21 xx);, 3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim,lim)2(azaynnnn 準(zhǔn)則準(zhǔn)則I 如果數(shù)列如果數(shù)列 及及 滿足下列條件滿足下列條件:,nnyxnz.limaxnn 那么數(shù)列那么數(shù)列 的極限存在的極限存在, 且且nx兩個極限準(zhǔn)則兩個極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例例7 7 求

7、求解解nnnnnnnn 22limsinlim 又又, 由夾逼定理由夾逼定理.sin2sin1sinlim222 nnnnn ,1sinsinsin2122 nnknnnnnk nn11lim .sin2sin1sinlim222 nnnnn1lim1sinlim22 nnnnnn ,11lim2 nn, 0lim. 1高高階階的的無無窮窮小小是是比比則則稱稱如如果果 定義定義3 3. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無設(shè)設(shè);),0(lim. 2是是同同階階的的無無窮窮小小與與則則稱稱如如果果 CC是是與與則則稱稱如如果果特特殊殊地地， , 1lim .),0, 0(l

8、im. 3無無窮窮小小階階的的的的是是則則稱稱如如果果kkCCk );( o ; ;等等價價無無窮窮小小記作記作記作記作常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當(dāng)當(dāng) x,sinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx ,1xex ,21cos12xx ,arcsinxx.ln1axax 定理定理9 (9 (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ), 設(shè)設(shè)),(lim 或或且且A lim則則 ).(lim 或或A 0 x,cos1)(xA ,tansin)(xxB ,sin)(xC.)(2xD其它三個更高階的無窮小其它三個更高階的無窮小 【 】例例8 8 當(dāng)當(dāng)B時，下面四個函數(shù)哪一

9、個是比時，下面四個函數(shù)哪一個是比)1(costantansin xxxx,212132xxx 解解也可能是連續(xù)點(diǎn)也可能是連續(xù)點(diǎn), , 需要判定需要判定. .初等函數(shù)無定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn)初等函數(shù)無定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn). .分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn), ,求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 1. 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)2. 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍

10、間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .)(,)(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)義義處處無無定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 3. 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)00( ),( ).f xxxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左、右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存 在在 則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0,( ).xf x如如果果左左、右右極極限限中中有有一一個個為為無無窮窮大大 則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1. 鉛直漸近線鉛直漸近線 (垂直于垂

11、直于x 軸的漸近線軸的漸近線) )(lim)(lim00 xfxfxxxx或或如如果果曲線的漸近線曲線的漸近線 .)(0的的一一條條鉛鉛直直漸漸近近線線就就是是直直線線那那么么xfyxx 2. 水平漸近線水平漸近線 (平行于平行于x 軸的漸近線軸的漸近線)()(lim)(lim為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果bbxfbxfxx .)(的的一一條條水水平平漸漸近近線線就就是是那那么么直直線線xfyby .,11sin)1sin(1212. 911并并判判斷斷類類型型的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)求求例例 xxyxx1sin1lim1sin1lim0)1(2020 yyxxx，處，處，在在，處，處，在在31lim1)2

12、(1 yxx解解.10是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)， xx;00為為第第一一類類跳跳躍躍型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以但但不不相相等等，處處的的左左右右極極限限都都存存在在，因因在在 xx.1是可去型間斷點(diǎn)是可去型間斷點(diǎn)所以所以 x例例10 求函數(shù)求函數(shù) 的間斷點(diǎn)并判斷其類型的間斷點(diǎn)并判斷其類型. 11)(1 xxexf0,1xx 為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .11lim)(lim100 xxxxexf )(lim01xfx 又又1 11lim101 xxxe11lim)(lim10101 xxxxexf0 .0為為第第二二類類無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以， x.1為為第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以， x解解

13、例例11 求出曲線求出曲線 xyln1 的水平與鉛直漸近線的水平與鉛直漸近線. . 解解, 0ln1limlim xyxx是是曲曲線線0 y的一條水平漸近線的一條水平漸近線. .,ln1limlim11 xyxx而而 的鉛直漸近線. 是是曲曲線線1 x, 0ln1limlim00 xyxx例例12 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 解解 ,1lim)(212 nnnxxxxf求出求出 的解析表達(dá)式的解析表達(dá)式. . )(xf 1,1,1, 01lim)(212xxxxxxxxxfnnn重要結(jié)果重要結(jié)果0,1,1lim1,1,1nnqqqqq 不不存存在在例例13 求求.1coslim2nnn 解解 先考慮先考慮.

14、1coslim2xxx 由于由于2211coslnlim1coslnlimxxxxxx 20)ln(coslim1tttxt tttt2cossinlim0 ,21 所以所以,1coslim212 exxx故故.11coslim2ennn .1sin53lim23xxxx 解解 原式原式例例14 計算計算23153limxxxx . 353lim xxx例例15 計算計算.11cos1sin1cos1sinlnlim xxxxx解解 原式原式令令 ,1ux 那么那么 1cossincossinlnlim0 uuuuu1ln21limcossin1 tttuut.211lim211 tt例例16

15、 假設(shè)假設(shè)解解1 , 512sin)(1lnlim0 xxexxf.)(lim20 xxfx求求, 512sin)(1lnlim0 xxexxf),(52sin)(1lnxxxxf ，故故12sin)()(5( xxexxf ，12sin)()(5( xxexxf ，2)(5(212sin)(xexxxfxx .10)(5(lim212sinlim)(lim02)(5(020 xxxxexxxfxxxxx . 0)(lim0 xx 其其中中解解2 xxxfexxfxxx2sin)(lim12sin)(1lnlim00 .10)(lim20 xxfx例例16 假設(shè)假設(shè), 512sin)(1lnl

16、im0 xxexxf求求.)(lim20 xxfx2002)(lim2sin)(limxxfxxxfxx , 5)(lim2120 xxfx.132lim2 xxxx解解 132lim2 xxxx, 111321lim2 xxxx132lim2 xxxx所以原極限不存在所以原極限不存在. . , 111321lim2 xxxx例例17 求求定理定理9 9 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .初等函數(shù)求極限的方法代入法初等函數(shù)求極限的方法代入法.)(),()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xx

17、fxfxx定理定理10 (零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(xf)(af與與 異號異號(即即 ),0)()( bfaf)(bf那么那么在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù) 的一個零點(diǎn)的一個零點(diǎn),)(xf. 0)( f即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) 使使),(ba 定理定理11 11 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù), , 必取得介于最必取得介于最大大值值M M 與最小值與最小值m m 之間的任何值之間的任何值. ., 21 aaxxxf 3)(3則函數(shù)則函數(shù)例例18 設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù) a 滿足滿足在區(qū)間在區(qū)間0, 1上的零點(diǎn)個數(shù)是上

18、的零點(diǎn)個數(shù)是( )(A) 0(B) 1 (C) 2(D) 3B 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分.)()(lim)(0000hxfhxfxfh ;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ;)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 導(dǎo)數(shù)定義的幾種常用形式導(dǎo)數(shù)定義的幾種常用形式重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容：2. 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1. 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在0)(xxf;,)()(00且且相相等等都

19、都存存在在和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xfxf oxy)(xfy T0 xM處的切線的斜率處的切線的斜率在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線)(,()()(000 xfxMxfyxf 切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy )0)().()(10000 xfxxxfyy.tan)(0為傾角為傾角即即 xf處處在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線)(,()(00 xfxMxfy 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義)( .0 xfA)( .0 xfB （D0例例1 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo), 那么那么0 x hhxfhxfh)3()2(lim000【 】)(xf)( 5.0 xfC)1(,1,321,)(

20、232 fxxxxxf則則例例A.不存在不存在 B. 3 C. 2 D. 1定理定理1 1 可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .AC可可導(dǎo)導(dǎo)的的在在可可導(dǎo)導(dǎo)是是在在例例00)()(3xxfxxfA. 充分條件充分條件 B. 必要條件必要條件C. 充分必要條件充分必要條件 D.無因果關(guān)系無因果關(guān)系 D.023,43423垂垂直直使使其其與與的的切切線線求求曲曲線線例例 yxxxy. 3,31023 所所求求切切線線斜斜率率為為的的斜斜率率為為yx解解 . 053)1(3)2( yxxy，即即所所求求切切線線方方程程為為. 213632 yxxxy，解解得得令令例例5 5 設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù)

21、. 1,1,12)(2xbaxxxxf解解 1)1()(lim)1(1xfxffx,1)(可可導(dǎo)導(dǎo)在在因因 xxf.1)(連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) xxf),(lim)(lim11xfxfxx . 1 ba11lim1 xbaxxa .,1的值的值確定常數(shù)確定常數(shù)處的可導(dǎo)處的可導(dǎo)在在bax ),1()1( ff由由1112lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx, 1)1)(1(1lim221 xxxx, 1 a可得可得. 2 b1,06( )0.10,0 xxxf xxex 例例 研研究究在在處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性xxxexfxff100110)0()(lim)0(lim ),0()0

22、( ff.)0(不不存存在在f xexxfxffxxx1001lim0)0()(lim)0( 011lim10 xxe解解, 1 定理定理2且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)在在則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)而而可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù),)(,)()(,)(xxfyxuufyxxu 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()(xufdxdy 推行推行),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xfy .dxdvdvdududydxdy .)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:

23、,)()(間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)那么那么,dtdxdtdydxdy .22dtdxdxdydtddxyd 例例7 7解解21yx 1(2,0).yx 求求過過點(diǎn)點(diǎn)與與曲曲線線相相切切的的直直線線方方程程0201x xKyx 故故所所求求切切線線斜斜率率為為0011(,)yM xxx 設(shè)設(shè)所所求求切切線線與與曲曲線線切切于于點(diǎn)點(diǎn)001(2,0)(,)M xx而而過過點(diǎn)點(diǎn)與與也也可可寫寫出出切切線線斜斜率率: :00001012(2)xKxxx 200011(2)xxx 由由01,x 解解得得：

24、1(1)yx 故故，所所求求切切線線方方程程為為：20.xy 即即：切點(diǎn)為切點(diǎn)為).1 , 1(例例8 8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 由參數(shù)方程由參數(shù)方程 tytxcos12)(xyy 所確定所確定, , 求求;,)1(22dxyddxdy.lim,lim)2(2211dxyddxdyxx 解解 (1)dtdxdtdydxdy ,2sintt dtdxdxdydtddxyd 22ttt2sin21 ;4cossin3tttt dxdyx 1lim)2(221limdxydx ,212sinlim0 ttt304cossinlimttttt .12112sinlim20 tttt,112x 例例9 9 設(shè)設(shè)

25、解解).0(,),1ln(2yyxxy 求求 11221122xxxxy2212211xxxy ,)1(232xx . 0)0( y).1(),(10yxfyyxxy 求求確確定定了了函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)例例，得，得上式兩端按隱函數(shù)求導(dǎo)上式兩端按隱函數(shù)求導(dǎo)，時，由原方程得時，由原方程得當(dāng)當(dāng)11 yx解解. 1)1(11 yyx代入上式，得代入上式，得及及將將,lnln,yxxy 得得方方程程兩兩端端取取對對數(shù)數(shù),ln1lnyyxyxyxy 例例1111.21ln2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxy解解),2ln()1ln(212 xxy21211212 xxxy.2112 xxx例例1212.)(sin

26、的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxfy 解解)(sinnxfy .cos1 nnnxx例例1313解解.),ln(12 xxdyexy求求設(shè)設(shè),2122dxexxedxydyxx .1211dxeedyx 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);(3),()(bfaf ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f第三章第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用羅爾定理的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù).重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容：.)(4)

27、()1 , 0(0)1()2 , 2()(1 fffxf ，使使得得求求證證存存在在，內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理條條件件在在故故可可導(dǎo)導(dǎo)在在連連續(xù)續(xù)，在在，及及，因因1, 0)(.)1, 0(1, 0)(0)1(0)0(xFxFFF ，而而)()(4)(43xfxxfxxF .)(4)(0)()(443 ffff ，即，即即即),()(4xfxxF 令令證證, 0)()1 , 0( F，使使拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)().)()()(baabfafbf :)(滿滿足足若若函函數(shù)數(shù)xf(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開區(qū)間在開區(qū)

28、間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得； 1)(f，)1 , 0(, . 1)()( ff例例2 已知函數(shù)已知函數(shù) 在在0,1上連續(xù)，在上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且分析分析 第一部分用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第一部分用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；)(xf，1)1(0)0( ff證明：證明：(1) 存在存在 使得使得使得使得),1 , 0( (2) 存在兩個不同的點(diǎn)存在兩個不同的點(diǎn)第二部分為雙介值問題，需兩次使用拉格朗日中值第二部分為雙介值問題，需兩次使用拉格朗日中值定理定理.證證 (1),1)()(xxfxF ),1 ,

29、 0( 令令且且 F(0)= -10,于是由介值定理知，于是由介值定理知，, 0)( F 使得使得.1)( f即即 那么那么 F(x) 在在0,1上連續(xù)，上連續(xù)，(2) 在在 和和 上對上對 分別應(yīng)用拉格朗日中值分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，定理，, 0 1 , )(xf),1 ,(), 0( 存在兩個不同的點(diǎn)存在兩個不同的點(diǎn),0)0()()( fff,1)()1()( fff. 1111)(1)()()( ffff使得使得于是于是 , 1, 0)2(lim0 bbaxexx解解1, 1)1(lim220 xbxaxexx.21, 221, 122lim0 aaaexx,122lim0 xbaxe

30、xx.)1(0,322是是等等價價無無窮窮小小與與時時，的的值值，使使當(dāng)當(dāng)求求例例xbxaxexbax 洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則求極限.)1(0,322是是等等價價無無窮窮小小與與時時，的的值值，使使當(dāng)當(dāng)求求例例xbxaxexbax ),()1(21)1(222xoxbxabxaxex ,)1(22是是等等價價無無窮窮小小與與因因xbxaxex . 1,2101, 121 baba，即，即所以所以解解2，有，有由由)(2122xoxxex 例例4 4解解220231lim.(1)xxxxxeexee 求求20021231limlimxxxxxeexex 原原式式0()02043lim2xxxeex 2087lim.22xxxee )1()(1)( 2xexxfx 設(shè)設(shè)1)2(1)( 2 xexxf ( )0,1)f x 在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)減減少少(0,1)0,)0()( xfxf 0,1)( )xf x 當(dāng)當(dāng)時時，單單調(diào)調(diào)減減少少0(0)(0,1) fxfx時時，當(dāng)當(dāng)即即 (1) 式成立式成立.證證 04)( 2xxexf).10( ,112 xxxe