五方陣的行列式ppt課件

1、 五、方陣的 行列式 1、定義 定義6 由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式各元素的位置不變，稱為方陣A的行列式，記作 |A| 或 detA 。2、運(yùn)算律;).1TAA;).2AAnBAAB).3 我們僅證明3，設(shè)A = (aij), B = (bij)。記 2n 階行列式11111111011nnnnnnnnaaaabbbb D =AOEB 顯然，D = |A|B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ， ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 j = 1 , 2 , , n ) , 有D=1112111 1112 211111 112 2121222

2、21 1122 212121 122 22121 112 2111 12 21 00010nn nnnn nnnn nnnn nnnnnnnnnn nnnnnnn nnaaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba b 0001 0ACDE 其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+ainbnj ,故 C = AB。再對 D 的行作 rj rn+j j = 1, 2, , n ，有0( 1),nEDAC 從而有D = ( 1 )n|E|C| = ( 1 )n( 1 )n| C | = |

3、 C | = | AB |。于是 | AB | = | A | | B | 例6：設(shè)A , B 均為 n 階方陣且, 1,TTBAEBBEAA.0 BA則證BAABABBATTBABA)(TTBBAAT)(BAB2BA .0 BA故 例例7 設(shè)設(shè) A 是是 n 階反對稱矩陣，階反對稱矩陣，B 是是 n 階對稱矩陣，那么階對稱矩陣，那么 AB + BA 是是 n 階反對稱矩陣。階反對稱矩陣。證證 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T= BTAT + ATBT= BAAB= AB + BA 所以， AB + BA 為 n 階反對稱矩陣。例例 8 設(shè)設(shè)1213112 ,3 令 A

4、 = T, 求 An 及| An|。解 11232332111121,2123331 An = ( T )n = TTT T= 3n-1A| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A | 1123123321(3) 2131nn = 0六、共軛矩陣1、定義 定義7 設(shè)A= 為復(fù)矩陣， 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記 )(ijaija).(ijaAija那么 稱為A的共軛矩陣。A2.運(yùn)算律 設(shè) A 、B 為復(fù)矩陣， 為復(fù)數(shù).; )1BABA. )3BAAB2) AA 七、 可換矩陣及方陣多項(xiàng)式1、可換矩陣設(shè) A、B 均為n階方陣，假設(shè) AB = BA ，那么稱是可換的。例例 9 設(shè)設(shè)12

5、,.1132abAB 假設(shè)矩陣 A與 B 可交換，求 a ,b 的值 。解解 由于由于 AB = BA ，即，即1212113 23 211a ba b 6423524aabbabab 亦 即故 a = 8 , b = 6 。6423254abababab 即 例例10 設(shè)設(shè)100020003A 求與 A 可交換的一切矩陣。123123123xxxXyyyzzz A 與可交換，即有解解 設(shè)設(shè)1231231231231231231 0 01 0 00 2 00 2 00 0 30 0 3xxxxxxyyyyyyzzzzzz 于是123123123123123123232222333323xxxx

6、xxyyyyyyzzzzzz 從而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 ,即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 ,所以，與可交換的任一矩陣是000000abc其中 a ，b，c 為恣意實(shí)數(shù)。2、方陣多項(xiàng)式 設(shè)有 n 階矩陣 A 和多項(xiàng)式 f ( ) = amm + am-1m-1 + + a1 + a0規(guī)定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + + a1A + a0稱 f ( A ) 為方陣 A 的矩陣多項(xiàng)式。例例11 設(shè)有多項(xiàng)式設(shè)有多項(xiàng)式 f () = 2 3 + 2和矩陣和矩陣112011121A 求矩陣多項(xiàng)式 f (A) 。 解解 由于由于2112112011011121121A3363033363A 325112231 那么f (A) = A2 3A + 2E3253362 0 01120330 2 02313630 0 2 251121.130 練習(xí)：1.計(jì)算以