高等數(shù)學(xué)第六節(jié)未定型的極限ppt課件

1、.,., ,)( ,00 題題它它較較好好地地解解決決了了此此類類問問洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則法法的的方方本本節(jié)節(jié)介介紹紹一一個個求求未未定定型型沒沒有有統(tǒng)統(tǒng)一一的的方方法法是是不不同同的的用用的的方方法法但但對對不不同同類類型型的的極極限限使使已已經(jīng)經(jīng)介介紹紹過過一一些些求求法法在在第第二二章章中中的的極極限限稱稱為為未未定定型型型型對對于于 .),203(可以用不同形式表示可以用不同形式表示曲線曲線如圖如圖從幾何角度看從幾何角度看AB 203 圖圖xoyAB C:如果用參數(shù)方程表示如果用參數(shù)方程表示 ),(),(tGytFx?什什么么形形式式變變成成微微分分中中值值定定理理的的結(jié)結(jié)論論將將:如

2、果用參數(shù)方程表示如果用參數(shù)方程表示 ),(),(tGytFx?什什么么形形式式變變成成微微分分中中值值定定理理的的結(jié)結(jié)論論將將事實上等式事實上等式)()()( fabafbf :,的坐標(biāo)來表示的坐標(biāo)來表示的端點的端點的左邊也可用曲線的左邊也可用曲線BAAB ,dd xABABxyxxyy.,和橫坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與點與點分別表示點分別表示點與與其中其中ABxxyyABAB203 圖圖xoyAB C.,和橫坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與點與點分別表示點分別表示點與與其中其中ABxxyyABAB,1Att對對應(yīng)應(yīng)于于點點時時設(shè)設(shè) ,dd xABABxyxxyy則則對對應(yīng)應(yīng)于于點點時時設(shè)設(shè)

3、,2Btt ).(),( ),(),(2211ttFBttFA ,Ct對對應(yīng)應(yīng)于于點點時時如如果果當(dāng)當(dāng) 則則而而,)()(ddtFtxy .)()(dd Fxyt 式式就就表表示示為為這這樣樣 ,.)()()()()()(1212 FtFtFtt 式式就就表表示示為為這這樣樣 ,.)()()()()()(1212 FtFtFtt .推廣推廣這就是微分中值定理的這就是微分中值定理的,)(),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxFx , 0)(,),( xFba且且內(nèi)內(nèi)可可微微在在使使內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在則在,),( ba.)()()()()()( FaFbFab 定理定理

4、:,)()(0且滿足且滿足的一個鄰域內(nèi)可微的一個鄰域內(nèi)可微在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xx、Fx ; 0)(lim)(lim )1(00 xFxxxxx; 0)( )2( xF),()()(lim )3(0 或或AxFxxx則則).()()(lim0 或或AxFxxx即即 )()(lim0 xFxxx.)()(lim0 xFxxx 證明證明,0的一個鄰域內(nèi)任意一點的一個鄰域內(nèi)任意一點是是設(shè)設(shè)xx所所以以有有中中值值定定理理的的條條件件滿滿足足廣廣義義微微分分上上函函數(shù)數(shù)或或在在那那么么,)(),(,00 xFxxxxx ,)()()()()()(00 FxFxFxx .0之之間間與與在在其其中中xx ,)

5、(),(00處也是連續(xù)的處也是連續(xù)的所以在所以在處可微處可微在在因函數(shù)因函數(shù)xxxFx , 0)()(, 0)(lim)(lim0000 xFxxFxxxxx故故有有上式簡化為上式簡化為.)()()()( FxFx .,00 xxx 時時注注意意到到兩兩邊邊取取極極限限上式簡化為上式簡化為.)()()()( FxFx .,00 xxx 時時注注意意到到兩兩邊邊取取極極限限,)()(lim)()(lim00 FxFxxxx ),()()(lim )3(0 或或知知由由條條件件AFx )()(lim)()(lim00 xFxxFxxxxx ).( 或或A附帶闡明幾點附帶闡明幾點( (不加證明不加證

6、明):):.,)()()1( 0甚至可以沒有定義甚至可以沒有定義處可以不可微處可以不可微在在函數(shù)函數(shù)xx、Fx .,0)(lim)(lim )2( 結(jié)論仍成立結(jié)論仍成立在滿足相應(yīng)的條件下在滿足相應(yīng)的條件下情形情形對于對于 xFxxx.,)(lim)(lim )3( 結(jié)論仍成立結(jié)論仍成立在滿足相相應(yīng)的條件下在滿足相相應(yīng)的條件下對于對于 xFx不管自變量不管自變量型型型與型與只要是只要是簡而言之簡而言之,”“”00“, ,0 或或趨向于趨向于x.,結(jié)結(jié)論論均均成成立立在在滿滿足足相相應(yīng)應(yīng)的的條條件件下下例例1 1.2sin)1ln(lim0 xxx 求求解解,02sin)(),1ln()(可可微微

7、的的一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在 xxxFxx而而且且, 02sinlim, 0)1ln(lim00 xxxx.212cos211lim)()(lim00 xxxFxxx有有所以所以滿足洛必達(dá)法則的條件滿足洛必達(dá)法則的條件, xxx2sin)1ln(lim0.212cos211lim0 xxx例例2 2.sinlim30 xxxx 求求解解.00型型是是 30sinlimxxxx.3cos1lim20 xxx ,00可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則型型這仍是這仍是 30sinlimxxxx203cos1limxxx xxx6sinlim0 .61 例例3 3.lnlimxxx求求解解.,用

8、洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則型型 xxxlnlim1 1limxx . 0 例例4 4.lncotlnlim0 xxx 求求解解.型型 xxxlncotlnlim0 xxxx1)csc(cot1lim20 xxxxcossinlim0 xxxxxsinlimcos1lim00 . 1 例例5 5.1lim2xxx 求求解解.型型 xxx21lim11lim2xxx 21limxxx 211limxxx .1lim2xxx .洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效.其實這題易求其實這題易求 xxx21lim11lim2 xx. 1 ., 效果會更好些效果會更好些無窮小代換綜合使用無窮小代換綜合使用有時洛必達(dá)法則

9、與等價有時洛必達(dá)法則與等價例例6 6.)1e (sinlim20 xxxxx求求解解 )1e (sinlim20 xxxxx20sinlimxxxxx )1e (22xx 203cos1limxxx .61 限限其其他他類類型型的的未未定定型型的的極極型型0.1 .00型型型型或或可可變變形形為為 例例7 7.lnlim0 xxx 求求解解.0型型 xxxlnlim0 xxx1 ln lim0 )(型型 2011limxxx )(lim0 xx . 0 例例8 8.ln)11ln(limxxx 求求解解.0型型 .先先用用等等價價無無窮窮小小代代換換.)11ln(,xxx 時時 xxxln)1

10、1ln(limxxxlnlim 1 1limxx . 0 型型.2 .00型型型型或或可可化化為為 例例9 9).ln11(lim1xxxx 求求解解.型型 .00型型把它化為把它化為 )ln11(lim1xxxxxxxxxxln)1(1lnlim1 )00(型型xxxxxln11ln1lim1 xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21 .21 解解例例1010304sin22lim2xxxexx 原式原式22012cos2)24(lim2xxexxx xxexxxxx24sin2)488(lim230 24224408 .3cos2lim 402xxexx 求求.127 解解.

11、,coslim出出但但不不能能用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則得得存存在在驗驗證證xxxx 1sin1limxx 原原式式),sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法那么失效洛必達(dá)法那么失效.由洛必達(dá)法那么由洛必達(dá)法那么, , 得得: :實踐上實踐上,)cos11(limxxx 原式原式. 1 1 1、本節(jié)根本要求、本節(jié)根本要求 掌握洛必達(dá)法那么掌握洛必達(dá)法那么. .2 2、本節(jié)重點、難點、本節(jié)重點、難點 重點：洛必達(dá)法那么在未定型極限中的運用重點：洛必達(dá)法那么在未定型極限中的運用. . 難點：洛必達(dá)法那么在未定型極限中的運用難點：洛必達(dá)法那么在未定型極限中的運用. .未定型的極限未定型的極

12、限柯西定理柯西定理廣義中值定理廣義中值定理洛必達(dá)法那么洛必達(dá)法那么柯西定理柯西定理廣義微分中值定理廣義微分中值定理定理定理3 3、本節(jié)知識構(gòu)造、本節(jié)知識構(gòu)造未定型極限的計算未定型極限的計算,0,00 柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857)是法國數(shù)學(xué)家,1809年當(dāng)上一名工程師,后聽從拉格朗日和拉普拉斯的勸告轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué).1816年提升為巴黎綜合工科學(xué)院的教授.他終身寫的論文800多篇.出版專著7本,選集共27卷.從23歲寫出第一篇論文到68歲逝世的45年中,平均每月發(fā)表兩篇論文.僅1849年8月至12月的科學(xué)院9次會上,他就提交24篇短文和15篇研討報告.終身中最大奉獻(xiàn)之一是在微積分中引是嚴(yán)厲的方法. 1821年出版的“分析教程以及以后的“無窮小計算講義和“無窮小計算在幾何中的運用具有劃時代的價值,其中給出了分析學(xué)一系列根本概念的嚴(yán)厲定義. 洛必達(dá)