二項式定理教案

1、 二項式定理 丁 寧教學目標：1. 知識與技能：（1）能利用計數(shù)原理證明二項式定理； （2）理解并掌握二項式定理，并能簡單應用。2. 過程與方法：  通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與知識遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，并形成從特殊到一般的歸納，然后證明，最后再應用的思想意識。  3. 情感、態(tài)度與價值觀：   培養(yǎng)學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會數(shù)學語言的簡潔和嚴謹，感受中國輝煌的數(shù)學史。教學重點：探究并歸納用計數(shù)原理分析的展開式的形成過程，并依此方法得到二

2、項式定理。教學難點：展開式中有哪幾種類型的項？展開式中各項系數(shù)如何確定？授課類型：新授課教學方法：為了突破難點，突出重點，我采用化歸的思想，將二項展開過程化歸到熟悉的有放回取球問題；設計7個問題串貫穿課堂主線，啟發(fā)引導問題的解決；并采用分組合作探究的形式分析解決問題。教學工具：采用多媒體教學手段。教學過程：一、知識回顧：提問：我們學了哪些計數(shù)方法？答（預設）：枚舉法、分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理、排列、組合。設計意圖：為選擇正確便捷的方法得出各項系數(shù)鋪墊。二、創(chuàng)設情境：問題1：桶里有大小相同，質地相同的a、b兩小球，有放回地取兩次，有幾種不同的取法？請分別用枚舉法、分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理進行

3、分析。枚舉法：有aa、ab、ba、bb共4種。分步計數(shù)原理：第一步，第一次取球有兩種方法；第二步，第二次取球有兩種方法，所以一共22=4種。分類計數(shù)原理：第一類，都取a，1種；第二類，取不同，2種；第三類，都取b，1種；共4種。三、教授新課：提問：請將逐項展開并整理，思考問題1與問題2的處理過程之間有何聯(lián)系與區(qū)別？ 同：展開的過程就是取小球的過程. 異：球ab、ba屬兩種方法，展開式中的ab、ba可合并同類項課堂環(huán)節(jié)問題串答（預設）設計意圖一、知識回顧我們學了哪些計數(shù)方法？枚舉法、分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理、排列、組合為選擇正確便捷的方法得出各項系數(shù)鋪墊二、創(chuàng)設情境問題1：桶里有大小相同，質地

4、相同的a、b兩小球，有放回地取兩次，有幾種不同的取法？請分別用枚舉法、分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理進行分析.枚舉法：aa ab ba bb共4種分步計數(shù)原理:第一步，第一次取球有兩種方法；第二步，第二次取球有兩種方法，所以一共22=4種.分類計數(shù)原理：第一類，都取a，1種；第二類，取不同，2種；第三類，都取b，1種；共4種回顧各種計數(shù)方法的思維過程和解題過程，保障后面能選取最便捷的方法，并且運用該方法能準確、快速地得到答案.三、教授新課問題2：請將逐項展開并整理，思考問題1與問題2的處理過程之間有何聯(lián)系與區(qū)別？同：展開的過程就是取小球的過程.異：球ab、ba屬兩種方法，展開式中的ab、ba可合并

5、同類項取球是同學們極為熟悉的例子，解決該問題已經(jīng)得心應手，并已深刻理解。將新問題回歸到已掌握的知識上，便于新問題的解決. 問題3：將展開并整理后，各項的系數(shù)與取球問題有何聯(lián)系？整理后，各項系數(shù)即取球問題中分類記數(shù)原理的各類結果數(shù).初步體會展開式中系數(shù)的由來. 問題4：桶里有大小相同，質地相同的ab兩小球，有放回地取三次，有幾種不同取法？請分別用枚舉法、分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理進行分析.枚舉法：（略）分步記數(shù)原理：222=8分類記數(shù)原理：第一類，三次都不取b，種；第二類，任一次取b,其他兩次取a, 種；第三類，任兩次取b,其他一次取a, 種；第四類，全都取b，種，即共+=8

6、種.取兩次的時候，學生可以用枚舉法在轉念間就解決問題，所以就會忽視了分類記數(shù)原理和分步記數(shù)原理對于解決該問題的優(yōu)勢，取三次就相對困難，讓學生體會分類記數(shù)原理和分步記數(shù)原理對于解決多次取球問題的優(yōu)越性. 問題5：誰能最快寫出將展開整理后的多項式，并說出各項系數(shù)和？ 再次理解取球過程與展開式的聯(lián)系，特別是展開式各項的系數(shù)與取球過程中分類記數(shù)原理的聯(lián)系、各項系數(shù)和與取球方法總數(shù)的聯(lián)系. 練習：寫出將展開并整理后的多項式，并說出各項系數(shù)和？ 鞏固展開式各項、各項系數(shù)及系數(shù)和得出的方法. 問題6：將展開并整理后，有哪些項？為什么？ 讓學生體會從

7、特殊到一般，歸納并證明的過程.板書項數(shù)：       第一項   第二項        第n+1項項：                   二項式定理：= + +   + 二項式系數(shù)：         

8、;          二項式系數(shù)和：+= 問題7： 展開并整理后，各項的項數(shù)、次數(shù)有什么規(guī)律？你能根據(jù)規(guī)律歸納一個式子，可以用來表示其中任一項嗎？1.     a的次數(shù)與b的次數(shù)和為n；2.     組合數(shù)上標與b的次數(shù)相同.讓學生在理解二項式定理得出的過程基礎上，熟練掌握二項式定理的特點.板書項數(shù)：       第一項   第二項

9、60;       第n+1項項：                   二項式定理：= + +   + 二項式系數(shù)：                   二項式系數(shù)和：+=通項：四、數(shù)學史教育在我國被

10、稱為賈憲三角或楊輝三角，一般認為是北宋數(shù)學家賈憲所首創(chuàng).它記載于楊輝的詳解九章算法(1261)之中.在阿拉伯數(shù)學家卡西的著作算術之鑰(1427)中也給出了一個二項式定理系數(shù)表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同.在歐洲，德國數(shù)學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖.但一般卻稱之為帕斯卡三角形，因為帕斯卡在1654年也發(fā)現(xiàn)了這個結果.無論如何，二項式定理的發(fā)現(xiàn)，在我國比在歐洲至少要早300年.1665年，牛頓把二項式定理推廣到n為分數(shù)與負數(shù)的情形，給出了的展開式.五、課堂鞏固例  已知二項式（1）請寫出它的展開式；（2）請寫出第4項的二項式系數(shù)；（3）請寫出第4項的系數(shù)；（4）請寫出含項的系數(shù). 二項式定理的應用（知識點的應用） 練：已知二項式（1）求展開式第四項的二項式系數(shù)；（2）求展開式第4項的系數(shù)；（3）求展開式第4項；（4）求展開式中的有理項. 鞏固基本知識、基本概念.六、課堂提升變式提升：請說出的展開式中（1）含項的系數(shù)；（2）含項的系數(shù). 在理解二項式定理得出的思想方法基礎上，運用該思想方法解決新問題，鞏固該思想方法（思想方法的應用）七、課堂小結請大家思考：1.本節(jié)