第五章 數(shù)值積分

1、第五章 數(shù)值積分§5.0 引言§5.1 機(jī)械求積公式 §5.2 Newton-Cotes公式§5.3 變步長求積公式及其加速收斂技巧§5.4 Gauss公式§5.5 小結(jié)§5.0 引 言 1. 定積分的計(jì)算可用著名的牛頓-萊布尼茲公式來計(jì)算:其中F(x)是f(x)的原函數(shù)之一，可用不定積分求得。然而在實(shí)際問題中，往往碰到以下問題：(a) 被積函數(shù)f(x)是用函數(shù)表格提供的；(b) 被積函數(shù)表達(dá)式極為復(fù)雜，求不出原函數(shù)，或求出原函數(shù)后，由于形式復(fù)雜不利于計(jì)算；(c) 大量函數(shù)的原函數(shù)不容易或根本無法求出，例如，概率積分, 正弦

2、型積分 回路磁場(chǎng)強(qiáng)度公式 等根本無法用初等函數(shù)來表示其原函數(shù)，因而也就無法精確計(jì)算其定積分，只能運(yùn)用數(shù)值積分。2 所謂數(shù)值積分就是求積分近似值的方法。而數(shù)值積分只需計(jì)算 在節(jié)點(diǎn)上的值，計(jì)算方便且適合于在計(jì)算機(jī)上機(jī)械地實(shí)現(xiàn)。33§5.1 機(jī)械求積公式 1 數(shù)值積分的基本思想?yún)^(qū)間a,b上的定積分，就是在區(qū)間a,b內(nèi)取n+1個(gè)點(diǎn)，利用被積函數(shù)f(x)在這n+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值的某一種線性組合來近似作為待求定積分的值，即右端公式稱為左邊定積分的某個(gè)數(shù)值積分公式。其中,xk稱為積分節(jié)點(diǎn)，Ak稱為求積系數(shù)。因此，一個(gè)數(shù)值積分公式關(guān)鍵在于積分節(jié)點(diǎn)xk的選取和積分系數(shù)Ak的決定，其中Ak與被積函數(shù)f(x

3、)無關(guān)。稱為機(jī)械求積公式。1.1 簡單算例說明例1 求積分此積分的幾何意義相當(dāng)于如下圖所示的曲邊梯形的面積。解：（1） 用f(x)的零次多項(xiàng)式來近似代替,于是， （為左矩公式）推廣: （為右矩公式） （為中矩公式）（2） 用f(x)的一次多項(xiàng)式來近似代替,于是， （為梯形公式）（3） 用f(x)的二次插值多項(xiàng)式,其中來近似代替,于是， 特別地：當(dāng)時(shí)，有（為Simpson公式）2 代數(shù)精確度 定義：若積分的數(shù)值積分公式對(duì)于任意一個(gè)次數(shù)不高于m次的多項(xiàng)式都精確成立，且存在一個(gè)m+1次多項(xiàng)式使之不精確成立，則稱該數(shù)值積分公式的代數(shù)精確度為m。 對(duì)于代數(shù)精確度為m的求積公式，若f(x)是不超過m次的代

4、數(shù)多項(xiàng)式，求積公式是精確成立的。2.1 算例例1: 有積分公式:求該積分公式的代數(shù)精確度。這個(gè)求積公式的幾何意義是曲邊梯形的面積近似地用兩個(gè)梯形面積來代替。-1 01XYf(-1)f(1)f(0) 解：(1)取f(x)=1，定積分,而數(shù)值積分，兩端相等；(2)取f(x)=x，定積分,而數(shù)值積分，兩端相等；(3)取，定積分,而數(shù)值積分，兩端不相等；只要取f(x)=1，f(x)=x驗(yàn)證了上述求積公式精確成立，就意味著對(duì)于任意一個(gè)一次多項(xiàng)式，求積公式都是精確成立的；而取時(shí)求積公式不精確成立，也就是存在一個(gè)二次多項(xiàng)式使求積公式不精確成立；故該求積公式的代數(shù)精確度為1。例2：在如下求積公式中，求積分節(jié)點(diǎn)

5、和相應(yīng)的求積系數(shù)使其代數(shù)精確度盡可能高。解：(1) f(x)=1, ,而數(shù)值積分為；得到方程；(2) f(x)=x，而數(shù)值積分為；得到方程；(3) ，而數(shù)值積分為；得到方程；(4) ，而數(shù)值積分為；得到方程；綜合上述方程：解得: 。于是我們得到積分公式。再取，有，而數(shù)值積分為，兩式不相等，求積公式不精確成立了。所以，該積分公式的代數(shù)精確度為3。§5.2 Newton-Cotes公式1 公式的推導(dǎo) Newton-Cotes公式是由拉格朗日插值公式推導(dǎo)出來的數(shù)值積分公式。將區(qū)間a,b等分n等份,記,分點(diǎn)為,k=0,1,.,n,這n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為,從而區(qū)間a,b上的拉格朗日插值多項(xiàng)

6、式為其中,為插值基本多項(xiàng)式,與函數(shù)f(x)無關(guān),k=0,1,.,n。 由于插值結(jié)點(diǎn)是等距節(jié)點(diǎn)，故插值多項(xiàng)式可以進(jìn)一步化簡:因?yàn)?， 故 ， 因 ， 作積分變量代換， 當(dāng)時(shí)，t=0；當(dāng)x=b時(shí)，t=n；故記，我們稱為柯特斯（Cotes）系數(shù)，它不僅與函數(shù)f(x)無關(guān)，而且與積 分區(qū)間a,b無關(guān)。例如：當(dāng)n=1時(shí) (梯形積分公式中的系數(shù)) ,;當(dāng) n=2時(shí) (拋物線積分公式中的系數(shù)) , , ; 當(dāng)n=3時(shí) (3/8積分公式中的系數(shù)) ，；于是，由柯特斯（Cotes）系數(shù)公式出發(fā)，我們得到n階NewtonCotes公式：。2 低階公式及其余項(xiàng)常用的NewtonCotes公式a) 梯形公式Y(jié)Xf(a

7、)f(b)f(x)abOn=1時(shí)，積分節(jié)點(diǎn)為，則數(shù)值積分公式為：其幾何意義是曲邊梯形的面積近似地用梯形面積來代替。 其余項(xiàng)b) 拋物線公式（辛浦生Simpson公式） n=2時(shí)，積分節(jié)點(diǎn)為x0=a，x2=b；柯特斯系數(shù)為；則數(shù)值積分公式為:其幾何意義是曲邊梯形的面積近似地用由拋物線形成的曲邊梯形面積來代替。其余項(xiàng)c) 柯特斯公式n=4時(shí)，積分節(jié)點(diǎn)為，；柯特斯系數(shù)為,；則數(shù)值積分公式為： 其余項(xiàng)綜上所述，Newton-Cotes數(shù)值積分公式具有如下特點(diǎn)：(1) 建立在等距積分節(jié)點(diǎn)上，(2) 是封閉型的，即兩個(gè)端點(diǎn)a,b也是積分節(jié)點(diǎn)，(3) 是由拉格朗日插值公式推導(dǎo)而得到的。2.1 Cotes系數(shù)

8、的性質(zhì)引理: n階NewtonCotes公式的代數(shù)精確度至少是n。證明: 如果是一個(gè)次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式，則其拉格朗日插值公式的插值余項(xiàng)為：故，這是對(duì)一切x均相等，精確成立。所以，即，數(shù)值積分公式的值精確地等于定積分的值，故n階NewtonCotes公式的代數(shù)精確度至少是n。 性質(zhì)1: 歸一公式： 證明：由于數(shù)值積分公式的代數(shù)精確度至少為n，故對(duì)于，數(shù)值積分公式是精確成立的：，而由上述兩式相等，得到： 性質(zhì)2: 對(duì)稱性：。3 復(fù)合求積公式 隨著n的增加可以減少積分誤差，但高階N-C公式又會(huì)造成數(shù)值不穩(wěn)定，因而采用復(fù)合求積公式。3.1 復(fù)合梯形公式 將區(qū)間等分n等份,分點(diǎn)是xk=x0+kh,(

9、k=0,1,.,n),其中。在每個(gè)子區(qū)間上用梯形公式則 此公式就是復(fù)合梯形公式。其幾何意義是曲邊梯形面積近似地用許多小的細(xì)條梯形來代替（如圖）從圖中可以看出，n越大，則h越小，實(shí)際面積與近似面積的差，即求積誤差也就越小。這與分段插值相類似，所不同的是分段插值函數(shù)是不光滑的，而數(shù)值積分公式是對(duì)一個(gè)數(shù)的近似，不存在光滑和不光滑的問題。3.2 復(fù)合辛浦生公式 將區(qū)間a,b等分n等份，n為偶數(shù)（n=2n），分點(diǎn)是,，簡記，則在每兩個(gè)子區(qū)間()上用辛浦生公式:則此公式就是復(fù)合辛浦生公式。3.3 算例分別利用梯形公式和Simpson公式計(jì)算積分： 步長h=1/8。解：設(shè),由復(fù)合梯形公式有：由復(fù)合Simps

10、on公式有：積分的相對(duì)精確值為。§5.3 變步長求積公式及其加速收斂技巧1.基本思想：在計(jì)算機(jī)上自動(dòng)選擇步長的變步長的方法和加速收斂的技巧（Richardson外推）a) 定義：若一個(gè)積分公式的誤差滿足 且C ¹ 0，則稱該公式是 p 階收斂的。b) 復(fù)合梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式： 誤差：c) 復(fù)合Simpson公式：誤差：d) 綜上所述: 1.1 算例：例：計(jì)算(1) = 3.138988494(2) = 3.141592502其中。2 變步長梯形求積公式：復(fù)合梯形求積時(shí)，通常采取將區(qū)間不斷對(duì)分(一分為二)的方法，即取 n = 2k,注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)，有:如此類推

11、,可得變步長的梯形公式為(1): 遞推公式(2): 步長的自動(dòng)選取注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí):因此，若給定精度,則以遞推公式計(jì)算積分近似值，直至終止計(jì)算，并以當(dāng)前值為近似值。3 加速收斂技巧3.1基本思想龍貝格積分 Romberg Integration，主要采用Richardson外推。變步長梯形公式中：注意到 即：由此，可得梯形積分值外推一次的計(jì)算公式為：一般地，外推二次的計(jì)算公式為：外推三次的計(jì)算公式為：外推m次的計(jì)算公式為：重復(fù)上述步驟即可獲得得系列逼近值：3.2 算例用龍貝格積分法計(jì)算定積分（）：§5.4 Gauss公式1 引言牛頓柯特斯型求積公式是封閉型的（區(qū)間a,b的兩端點(diǎn)a

12、, b均是求積節(jié)點(diǎn)）而且要求求積節(jié)點(diǎn)是等距的,受此限制，牛頓柯特斯型求積公式的代數(shù)精確度只能是(為奇數(shù))或(為偶數(shù))。而如果對(duì)求積節(jié)點(diǎn)也適當(dāng)?shù)倪x取,即在求積公式中不僅而且也加以選取,這就可以增加自由度，從而可提高求積公式的代數(shù)精確度。2高斯求積公式和高斯點(diǎn)例:其中,固定在,可以適當(dāng)選取,只有兩個(gè)自由度,得到的是梯形公式,其代數(shù)精確度只有1。如果對(duì)求積節(jié)點(diǎn)也進(jìn)行適當(dāng)選取,將有四個(gè)自由度,得到如下公式: 這個(gè)積分公式的代數(shù)精確度為3,這就是高斯型求積公式,上面的求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)。定義1：高斯型求積公式和高斯點(diǎn) 對(duì)于含有個(gè)參數(shù)的求積公式:,適當(dāng)選取這個(gè)參數(shù),可以使得數(shù)值積分公式的代數(shù)精確度達(dá)到,我

13、們稱這一類求積公式為高斯型求積公式,稱這類求積公式的積分節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)。定義2:如果個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的求積公式的代數(shù)精確度為,則這個(gè)求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)。3. 高斯點(diǎn)的特征定理:設(shè)是個(gè)相異點(diǎn),以這個(gè)點(diǎn)為零點(diǎn)的次多項(xiàng)式為，則是高斯點(diǎn)的充要條件是對(duì)于任意不超過次的多項(xiàng)式,成立。證明:(必要性)設(shè)為高斯點(diǎn),則對(duì)任意不超過次的多項(xiàng)式,均有,則對(duì)于任意次數(shù)不超過次多項(xiàng)式,是次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式,且注意到,故(充分性)設(shè)對(duì)于一切次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式,成立又設(shè)是次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式,用去除,商,余,即,可知,和均是不超過次的多項(xiàng)式,從而，又因求積公式是插值多項(xiàng)式的構(gòu)造導(dǎo)出的,由的選取,其代數(shù)精確度可以達(dá)到,而是次數(shù)不

14、超過次的多項(xiàng)式,因此成立因,所以,故而也即由于是次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式,因此該積分公式的代數(shù)精確度至少為,因而節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)。 對(duì)于關(guān)系,我們稱之為正交性,即與任意次多項(xiàng)式正交,而這樣的多項(xiàng)式類稱為正交多項(xiàng)式。3 高斯勒讓德求積公式Legendre多項(xiàng)式稱為勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式。其具有前面提到的正交性質(zhì),即對(duì)于任意次數(shù)不超過的多項(xiàng)式,成立。因此,多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是相應(yīng)的高斯勒讓德求積公式的高斯點(diǎn)。勒讓德多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)如下: ,例 用四點(diǎn)(n=3)的Gauss求積公式計(jì)算解 先將區(qū)間變換為-1，1，令 其中 (精確解 =0.467 401)這結(jié)果與用n=8的Romberg求積相當(dāng).

15、7;5.5 總 結(jié)二、NewtonCotes求積公式 將區(qū)間a, b等分n等份，求積節(jié)點(diǎn)為xk=a+kh,k=0,1,.,n，其中節(jié)點(diǎn)間距。 其中，由n次拉格朗日插值公式的插值基函數(shù)lk(x)決定: 。當(dāng)n =1時(shí),得到梯形公式:誤差為；當(dāng)n =2時(shí)，得到拋物線（辛浦生）公式：誤差為 ；當(dāng)n =4時(shí)，得到柯特斯公式：誤差為 ；三、復(fù)合公式1. 復(fù)合梯形公式 誤差 ； 2. 復(fù)合辛浦生公式,n =2m為偶數(shù),誤差 。例：用復(fù)合公式計(jì)算，精確值 由，將區(qū)間0,1分成4等份，n=4，h=0.25，得數(shù)表：用復(fù)合梯形公式: ，誤差R=0.0104719；用復(fù)合拋物線公式： =1.7553750，誤差R=0.0000767。四、高斯型求積公式1. Legendre多項(xiàng)式對(duì)于任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式q(x)，成立 。2. 高斯勒讓德求積公式 勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)是高斯勒讓德求積公