§4對面積的曲面積分ppt課件

1、10.4 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分, 對第一類曲線積對第一類曲線積分分: niiiiLsdsyx10),(lim),( 其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量, 在此質(zhì)量問題在此質(zhì)量問題中若把曲線改為曲面中若把曲線改為曲面, 線密度改為面密度線密度改為面密度, 小段曲線的小段曲線的弧長改為小塊曲面的面積弧長改為小塊曲面的面積, 相應(yīng)地得和式相應(yīng)地得和式.),(lim10 niiiiiS 一、對面積的曲面積分的概念和性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念和性質(zhì) 所謂曲面光滑即曲面上各點處所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面都

2、有切平面, 且當點在曲面上連續(xù)移且當點在曲面上連續(xù)移動時動時, 切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動. 分析分析: 我們同樣可以使用我們同樣可以使用“分割分割,近似近似, 求和求和, 取極限的方法討論該取極限的方法討論該曲面的質(zhì)量問題曲面的質(zhì)量問題. 實例實例: 若曲面若曲面 是光滑的是光滑的, 它的面密度它的面密度(x, y, z)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 求它的質(zhì)量求它的質(zhì)量.抽象概括得到對面積的曲面積分的概念抽象概括得到對面積的曲面積分的概念: 定義定義: 設(shè)曲面設(shè)曲面 是光滑的是光滑的, 函數(shù)函數(shù)f(x, y, z)在在 上有上有界界, 把把 任意分成任意分成n小塊小塊Si(同時同時Si也表

3、示第也表示第 i 小塊小塊曲面的面積曲面的面積), 設(shè)點設(shè)點(i, i, i)為為Si上任意取定的點上任意取定的點, 作乘積作乘積 f(i, i, i) Si,并作和并作和,),(1 niiiiiSf 如果當各小塊曲面的直徑的最大值如果當各小塊曲面的直徑的最大值0時時, 這和式的這和式的極限存在極限存在, 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面在曲面 上對面上對面積的曲面積分或第一類曲面積分積的曲面積分或第一類曲面積分. 并記為并記為: dSzyxf),(.),(lim10iiiniiSf dSzyxf),(即即其物理意義是面密度為其物理意義是面密度為f(x, y, z)的

4、曲面的曲面 的質(zhì)量的質(zhì)量. 其中其中f(x, y, z)叫作被積函數(shù)叫作被積函數(shù), 叫作積分曲面叫作積分曲面. 由上述定義可知由上述定義可知, 其性質(zhì)與對弧長的曲線積分的其性質(zhì)與對弧長的曲線積分的性質(zhì)完全類似性質(zhì)完全類似.對面積的曲面積分的性質(zhì)對面積的曲面積分的性質(zhì): .),(),(21 dSzyxfdSzyxf 21),( dSzyxf(1) 對函數(shù)的線性性質(zhì)對函數(shù)的線性性質(zhì): (2) 對積分曲面的可加性對積分曲面的可加性: (3) 存在性定理存在性定理: 若函數(shù)若函數(shù)f(x, y, z)在曲面在曲面 上連續(xù)上連續(xù), 則則f(x, y, z)在曲面在曲面 上對面積的曲面積分存在上對面積的曲面

5、積分存在. dSzyxgzyxf),(),(.),(),( dSzyxgdSzyxf二、對面積的曲線積分的計算法二、對面積的曲線積分的計算法 設(shè)積分曲面設(shè)積分曲面 的方程的方程: z=z(x, y), 在在xoy面上的面上的投影區(qū)域為投影區(qū)域為Dxy, 函數(shù)函數(shù)z=z(x, y)在在Dxy上具有連續(xù)的偏上具有連續(xù)的偏導數(shù)導數(shù),且設(shè)被積函數(shù)且設(shè)被積函數(shù)f(x, y, z)在在 上連續(xù)上連續(xù).Dxyz=z(x, y) SixozyiPi(i , i) 設(shè)設(shè) 上的第上的第 i 塊小曲面塊小曲面Si(它的面積也記作它的面積也記作Si)在在xoy面面上的投影區(qū)域為上的投影區(qū)域為i (它的面積也它的面積也

6、記作記作i),那么那么Si可表示為二重積分可表示為二重積分: idxdyyxzyxzSyxi .),(),(122 由假設(shè)條件由假設(shè)條件, 利用二重積分的利用二重積分的中值定理中值定理, 可得可得:,),(),(122iiiyiixizzS 其中其中(i ,i)i , 對應(yīng)曲面對應(yīng)曲面 上的點上的點Pi(i ,i, i), 且有且有i=z(i ,i). 作和式作和式:iiiniiSf ),(1 dSzyxf),(.),(),(1),(,(122 niiiiyiixiiiizzzf 由以上假設(shè)知由以上假設(shè)知: 上式兩邊當上式兩邊當0時的極限存在時的極限存在, 即即 iiiniiSf ),(lim

7、10 .),(),(1),(,(lim1220 niiiiyiixiiiizzzf 上式左邊為函數(shù)上式左邊為函數(shù)f(x, y, z)在在 上對面積的曲面積分上對面積的曲面積分, 而而右邊為一個在區(qū)域右邊為一個在區(qū)域Dxy上的二重積分上的二重積分, 因此有因此有.1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx 這就是將對面積的曲面積分化為二重積分的計算公式這就是將對面積的曲面積分化為二重積分的計算公式.按照曲面的不同情況分為以下三種計算公式按照曲面的不同情況分為以下三種計算公式: dSzyxf),(1) 若曲面若曲面 為為: z=z(x, y), 那么那么 .1),(,22dxdyzzyxzy

8、xfxyDyx dSzyxf),(2) 若曲面若曲面 為為: y=y(z, x), 那么那么 .1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(3) 若曲面若曲面 為為: x=x(y, z), 那么那么 .1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy 這就是把對面積的曲面積分化為二重積分的計算這就是把對面積的曲面積分化為二重積分的計算公式公式. 簡述為簡述為:一代、二換、三投影一代、二換、三投影 代代: 將曲面的方程將曲面的方程z=z(x, y)代入被積函數(shù)代入被積函數(shù);換換: 換面積元素換面積元素dS投影投影: 將曲面投影到將曲面投影到xoy坐標面坐標面, 得投影區(qū)域

9、得投影區(qū)域Dxy. 注注1: 這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù)這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù), 否否則可利用可加性則可利用可加性, 分塊計算分塊計算, 結(jié)果相加結(jié)果相加; 注注2: 把曲面投影到哪一個坐標面把曲面投影到哪一個坐標面, 取決于曲面方取決于曲面方程即方程的表達形式程即方程的表達形式; 注注3: 將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù)把被積函數(shù)化為二元函數(shù); 注注4: 切記任何時候都要換面積元切記任何時候都要換面積元.;122dxdyzzyx ,)( dSzyx其中其中 為平面為平面y+z=5被被 例例1: 計算計算

10、柱面柱面x2+y2=25所截得的部分所截得的部分. 解解: 積分曲面積分曲面 : z=5y, dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 其投影區(qū)域其投影區(qū)域Dxy: x2+y225, 面積元素面積元素: dSzyx)(故故 xyDdxdyyyx2)5( xyDdxdyx)5(2.2125 )5(2 xyxyDDxdxdydxdy052 xyDdxdy,)(22 dSyx22yxz 與平面與平面z=1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面. 解解: 將將 分成兩部分分成兩部分: , 10,:221 zyxz . 1, 1:222 yxz 例例2: 計算計算 其

11、中其中 為錐面為錐面 oxyz 2 1, 2在在xoy面的投影區(qū)域面的投影區(qū)域: D: x2+y2 1, dSyx)(22 Dyxdxdyzzyx22221)( 1 21)()(2222 dSyxdSyx Ddxdyyx)(22 Ddxdyyx2)(22 Ddxdyyx)(22 Ddxdyyx)()12(22 10220)12(rdrrd .221 ,122 dSyx例例3: 計算計算 其中其中 為介于平面為介于平面z=0與與 z=H之間的圓柱面之間的圓柱面x2+y2=R2. 解解: 令令 221:xRy 為為 在第一卦在第一卦 xyzo 1在在xoz面的投影區(qū)域為面的投影區(qū)域為Dzx: 0

12、z H, 0 x R,限的部分限的部分. 又由函數(shù)及積分曲面的對稱性有又由函數(shù)及積分曲面的對稱性有, 12222141dSyxdSyx zxDzxdxdzyyR222114 RHdxxRRdzR022024.2RH 例例4: 計算計算 ,| dSxyz其中其中 為拋物面為拋物面z=x2+y2 (0z1). xyzo 解解: 拋物面拋物面 : z=x2+y2和被積函和被積函數(shù)數(shù)| xyz |都關(guān)于坐標面都關(guān)于坐標面xoz, yoz對稱對稱.則依對稱性知則依對稱性知: 設(shè)設(shè)1為為 在第一卦限部分的曲面在第一卦限部分的曲面. dxdyzzdSyx221 ,)2()2(122dxdyyx dSxyz|

13、 1|4 dSxyz而而,41 dSxyz 1在在xoy面上的投影面上的投影Dxy: x2+y2 1, x 0, y 0. dSxyz|dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 rdrrrttrd 10222041sincos42 (用極坐標計算用極坐標計算) duuu251)41(41 .42015125 drrrtdtt2105041sincos42 drrr210541214 令令 u=1+4r2. 注注: 對面積的曲面積分有完全類似與三重積分的對面積的曲面積分有完全類似與三重積分的對稱性對稱性. 設(shè)設(shè) 對稱于對稱于xoy(或或yoz, 或或zox)坐標面坐標面, 若若f(

14、x, y, z)關(guān)于關(guān)于z (或或x,或或 y)是奇函數(shù)是奇函數(shù), 那么那么. 0),( dSzyxf若若f(x, y, z)關(guān)于關(guān)于z (或或x, 或或 y)是偶函數(shù)是偶函數(shù), 那么那么 .),(2),(1 dSzyxfdSzyxf其中其中1是是 位于對稱坐標面一側(cè)的部分位于對稱坐標面一側(cè)的部分. 例例5: 計算計算 ,)( dSzxyzxy解解: 在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域Dxy: x2+y22ax. ,22yxz ,2222yxyzyxxzyx xyDdxdyyxy222 cos20cos222ardrrrd其中其中 為錐面為錐面 22yxz 被柱面被柱面x2+y2=2ax所

15、截得的部分所截得的部分. 積分曲面方程積分曲面方程: 那么那么 dSzxyzxy)(故故 2244cos1641cos2 da 2054cos28 da.152644a 由于積分曲面關(guān)于由于積分曲面關(guān)于yoz坐標面對稱坐標面對稱, dSyz,)(222 dSzyx例例6: 計算計算 x2+y2+z2=a2的八面體的八面體| x |+| y |+| z |=a 的表面的表面. 其中其中 為內(nèi)接于球面為內(nèi)接于球面 解解: 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x, y, z)=x2+y2+z2關(guān)于坐標面關(guān)于坐標面, 原點原點均對稱均對稱. 積分曲面積分曲面 也具有同樣的對稱性也具有同樣的對稱性. 設(shè)設(shè)1表示表示 在

16、第一卦限部分的曲面在第一卦限部分的曲面. 故原積分滿足故原積分滿足: dSzyx)(222,)(81222 dSzyx而而1的方程為的方程為: x+y+z=a, 即即 z=axy, dxdyzzdSyx221 .3dxdy 所以所以 xzyoaaa 1dxdyyxayxxyD 3)(8222.324a dSzyx)(222重心重心: , dSdSxx, dSdSyy. dSdSzz轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量: ,)(22 dSzyIx,)(22 dSzxIy.)(22 dSyxIz幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用 . dSA質(zhì)量質(zhì)量: .),( dSzyxM對面積的曲面積分的應(yīng)用對面積的曲面積分的應(yīng)用 物理應(yīng)用物理應(yīng)用

17、 曲面曲面 的面積的面積:例例7: 求均勻曲面求均勻曲面 222yxaz 的重心坐標的重心坐標. 解解: 由上半球面的對稱性知由上半球面的對稱性知: , 0, 0 yx. dSzdSzdxdyzzdSDyx 221 dxdyyxaaD 222rdrraada 02220 .22a D: x2+y2a2.dxdyzzyxazdSDyx 222221 dxdyyxaayxaD 222222 Ddxdya.3a ,2az 故重心坐標為故重心坐標為(0, 0, a/2). 所以所以 dSyxIz)(220 Dyxdxdyzzyx222201)( Ddxdyyxaayx222220)( ardrrard

18、a02222001 .3440a 例例8: 求密度為求密度為0的均勻半球殼的均勻半球殼x2+y2+z2=a2(z0)對于對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz.解解:半球殼在半球殼在xoy面上的投影面上的投影D: x2+y2a2. 所以所以 例例9: 計算計算 ,)( dSczbyax解解: 由奇偶對稱性知由奇偶對稱性知: , 0 ydSxdS上半球面上半球面1: ;222yxRRz 下半球面下半球面2: 21 czdSczdS DdRc 2.43cR 其中其中 為球面為球面 x2+y2+z2=2Rz 的整個表面的整個表面.為計算為計算 須將須將 分成兩部分分成兩部分: , zdS.222yxRRz dSczbyax)( 1, 2在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域 D: x2+y2 R2. 另解另解: 由曲面形心公式由曲面形心公式, ,42RdS .43cR . dSdSzz. dSzcczdS而而 的形心坐標為的形心坐標為(0, 0, R), 所以所以,