四邊形的旋轉(zhuǎn)與翻折

1、（一）正三角形類型 在正ABC中，P為卜ABC內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60,使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣 旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個(gè)厶PCP中，此時(shí)PAP也為正三角形。圖(M)(1-2)卩例1.如圖：（1-1）:設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5，/APB的度數(shù)是 _（二）正方形類型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，使得BA與BC重 合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的CPP中，此時(shí)BPP圖(2-1-

2、b)-例2.如圖（2-1） :P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=1,PB=2,PC=3。求此正方形ABCD面積。8圖p-1-a)BC為等腰直角三角形。圖(2-2)卩（三）等腰直角三角形類型在等腰直角三角形ABC中，/C=Rt/, P為厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，將APC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90,使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個(gè)厶P CP為等腰直角三角形。圖(3-bb) $例3.如圖，在厶ABC中，/ACB =900,BC=AC,P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3,PB=1,PC=2。求/BPC的度數(shù)。平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種

3、基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對給定的圖形（或其一 部分）施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系這類實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開放，注重 考查學(xué)生的猜想、探索能力；便于與其它知識相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學(xué)生分析問題和解決問題的ffi (2-1)圖（3-1-討AB能力在這一理念的引導(dǎo)下，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是比前兩年大幅度提高。為幫助廣大考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的知識來解決相關(guān)的問題， 下面以近幾年中考題為例說明其解法，供大家參考。一平移、旋轉(zhuǎn)平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動稱為平移

4、“一定的方向”稱 為平移方向，“ 一定的距離”稱為平移距離。平移特征：圖形平移時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)的平移方向都相同，平移距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動一個(gè)角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角。例1如圖，將ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 o后得至UAABC,且C為BC的中點(diǎn)，貝U CD:DB=(點(diǎn)評：本例考查靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)、等邊三角形的判斷和含30 o角的直角三角形的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)ACC是等邊三角形

5、.二、翻折翻折：翻折是指把一個(gè)圖形按某一直線翻折180。后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線就是對稱軸。2006年中考，這一部分的分值C.1:D.1:3解這類題抓住翻折前后兩個(gè)圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。翻折在三大圖形運(yùn)動中是比較重要的，考查得較多另外，從運(yùn)動變化得圖形得特殊位置探索出一般的 結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運(yùn)動變化問題是極為重要的，值得大家留例2.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若/BAD=30。，則zAED等于（）點(diǎn)評

6、：本例考查靈活運(yùn)用翻折前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)的能力,ZAED例文（2幗6#南審巾）己知矩形紙片戈戈U,箱紙片折番佚頂點(diǎn)ARKD上的點(diǎn)E車合.如果折IgFGj別與AD、AB女與點(diǎn)只G（如圈廿仝. 求DF的長* *點(diǎn)評：圖形沿某條線折疊，這條線就是對稱軸，利用軸對稱的性質(zhì)并借助方程的的知識就能較快得到計(jì)算結(jié)果。由此看出，近幾年中考，重點(diǎn)突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形運(yùn)動的思想（圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運(yùn)動）都一一考查到了.因此在平時(shí)抓住這三種運(yùn)動的特征和基本解題思路來指導(dǎo)我們的 復(fù)習(xí)，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學(xué)們動手能

7、力、觀察能力的好素 材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容。題型多以填空題、計(jì)算題呈現(xiàn)。在解答此類問題時(shí)，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到求解的目的。例1:如圖，直角梯形ABCD中，AD /BC,AB丄BC,AD=2,BC=3，將腰CD以D為中心，逆時(shí)針A.30B.45C.60D.75解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)/EAD=ZEAD，AED=旋轉(zhuǎn)90 至ED，連結(jié)AE、CE,UAADE的面積是（）A 1 B 2 C 3 D不能確定點(diǎn)評：明確ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成DE,作梯形高是常見的解題方法之一。變式題1:如圖，已知ABC中AB=AC,Z

8、BAC =90，直角ZEPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE,PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,給出以下五個(gè)結(jié)論:P(1)AE=CF(2)ZAPE= /CPF(3)AEPF是等腰直角三角形(4)EF=AP(5)S四邊形AEPF= SZABC邊，當(dāng)/EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合）上述結(jié)論中始終正確的序號有_例2 D、E為AB的中點(diǎn)，將ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處。若/B=50。，則zBDF=_點(diǎn)評：幾何變換沒有可套用的模式，關(guān)鍵是同學(xué)們要善于多角度、多層次、多側(cè)面地思考問題，觀察問題、 分析問題。變式題2:如圖，矩形紙片ABCD，AB=2，/ADB=30。，將它沿對角線

9、BD折疊(使ABD和AEBD落在同平面內(nèi))貝U A、E兩點(diǎn)間的距離為_旋轉(zhuǎn)具有以下特征:(1)圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度;(2)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(3)對應(yīng)角、對應(yīng)線段相等；(4)圖形的形狀和大小都不變。利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問題，如求線段長求角的大小例：如圖，已知長方形ABCD的周長為20,AB=4，點(diǎn)E在BC上，且AE丄EF,AE=EF，求CF的長。的大小。三.進(jìn)行幾何推理例：如圖，點(diǎn)F在正方形ABCD的邊BC上，AE平分/DAF，請說明DE=AF-BF成立的理由數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛，一般可以

10、歸結(jié)為兩種思想一一對稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下：1、對稱的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對稱這些概念中，對稱這一概念非常重要.它包括軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、中心對稱對稱是一種種要的思想方法，在解題的應(yīng)用非常廣泛例：觀察圖中所給的圖案，它可以看成由哪個(gè)較基本的圖形經(jīng)過哪些運(yùn)動變換產(chǎn)生的？它是不是軸對稱圖形？旋轉(zhuǎn)對稱圖形？中心對稱圖形？例:如圖，在等邊B中，點(diǎn)E、D分別為AB、BC上的兩點(diǎn)，且BE=CD,AD與CE交于點(diǎn)M,求JME分析： 這是一個(gè)涉及軸對稱平移、旋轉(zhuǎn)的綜合性例子。解題思路主要通過直觀觀察取得。這個(gè)圖案較基本的圖形是正方形，一個(gè)小正方形沿對角線方向平移一個(gè)對角線長、兩個(gè)對角線長后得一正方

11、形串，然后在串的軸線上找一點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個(gè)90。后得到題目中給出的圖案，整個(gè)過程如圖所示。這個(gè)圖形是軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱中心對稱圖形。方法探究：這里的較基本圖形也可以看成線段。一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形，然后重復(fù)上面的過程。2、旋轉(zhuǎn)的思想： 旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，通過圖形旋轉(zhuǎn)變換，從而將一些簡單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢?，使問題獲得簡單的解決，它是一種要的解題方法。例：如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P,/PAD=/PDA=15，連結(jié)PB、PC,請問：APBC是等邊三角形嗎? 為什么？1.如圖，KBC是等腰直角三角形，BC為斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,能與AACP重合，如果

12、AP=3，請求出PP的長.2.如圖，在ABC中，/BAC=120。，以BC為邊向形外作等邊三角形BCD,AABD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60后得到ZECD，若AB=3,AC=2，求/BAD的度數(shù)與AD的長.3.如圖，點(diǎn)0是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，/AOB=110。，啟0C=.將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC，連接0D.(1)試說明：COD是等邊三角形；(2)當(dāng)=150。時(shí)，試判斷AOD的形狀，并說明理由;(3)探究：當(dāng)為多少度時(shí)，AOD是等腰三角形？4.如圖在CABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的任意兩點(diǎn)，SAPB20cm2,SCDQ30cm2，則S陰影5.如圖，已知在CABCD中，E、

13、F是對角線BD上的兩點(diǎn)，BE=DF,點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長線上,且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG.求證：四邊形GEHF是平行四邊形.6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、N，則 ZBME= ZCNE (不需證明).小明的思路是：在圖1中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而/1= /2，再利用平行線性質(zhì)，可證得/BME= ZCNE.(1):如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF,分別交

14、DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷AOMN的形狀，請直接寫出結(jié)論;(2):如圖3，在ABC中，ACAB,D點(diǎn)在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)G,若/EFC=60，連接GD，判斷AGD的形狀并證明.7.如圖，在ABC中，AB=AC,AD是AABC的角平分線，點(diǎn)0位AB的中點(diǎn)，連接DO并延長到點(diǎn)E,使OE=OD，連接AE、BE(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說明理由.8如圖，平行四邊形ABCD中，AB AC,AB 1,BCAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC, AD于點(diǎn)E, F.(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形;(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等;(3) 在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).5對角線AC, BD相交于點(diǎn)O,將直線BE5團(tuán)】9.在ABC中，AB=AC，/BAC=a(0a60 )將線段BC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD。(1)如圖1，直接寫出/ABD的大小(用含a的式子表示)