數(shù)學物理方法-新建第14講ppt課件

1、14. Legendre 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)2019. 6. 3一一. Legendre. Legendre方程的引出方程的引出球形域上三維靜電場問題中球形域上三維靜電場問題中, 外電勢滿足外電勢滿足 Laplace 例：例：方程。方程。分析：分析：即即求其分別變量解。求其分別變量解。求解時常將其寫成球坐標方式：求解時常將其寫成球坐標方式： , 0),(2 ru. 0sin1)(sinsin1)(12222222 ururrurrr設解為設解為 , )( )( )( rRu 得得代入上方程并乘以代入上方程并乘以) (2 Rr. 0ddsin1)dd(sinddsin1)dd(dd12222

2、rRrrR后兩項與后兩項與 r 無關無關, 于是于是有有(1) . )dd(dd12 rRrrR (2) .ddsin1)dd(sinddsin1222 為方便為方便, 常把常把 l 寫成寫成 l (l+1). 于是于是 (1) 化為歐拉方程：化為歐拉方程：其通解為其通解為. )1( llrBrAR上式可化為上式可化為 (3) ). , 2 , 1 , 0( ,dd1222 mm , 0)1(dd2dd222 RllrRrrRr (3) 并自然周期條件可得并自然周期條件可得. cos sin mDmC (2) 式乘以式乘以 2sin得得 . 0dd1sin)1()dd(sinddsin222

3、ll(4) . sin)1()dd(sinddsin22mll 方程方程 (4) 整理為整理為(5) . 0sin)1(ddcotdd2222 mll稱之為稱之為 Legendre 方程。方程。其中其中 . 11 x (6) , 01)1(dd2dd)1(22222 PxmllxPxxPx該方程該方程 添加自然邊境條件添加自然邊境條件令令并將并將 , cos x )( 改寫為改寫為, )(xp那么那么 (5) 變變?yōu)闉榇朔匠谭Q為關聯(lián)此方程稱為關聯(lián) Legendre 方程。方程。假設定解問題假設定解問題與與 無關無關, 那么那么F 亦然亦然, m = 0 。此時此時(6) 成為成為 (7) ,

4、0) 1( 2 )1 (2 PllxPPx | )1(| P構本錢征值問題構本錢征值問題, 為為和和 ), 2 , 1 , 0( , nnl ,)!2()!( !2! )( 2 ) 1()(02 MkknnknxknknkknxP). , 2 , 1 , 0 ( 12 ,2)1( 2 ,2 aanna nnM其本征值和本征函數(shù)其本征值和本征函數(shù)這樣在軸對稱假設下得到問題的級數(shù)解這樣在軸對稱假設下得到問題的級數(shù)解 )(cos )(),(0)1( nnnnnnPrBrAru 進一步的求解須知進一步的求解須知 Legendre 多項式的性質(zhì)。多項式的性質(zhì)。后面的討論中，我們只思索軸對稱問題。后面的討

5、論中，我們只思索軸對稱問題。二二. Legendre. Legendre多項式的性質(zhì)多項式的性質(zhì)1. Legendre多項式的為微分表示多項式的為微分表示 (7) . 0)1( 2 )1(2 PnnxPPx首先證明首先證明nnnxxxf1)(dd)(2 滿足滿足 Legendre 方程方程令令 , 1)(2nxy 那那么么 , 1)(212 nxnxy因此因此nxnxyx1)(2 )1(22 nxy2 上式兩端同求上式兩端同求 n + 1 階導數(shù)階導數(shù),得得 22)1( 2)1( )1()()1()2(2nnnynnxynyx )()1(2)1(2nnnynnnxy 即即 0, )1( 2 )

6、1()()1()2(2 nnnynnxyyx因此因此0. )1( 2 )1(2 fnnxffx. 0)1( 2 )1(2 PnnxPPx即即nnnxxxf1)(dd)(2 滿足滿足 Legendre 方程方程因此因此nnnnnxxnxfnxP1)(dd!21)(!21)(2 也是解。也是解。由二項式定理可證明這里的由二項式定理可證明這里的 )(xP就是就是n 階階Legendre多項式多項式 . )(xPn2. Legendre多項式的為積分表示多項式的為積分表示據(jù)復變函數(shù)中高階導數(shù)公式據(jù)復變函數(shù)中高階導數(shù)公式 ,)(d )(2!)(1)( Lnnxzzzfinxf 可得可得nnnnnxxnx

7、P)1(dd!21)(2 , )(d 1)(22112 Lnnnxzzzi L 是圍繞是圍繞 z = x 的任一正向閉曲線。的任一正向閉曲線。 特別地特別地, 取半徑為取半徑為 12x 的圓周為的圓周為L, 那那么么 . )( , 12 iexxz . d1 d , 122 iiexizexxz 由此得由此得 )1(2)1(22)1(2d 1 21)(ninninexexiixP.)1 1()1 1(22niniexxexx 其中其中化簡得化簡得 d)cos 1(21)(2nnxxxP此式稱為此式稱為Legendre 多項式的多項式的 Laplace 積分。積分。 0 2d)cos 1(1nx

8、x令令 cos x得得 0 d)cos sin(cos1)(nnixP由積分表達式可得由積分表達式可得 , 1)1( nP .)1()1(nnP 3. Legendre多項式的母函數(shù)多項式的母函數(shù)假設一個函數(shù)按某一自變量作冪級數(shù)展開時假設一個函數(shù)按某一自變量作冪級數(shù)展開時, 其系數(shù)其系數(shù)是是例如假例如假設設 , )(),(0nnntxPtxf Legendre 多項式多項式, 那么稱該函數(shù)為那么稱該函數(shù)為Legendre 多項式多項式的的母函數(shù)。母函數(shù)。就稱就稱 f (x,t) 為為Legendre 多項式的母函數(shù)。多項式的母函數(shù)。思索復變函數(shù)思索復變函數(shù) .)21(),(212 txttxw

9、當當 1 | t時，時， 將其展開為將其展開為 , )(),(0 nnntxCtxw那么那么有有 , d )21(21)(1212 LnntttxtixC L 是區(qū)域是區(qū)域 | t | 1 內(nèi)任一正向閉曲線。內(nèi)任一正向閉曲線。 作變換作變換uttxt 1)21(212 LnntttxtixC d )21( 21)(1212 L1 是是 L 在上述變換下的象在上述變換下的象, 是含點是含點u = x 的閉曲線。的閉曲線。 1 d)(2 1)( 2112Lnnnuxuui 那那么么.1)(22 uxut ).(xPn 根據(jù)高階導數(shù)公式根據(jù)高階導數(shù)公式)(! 2)(d )(0)(10zfnizzzz

10、fnLn xunnnnnuunxC 1)(dd!21)(2得得因此因此, )(),(0 nnntxPtxw母函數(shù)。母函數(shù)。即即 w (x,t) 為為Legendre 多項式的多項式的Legendre 多項式滿足如下遞推公式：多項式滿足如下遞推公式：4. Legendre多項式的遞推公式多項式的遞推公式1. 0;)( )( ) 12()( ) 1(11 xnPxPxnxPnnnn2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPnnnn3. . 0 )( )( )(11 xPxxPxnPnnn4. . )( 1) (2 )( )( 11xPnxPxPnnn 由由212)21(),( txttxw 0

11、 )(nnntxP兩邊對兩邊對 t 求求偏偏導數(shù)得導數(shù)得 11232 )()21 ( )(nnntxnPtxttx. )()1()21( )()(0120 nnnnnntxPntxttxPtx首先證明首先證明 1. 0;)( )( ) 12()( ) 1(11 xnPxPxnxPnnnn兩邊同乘兩邊同乘)21(2txt 得得 01 )() 1(nnntxPn比較比較nt的系數(shù)得的系數(shù)得).()1()(2)()1()()(111xPnxnxPxPnxPxxPnnnnn 整理即得整理即得 1.下面證明下面證明 2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPnnnn由由212)21(),( txtt

12、xw 0 )(nnntxP分別對分別對 x, t 求求偏導數(shù)得偏導數(shù)得 0232 )( )21( nnntxPtxtt 11232 )()21( )(nnntxnPtxttx于是于是. )( )( )(10 nnnnnntxnPtxPtx由于由于, 0)( 0 xP故故 0110 )( )( )( )(nnnnnnnnntxPtxPxtxPtx. )( )( )( 1111 nnnnnnnnntxnPtxPtxPx即即 2 成立。成立。下面證明下面證明 3. . 0 )( )( )(11 xPxxPxnPnnn對對 1 式式求導得求導得0)( )( ) 12()( ) 1(11 xnPxPxn

13、xPnnnn0)( )( ) 12()() 12()( ) 1(11 xnPxxPnxPnxPnnnnn對對 2 式式乘以乘以 n 得得 0)( )( )( 1 xPxPxxPnnnn 0)( )( )( 12 xnPxPxnxPnnnn兩式相減得兩式相減得 0, )( ) 1()() 1()( ) 1(21 xxPnxPnxPnnnn即即 0, )( )( )() 1(1 xxPxPxPnnnn此即此即 3。由由 2, 3 可得可得 4。一一. Legendre. Legendre多項式的正交歸一性多項式的正交歸一性Legendre 多項式在多項式在 1 , 1 上滿足正交歸一關系：上滿足正

14、交歸一關系： . ),1(22 , 0 d )()(1 1 knnknxxPxPknLegendre 方程為方程為 . 0)1(2 )1(2 yllxyyx寫成寫成 Sturm-Liouviller 方程方式為方程方式為 , 0 dd )1(dd2 yxyxx 附加條件附加條件 )1( y后構本錢征值問題后構本錢征值問題, 其特征值其特征值和對應的特征函數(shù)分別為和對應的特征函數(shù)分別為), 2 , 1 , 0( )1( nnn 和和).(xPn因此自然有因此自然有). ( , 0d )()(1 1 knxxPxPkn 母函數(shù)關系式母函數(shù)關系式 0212 )()21 (nnntxPtxt兩邊平方得

15、兩邊平方得2012 )()21 ( nnntxPtxt兩邊積分得兩邊積分得 00111112 d )( )(d)21 (nmnmmntxxPxPxtxt利用正交性得利用正交性得 021121 12 d )(| )21ln(21nnntxxPtxtt. d )(11ln210 2112 nnntxxPtt即即. 1 2211ln210 2 nntntt而而.122d )(112 nxxPn因此因此稱之為稱之為Legendre 多項式的多項式的模方模方, 記作記作 , 2nN即即.122 2 nNn 00 )( )(nmnmmntxPxP定理定理. 設設 f (x) 是是-1,1 上的分段光滑的實

16、值函數(shù)上的分段光滑的實值函數(shù), 且且 , )(0 nnnxPC二二. .按按 LegendreLegendre多項式作廣義傅里葉展開多項式作廣義傅里葉展開xxfd )(112 積分積分具有有限值，具有有限值， 那么那么 f (x)可按可按 Legendre多項式展開為無窮級數(shù)多項式展開為無窮級數(shù)其中其中 112d )()(1xxPxfNCnnn . d )()(21211 xxPxfnn對對(1,1)(1,1) 內(nèi)任一內(nèi)任一 x , 此級數(shù)收斂于此級數(shù)收斂于 f (x)在在 x 處左右處左右極限的平均值。極限的平均值。 即延續(xù)點處級數(shù)收斂于即延續(xù)點處級數(shù)收斂于 f (x)本身。本身。在在例例

17、1.(1,1)(1,1) 內(nèi)將內(nèi)將3 )(xxf 按按)(xPn展開為展開為F-L 級數(shù)。級數(shù)。解：解： , )(03 nnnxPCx設設因因)(xPn是是 n 次多項式，次多項式， 所以所以).3( , 0 nCn)()()()(332211003xPCxPCxPCxPCx 即即235)(33xxxP 又又,2)(3513xPx 因此因此 . )(52)(53313xPxPx 計算計算例例 2. . d )(11xxPn 解：解：因因 , 1)(0 xP故故 . d )( )(d )(11011xxPxPxxPnn 由正交性知由正交性知 . )0( , 0 d )(11 nxxPn而而 .

18、2 d )(110 xxP 1111 1d)()(d)( xxPxPxxxPnn計算計算例例 3. . d )(11xxxPn 解：解：211 ,Nn 其中其中 1 , 1 1 , 0 ,1nnn , 11221 ,n 計算計算例例 4. . d )(10 xxPn 解：解：當當 0 n時時, . 1d )(10 xxPn . 0 當當n為非零偶數(shù)時為非零偶數(shù)時,xxPxxPnnd )( 2d )(11 10 當當n為奇數(shù)時為奇數(shù)時, 利用公式利用公式 )( 1) (2 )( )( 11xPnxPxPnnn 得得xxPxPnxxPnnnd )( )( 121d )(110 110 )0() 1 ()0() 1 ( 1211111 nnnnPPPPn. )0() 0( 12111 nnPPn由由22 !)!2()!2(1)()0(kkPkk 可得結果?？傻媒Y果。半徑為半徑為a