角平分線性質(zhì)1(2013年岳修改）

1、角平分線的性質(zhì)（角平分線的性質(zhì)（1） 不利用工具，請(qǐng)你將一張紙片上的不利用工具，請(qǐng)你將一張紙片上的角平分成兩個(gè)相等的角角平分成兩個(gè)相等的角.你有什么辦法？你有什么辦法？AOBC活活 動(dòng)動(dòng)1（對(duì)折）（對(duì)折）1.如圖，是一個(gè)角平分儀，如圖，是一個(gè)角平分儀，其中其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)放在角的頂點(diǎn),AB和和AD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一條射線畫一條射線AE,AE就是角平就是角平分線，你能說(shuō)明它的道理嗎分線，你能說(shuō)明它的道理嗎?活活 動(dòng)動(dòng)2ADBCE 如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的

2、角，又該怎么辦呢？ 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）量角器）OABCE活活 動(dòng)動(dòng)3NOMCENM尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖已知已知:AOB,:AOB,如圖如圖. .求作求作: :射線射線OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC.作法作法: :用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .1.1.在在OAOA和和OBOB上分別截取上分別截取OD,OE,OD,OE,使使OD=OE.OD=OE.2.2.分別以點(diǎn)分別以點(diǎn)D D和和E E為圓心為圓心, ,以大于以大于DE/2DE/2長(zhǎng)長(zhǎng)為半徑作弧為半徑作弧, ,兩弧

3、在兩弧在 AOBAOB內(nèi)交于點(diǎn)內(nèi)交于點(diǎn)C.C.3.3.作射線作射線OC.OC.老師提示老師提示: :作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法這種方法要確實(shí)掌握要確實(shí)掌握.則射線則射線OCOC就是就是AOBAOB的平分線的平分線. .問題問題：請(qǐng)你說(shuō)明：請(qǐng)你說(shuō)明OCOC為什么是為什么是AOBAOB的平分線的平分線, ,并與同伴進(jìn)行交流并與同伴進(jìn)行交流. .O仔細(xì)觀察步驟仔細(xì)觀察步驟1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過(guò)上面的步驟，得到射線通過(guò)上面的步驟，得到射線OCOC以后，以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線把它反向延長(zhǎng)得到直線CDCD，直線，直線CDCD與直線與直線AB

4、AB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？ 3 3結(jié)論結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法線的方法. .活活 動(dòng)動(dòng)4ABOCD探究角平分線的性質(zhì) (1)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)：將：將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？能得出什么結(jié)論？活活 動(dòng)動(dòng)5 (2)(2)猜想猜想: : 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. .

5、求證：求證：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等已知：如圖已知：如圖OP是是AOB的平分線，的平分線， PD OA 于于D，PE OB于于E.求證：求證：PD=PE.AOBPED12證明：證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB PDO= PEO=900 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對(duì)（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）應(yīng)邊相等） 角平分線的性質(zhì)定理角平

6、分線的性質(zhì)定理活活 動(dòng)動(dòng)5 EDOABCPOABCPEDOABCPED根據(jù)定理判斷下圖根據(jù)定理判斷下圖中中:PE=PD?為什么為什么?歸納：歸納：證明證明文字命題文字命題的步驟的步驟：1.明確命題的明確命題的已知已知和和求證求證（即（即題設(shè)題設(shè)和和結(jié)結(jié)論論）；）；2.根據(jù)題設(shè)和結(jié)論畫出圖形，并用數(shù)學(xué)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示符號(hào)語(yǔ)言表示已知已知和和求證求證；3.經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證（即經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證（即結(jié)論）的途徑，寫出結(jié)論）的途徑，寫出證明證明過(guò)程過(guò)程.如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)P在在AOB的平的平分線上，分線上，PE OA于點(diǎn)于點(diǎn)E,PF OA于點(diǎn)于點(diǎn)F，若，

7、若PE=3，則，則PF= . 3基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練 變式變式1：如圖，如圖，:OP平分平分MON,PA ON于點(diǎn)于點(diǎn)A，點(diǎn)點(diǎn)Q是射線是射線OM上的一個(gè)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn).若若PA=2，則，則PQ的的最小值為最小值為= . 220基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練 變式變式2：在在ABC中，中，BAC和和ABC的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)P,若點(diǎn)若點(diǎn)P到到AB的距離為的距離為10，則它到邊，則它到邊AC和和BC的距離和為的距離和為 . 變式變式3：如圖，如圖，BD是是ABC的平分線的平分線,DE AB于于E，AB=18cm,BC=12cm,則則DE= . 290cmSABC6cm基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練 變式變式4：如圖

8、，如圖，AD/BC,ABC的角的角平分線平分線BP與與BAC的角平分線的角平分線AP相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E，若，若PE=2，則兩平行線，則兩平行線AD與與BC間的距離為間的距離為 . 4變式變式5：在在ABC中，中，C=90，AC=BC，AD平分線平分線CAB交交BC于于點(diǎn)點(diǎn)D,DEAB于于E,且且AB=6cm,則則DEB的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 . 6cm基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練 能力訓(xùn)練能力訓(xùn)練 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)E是是AOB的平分線上一的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)，EC OA于點(diǎn)于點(diǎn)C,ED OB于點(diǎn)于點(diǎn)D.試判斷線段試判斷線段OC與與OD的數(shù)量關(guān)系的數(shù)量關(guān)系. 能力訓(xùn)練能力訓(xùn)練 變式變式1：如圖，如圖，OD平分平分A

9、OB，在，在OA,OB邊上取邊上取OA=OB,P為為OD上一上一點(diǎn)，點(diǎn)，PM BD于點(diǎn)于點(diǎn)M,PN AD于點(diǎn)于點(diǎn)N.求證：求證：PM=PN. 變式變式2：如 圖 ： 在 如 圖 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF. 求證：求證：CF=EBACDEBF能力訓(xùn)練能力訓(xùn)練 老師期望老師期望: : “悟悟”點(diǎn)東西：點(diǎn)東西：有角平分線一定要想有角平分線一定要想“角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理”. . 能力訓(xùn)練能力訓(xùn)練 變式變式3：如圖，已知：在四邊形如圖，已知：在四邊形ABCD中，中，BCAB,AD=CD,BD平

10、分平分ABC.（1）求證：）求證：BAC+C=180；（2）若把）若把 BAC+C=180改為已改為已知條件，把知條件，把AD=CD改為結(jié)論，此命題改為結(jié)論，此命題是真命題？（不用證明）是真命題？（不用證明）. 變式變式4 4：如圖：已知：如圖：已知：PAPA平平分分BACBAC，PBABPBAB于于B B， PCACPCAC于于C,DC,D是是APAP上的一點(diǎn)上的一點(diǎn). . （1 1）試證明：）試證明：DB=DC;DB=DC;(2)(2)若點(diǎn)若點(diǎn)D D在在APAP的延長(zhǎng)線上的延長(zhǎng)線上，則（，則（1 1）中的結(jié)論是否仍）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由然成立？并說(shuō)明理由. .能力訓(xùn)練能力訓(xùn)練 變式變式5 5：已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的是它的角平分線角平分線, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足垂足分別是分別是E,F.E,F.求證求證:EB=FC. :EB=FC. BAEDCF能力訓(xùn)練能力訓(xùn)練 在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等AOBPED角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理已知：如圖已知：如圖OP是是AOB的平分線，的平分線，