角平分線性質1(2013年岳修改）

1、角平分線的性質（角平分線的性質（1） 不利用工具，請你將一張紙片上的不利用工具，請你將一張紙片上的角平分成兩個相等的角角平分成兩個相等的角.你有什么辦法？你有什么辦法？AOBC活活 動動1（對折）（對折）1.如圖，是一個角平分儀，如圖，是一個角平分儀，其中其中AB=AD,BC=DC.將點將點A放在角的頂點放在角的頂點,AB和和AD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一條射線畫一條射線AE,AE就是角平就是角平分線，你能說明它的道理嗎分線，你能說明它的道理嗎?活活 動動2ADBCE 如果前面活動中的紙片換成木板、如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的

2、角，又該怎么辦呢？ 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）量角器）OABCE活活 動動3NOMCENM尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖已知已知:AOB,:AOB,如圖如圖. .求作求作: :射線射線OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC.作法作法: :用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .1.1.在在OAOA和和OBOB上分別截取上分別截取OD,OE,OD,OE,使使OD=OE.OD=OE.2.2.分別以點分別以點D D和和E E為圓心為圓心, ,以大于以大于DE/2DE/2長長為半徑作弧為半徑作弧, ,兩弧

3、在兩弧在 AOBAOB內交于點內交于點C.C.3.3.作射線作射線OC.OC.老師提示老師提示: :作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法這種方法要確實掌握要確實掌握.則射線則射線OCOC就是就是AOBAOB的平分線的平分線. .問題問題：請你說明：請你說明OCOC為什么是為什么是AOBAOB的平分線的平分線, ,并與同伴進行交流并與同伴進行交流. .O仔細觀察步驟仔細觀察步驟1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過上面的步驟，得到射線通過上面的步驟，得到射線OCOC以后，以后，把它反向延長得到直線把它反向延長得到直線CDCD，直線，直線CDCD與直線與直線AB

4、AB是什么關系？是什么關系？ 3 3結論結論：作平角的平分線即可平分平角，：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法線的方法. .活活 動動4ABOCD探究角平分線的性質 (1)實驗實驗：將：將AOB對折，再折出一個直對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？能得出什么結論？活活 動動5 (2)(2)猜想猜想: : 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. .

5、求證：求證：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等已知：如圖已知：如圖OP是是AOB的平分線，的平分線， PD OA 于于D，PE OB于于E.求證：求證：PD=PE.AOBPED12證明：證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB PDO= PEO=900 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對（全等三角形的對應邊相等）應邊相等） 角平分線的性質定理角平

6、分線的性質定理活活 動動5 EDOABCPOABCPEDOABCPED根據(jù)定理判斷下圖根據(jù)定理判斷下圖中中:PE=PD?為什么為什么?歸納：歸納：證明證明文字命題文字命題的步驟的步驟：1.明確命題的明確命題的已知已知和和求證求證（即（即題設題設和和結結論論）；）；2.根據(jù)題設和結論畫出圖形，并用數(shù)學根據(jù)題設和結論畫出圖形，并用數(shù)學符號語言表示符號語言表示已知已知和和求證求證；3.經過分析，找出由已知推出求證（即經過分析，找出由已知推出求證（即結論）的途徑，寫出結論）的途徑，寫出證明證明過程過程.如圖，點如圖，點P在在AOB的平的平分線上，分線上，PE OA于點于點E,PF OA于點于點F，若，

7、若PE=3，則，則PF= . 3基礎訓練基礎訓練 變式變式1：如圖，如圖，:OP平分平分MON,PA ON于點于點A，點點Q是射線是射線OM上的一個上的一個動點動點.若若PA=2，則，則PQ的的最小值為最小值為= . 220基礎訓練基礎訓練 變式變式2：在在ABC中，中，BAC和和ABC的平分線相交于點的平分線相交于點P,若點若點P到到AB的距離為的距離為10，則它到邊，則它到邊AC和和BC的距離和為的距離和為 . 變式變式3：如圖，如圖，BD是是ABC的平分線的平分線,DE AB于于E，AB=18cm,BC=12cm,則則DE= . 290cmSABC6cm基礎訓練基礎訓練 變式變式4：如圖

8、，如圖，AD/BC,ABC的角的角平分線平分線BP與與BAC的角平分線的角平分線AP相交于點相交于點E，若，若PE=2，則兩平行線，則兩平行線AD與與BC間的距離為間的距離為 . 4變式變式5：在在ABC中，中，C=90，AC=BC，AD平分線平分線CAB交交BC于于點點D,DEAB于于E,且且AB=6cm,則則DEB的周長為的周長為 . 6cm基礎訓練基礎訓練 能力訓練能力訓練 如圖，點如圖，點E是是AOB的平分線上一的平分線上一點，點，EC OA于點于點C,ED OB于點于點D.試判斷線段試判斷線段OC與與OD的數(shù)量關系的數(shù)量關系. 能力訓練能力訓練 變式變式1：如圖，如圖，OD平分平分A

9、OB，在，在OA,OB邊上取邊上取OA=OB,P為為OD上一上一點，點，PM BD于點于點M,PN AD于點于點N.求證：求證：PM=PN. 變式變式2：如 圖 ： 在 如 圖 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF. 求證：求證：CF=EBACDEBF能力訓練能力訓練 老師期望老師期望: : “悟悟”點東西：點東西：有角平分線一定要想有角平分線一定要想“角平分線的性質定理角平分線的性質定理”. . 能力訓練能力訓練 變式變式3：如圖，已知：在四邊形如圖，已知：在四邊形ABCD中，中，BCAB,AD=CD,BD平

10、分平分ABC.（1）求證：）求證：BAC+C=180；（2）若把）若把 BAC+C=180改為已改為已知條件，把知條件，把AD=CD改為結論，此命題改為結論，此命題是真命題？（不用證明）是真命題？（不用證明）. 變式變式4 4：如圖：已知：如圖：已知：PAPA平平分分BACBAC，PBABPBAB于于B B， PCACPCAC于于C,DC,D是是APAP上的一點上的一點. . （1 1）試證明：）試證明：DB=DC;DB=DC;(2)(2)若點若點D D在在APAP的延長線上的延長線上，則（，則（1 1）中的結論是否仍）中的結論是否仍然成立？并說明理由然成立？并說明理由. .能力訓練能力訓練 變式變式5 5：已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的是它的角平分線角平分線, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足垂足分別是分別是E,F.E,F.求證求證:EB=FC. :EB=FC. BAEDCF能力訓練能力訓練 在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等AOBPED角平分線的性質定理角平分線的性質定理已知：如圖已知：如圖OP是是AOB的平分線，的平分線，