劉徽割圓術(shù)思想對(duì)現(xiàn)代教育的影響

1、劉徽割圓術(shù)思想對(duì)現(xiàn)代教育的影響摘要:割圓法所滲透出來(lái)也就是我們現(xiàn)在所認(rèn)識(shí)的極限思想。極限是用以描述變量在一定的變化過(guò)程中的終極狀態(tài)的概念。極限的思想方法為建立微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ),極限的思想方法為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了有力的思想武器。當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)界,非常重視數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透。關(guān)鍵詞:九章算數(shù)極限影響無(wú)限中國(guó)是一個(gè)有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國(guó)。中國(guó)古代的四大發(fā)明曾經(jīng)極大地推動(dòng)了世界文明的進(jìn)步。同樣,作為中國(guó)文化的的一個(gè)重要組成部分,中國(guó)古代數(shù)學(xué),由于其自身的歷史淵源和獨(dú)特的發(fā)展過(guò)程,形成了與西方迥然不同的風(fēng)格,成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中的一支不容忽視的源頭。中國(guó)是世界著名的文明

2、古國(guó),和古巴比倫、古埃及年印度一樣,它是人類文化發(fā)源地之一。數(shù)學(xué)作為中國(guó)文化的重要組成部分,它的起源可以追溯到遙遠(yuǎn)的古代。根據(jù)古籍記載、考古發(fā)現(xiàn)以及其他文字資料推測(cè),至少在公元前3000左右,在中國(guó)古老的土地上就有了數(shù)學(xué)萌芽。因此中國(guó)古代在數(shù)學(xué)這方面取得了巨大成就,也編寫(xiě)了一些偉大的數(shù)學(xué)書(shū)籍,比如周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、五曹算經(jīng)、孫子算經(jīng)、夏侯陽(yáng)算經(jīng)、張丘建算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)、緝古算經(jīng)、綴術(shù)。讓我印象最深的是九章算術(shù),因?yàn)樗诠糯鷶?shù)學(xué)的各個(gè)方面全面完整地進(jìn)行敘述,它是十部算書(shū)中最重要的一部。它對(duì)以后中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展所產(chǎn)生的影響,正像古希臘歐幾里得(約前330前275幾何原本對(duì)西方數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的

3、影響一樣,是非常深刻的。在中國(guó),它在一千幾百年間被直接用作數(shù)學(xué)教育的教科書(shū)。它還影響到國(guó)外,朝鮮和日本也都曾拿它當(dāng)作教科書(shū)。其中劉徽的割圓術(shù)對(duì)此后數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了重要基礎(chǔ)。那么什么是割圓術(shù)呢?所謂“割圓術(shù)”,是用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)去無(wú)限逼近圓周并以此求取圓周率的方法?！皥A,一中同長(zhǎng)也”。意思是說(shuō):圓只有一個(gè)中心,圓周上每一點(diǎn)到中心的距離相等。早在我國(guó)先秦時(shí)期,墨經(jīng)上就已經(jīng)給出了圓的這個(gè)定義,而公元前11世紀(jì),我國(guó)西周時(shí)期數(shù)學(xué)家商高也曾與周公討論過(guò)圓與方的關(guān)系。認(rèn)識(shí)了圓,人們也就開(kāi)始了有關(guān)于圓的種種計(jì)算,特別是計(jì)算圓的面積。我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典九章算術(shù)在第一章“方田”章中寫(xiě)到“半周半徑相乘得積步”

4、,也就是我們現(xiàn)在所熟悉的公式。為了證明這個(gè)公式,我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年撰寫(xiě)九章算術(shù)注在這一公式后面寫(xiě)了一篇1800余字的注記,這篇注記就是數(shù)學(xué)史上著名的“割圓術(shù)”。中國(guó)古代從先秦時(shí)期開(kāi)始,一直是取“周三徑一”(即圓周周長(zhǎng)與直徑的比率為三比一的數(shù)值來(lái)進(jìn)行有關(guān)圓的計(jì)算。但用這個(gè)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果,往往誤差很大。正如劉徽所說(shuō),用“周三徑一”計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng),實(shí)際上不是圓的周長(zhǎng)而是圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng),其數(shù)值要比實(shí)際的圓周長(zhǎng)小得多。東漢的張衡不滿足于這個(gè)結(jié)果,他從研究圓與它的外切正方形的關(guān)系著手得到圓周率。這個(gè)數(shù)值比“周三徑一”要好些,但劉徽認(rèn)為其計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng)必然要大于實(shí)際的圓周長(zhǎng),

5、也不精確。劉徽以極限思想為指導(dǎo),提出用“割圓術(shù)”來(lái)求圓周率,既大膽創(chuàng)新,又嚴(yán)密論證,從而為圓周率的計(jì)算指出了一條科學(xué)的道路。在劉徽看來(lái),既然用“周三徑一”計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng)實(shí)際上是圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng),與圓周長(zhǎng)相差很多;那么我們可以在圓內(nèi)接正六邊形把圓周等分為六條弧的基礎(chǔ)上,再繼續(xù)等分,把每段弧再分割為二,做出一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形,這個(gè)正十二邊形的周長(zhǎng)不就要比正六邊形的周長(zhǎng)更接近圓周了嗎?如果把圓周再繼續(xù)分割,做成一個(gè)圓內(nèi)接正二十四邊形,那么這個(gè)正二十四邊形的周長(zhǎng)必然又比正十二邊形的周長(zhǎng)更接近圓周。這就表明,越是把圓周分割得細(xì),誤差就越少,其內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)就越是接近圓周。如此不斷地分割下去,

6、一直到圓周無(wú)法再分割為止,也就是到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限多的時(shí)候,它的周長(zhǎng)就與圓周“合體”而完全一致了。按照這樣的思路,劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.14和 3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值。這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確的數(shù)據(jù)。劉徽對(duì)自己創(chuàng)造的這個(gè)“割圓術(shù)”新方法非常自信,把它推廣到有關(guān)圓形計(jì)算的各個(gè)方面,從而使?jié)h代以來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展大大向前推進(jìn)了一步。以后到了南北朝時(shí)期,祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力,終于使圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)以后的第七位。在西方,這個(gè)成績(jī)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)于1593年取得的,比祖沖之要晚了一千一百多年。祖沖之還求得了圓

7、周率的兩個(gè)分?jǐn)?shù)值,一個(gè)是“約率” ,另一個(gè)是“密率”.,其中這個(gè)值,在西方是由德國(guó)的奧托和荷蘭的安東尼茲在16世紀(jì)末才得到的,都比祖沖之晚了一千一百年。劉徽所創(chuàng)立的“割圓術(shù)”新方法對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的重大貢獻(xiàn),歷史是永遠(yuǎn)不會(huì)忘記的。利用圓內(nèi)接或外切正多邊形,求圓周率近似值的方法,其原理是當(dāng)正多邊形的邊數(shù)增加時(shí),它的邊長(zhǎng)和逐漸逼近圓周。早在公元前5世紀(jì),古希臘學(xué)者安蒂豐為了研究化圓為方問(wèn)題就設(shè)計(jì)一種方法:先作一個(gè)圓內(nèi)接正四邊形,以此為基礎(chǔ)作一個(gè)圓內(nèi)接正八邊形,再逐次加倍其邊數(shù),得到正16邊形、正32邊形等等,直至正多邊形的邊長(zhǎng)小到恰與它們各自所在的圓周部分重合,他認(rèn)為就可以完成化圓為方問(wèn)題。到公

8、元前3世紀(jì),古希臘科學(xué)家阿基米德在論球和閱柱一書(shū)中利用窮竭法建立起這樣的命題:只要邊數(shù)足夠多,圓外切正多邊形的面積與內(nèi)接正多邊形的面積之差可以任意小。阿基米德又在圓的度量一書(shū)中利用正多邊形割圓的方法得到圓周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十,還說(shuō)圓面積與夕卜切正方形面積之比為11:14,即取圓周率等于22/7。公元263年,中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注中提出“割圓”之說(shuō),他從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始,每次把邊數(shù)加倍,直至圓內(nèi)接正96邊形,算得圓周率為3.14或157/50,后人稱之為徽率。書(shū)中還記載了圓周率更精確的值3927/1250(等于3.1416。劉徽斷言“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,

9、以至于不可割,則與圓合體,而無(wú)所失矣”。其思想與古希臘窮竭法不謀而合。割圓術(shù)在圓周率計(jì)算史上曾長(zhǎng)期使用。1610年德國(guó)數(shù)學(xué)家柯倫用262邊形將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后35位。1630年格林貝爾格利用改進(jìn)的方法計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后39位,成為割圓術(shù)計(jì)算圓周率的最好結(jié)果。分析方法發(fā)明后逐漸取代了割圓術(shù),但割圓術(shù)作為計(jì)算圓周率最早的科學(xué)方法一直為人們所稱道。割圓法所滲透出來(lái)也就是我們現(xiàn)在所認(rèn)識(shí)的極限思想。極限是用以描述變量在一定的變化過(guò)程中的終極狀態(tài)的概念。極限的思想方法為建立微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ),極限的思想方法為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了有力的思想武器。當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)界,非常重視數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透。然而

10、在數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中,部分教師對(duì)極限思想方法的理解及應(yīng)用還存在著一定的忽視,翻開(kāi)數(shù)學(xué)的史話我們發(fā)現(xiàn),無(wú)論是在最初的算術(shù)、代數(shù)還是初等幾何中,常量數(shù)學(xué)都是描述確定、靜態(tài)現(xiàn)實(shí)的有利工具。而無(wú)限問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表述,是由變量數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)實(shí)現(xiàn)的。常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的發(fā)展,無(wú)限概念的數(shù)學(xué)表述,這一切對(duì)數(shù)學(xué)、自然科學(xué)以至對(duì)人類社會(huì)的進(jìn)步有著重大的意義。這種由常量向變量、由有限觀念到無(wú)限觀念的轉(zhuǎn)變中無(wú)不體現(xiàn)著極限的數(shù)學(xué)思想,極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限,從近似中認(rèn)識(shí)精確,從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法,它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié),這種思想也必將能為我們的數(shù)學(xué)教育發(fā)揮重要的作用。因此,教師們要在平日

11、教學(xué)中積極挖掘體現(xiàn)極限思想的知識(shí)點(diǎn),將極限思想很好地滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)之中。例如,案例1、在教學(xué)圓柱體積公式的推導(dǎo)這一內(nèi)容時(shí),我作過(guò)這么一次嘗試。師:如何知道一個(gè)圓柱體的體積?生1:以前學(xué)習(xí)的柱體都是用“底面積×高”來(lái)求積的,這次也應(yīng)該是吧?師:那你們就先借助手中的學(xué)具操作一下,看能不能有什么發(fā)現(xiàn)?(學(xué)生動(dòng)手操作,小組交流。生2:我發(fā)現(xiàn)圓柱體可以通過(guò)切割拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體因此,圓柱體的體積=底面積×高。(至此,應(yīng)該說(shuō)學(xué)生已經(jīng)基本掌握了圓柱體體積的計(jì)算公式,進(jìn)入應(yīng)用階段沒(méi)多大問(wèn)題,但蘊(yùn)涵在其中的思維方法并沒(méi)有滲透給學(xué)生,于是我繼續(xù)追問(wèn)。師:怎樣切割,圓柱體就真的變成一個(gè)長(zhǎng)方體了

12、?生3:將圓柱的底面平均分成無(wú)數(shù)多份,它的底面就轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形,整個(gè)圓柱也就成了一個(gè)長(zhǎng)方體。(師進(jìn)行課件演示師:還有不同的思考方法嗎?生:將圓柱沿高的方向切分成無(wú)窮多個(gè)細(xì)長(zhǎng)的長(zhǎng)方體。每個(gè)長(zhǎng)方體的體積都是“底面積×高”,根據(jù)乘法分配律,這無(wú)窮多個(gè)小長(zhǎng)方體的體積之和正好是“它們的底面積之和×高”,也即圓柱體的“底面積×高”。此題采用“化圓為方”、“變曲為直”的極限分割思路。在“觀察有限分割”的基礎(chǔ)上,“想象無(wú)限細(xì)分”,根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢(shì),想象它們的終極狀態(tài)。這樣不僅使學(xué)生掌握了圓的面積和圓柱體體積的計(jì)算公式,而且非常自然地在“曲”與“直”的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無(wú)

13、限逼近的極限思想。案例2、計(jì)算:1/2+1/4+1/8+1/16師:仔細(xì)觀察這個(gè)算式有什么特點(diǎn)?生:任意相鄰的兩個(gè)分?jǐn)?shù),后一個(gè)分?jǐn)?shù)總是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的一半。師:用什么方法求和?生1:通分轉(zhuǎn)化。生2:可以轉(zhuǎn)化成小數(shù)求和。師:還有不同的方法嗎?生:用數(shù)形結(jié)合的方法。先畫(huà)一個(gè)大正方形,它的面積是1,直觀地看出:1/2+1/4+1/ 8+1/16=1-1/16=15/16在此基礎(chǔ)上可以把問(wèn)題進(jìn)一步變化為:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 +=?用數(shù)形結(jié)合的方法,從圖中直觀地看出隨著加數(shù)的不斷增加,空白部分的面積逐漸擴(kuò)大,并且越來(lái)越接近正方形的面積即不斷地逼近1,當(dāng)有無(wú)限多項(xiàng)相加時(shí)其結(jié)果

14、為1。通過(guò)多種辦法解決這個(gè)題目的動(dòng)態(tài)過(guò)程中,學(xué)生在收獲知識(shí)的同時(shí),極限思想、數(shù)形結(jié)合的思想又為學(xué)生解題方法的創(chuàng)新提供了可能,培養(yǎng)了思維的靈活性?？傊?練習(xí)的設(shè)計(jì)不能僅僅著眼于一個(gè)問(wèn)題的解決,而要關(guān)注學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題中自主領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法,更要關(guān)注在解決問(wèn)題中數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。劉徽的“割圓術(shù)”是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的重要成就之一,其中包含著中國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)無(wú)限問(wèn)題的獨(dú)特認(rèn)識(shí)和致用的處理方式。很多高等數(shù)學(xué)教科書(shū)在講述極限概念時(shí)大都提及,但所述,并未體現(xiàn)劉徽本意。劉徽的“割圓術(shù)”是為證明圓面積公式而設(shè)計(jì)出來(lái)的一種方法,其融合了莊、墨兩家理解和處理無(wú)限問(wèn)題的方法,并且使用了數(shù)列極限的“夾逼準(zhǔn)則”和不可分

15、量可積的預(yù)設(shè)。科學(xué)史上的諸多事實(shí)都顯示出無(wú)窮概念的巨大重要性和深遠(yuǎn)影響。實(shí)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)在十九世紀(jì)末葉才被建立的事實(shí)之所以令人驚奇,正是因?yàn)槿藗冊(cè)诶斫鉄o(wú)窮這個(gè)概念上所遇到的巨大困難造成的。對(duì)無(wú)窮的思考并試圖理解它和準(zhǔn)確地定義它,是對(duì)人類智慧的一個(gè)挑戰(zhàn).古希臘以降,無(wú)窮的概念就引起了先哲們的注意,但它固有的超越人類有限思維的特征,使得人們對(duì)它理解的進(jìn)展十分緩慢。希爾伯特曾說(shuō)過(guò),無(wú)窮是一個(gè)永恒的謎.直到19世紀(jì),柯西和魏爾斯特拉斯給出極限的精確定義為止,人們都無(wú)法逾越這一思維中的結(jié)癥。因?yàn)闃O限的“e-”定義,術(shù)語(yǔ)抽象且符號(hào)陌生,其中的辯證關(guān)系不易搞清。這個(gè)概念中內(nèi)含諸多玄機(jī)。它簡(jiǎn)練外表,隱藏了20

16、00余年來(lái)人類面對(duì)無(wú)限的困惑和努力。這個(gè)定義包含著“動(dòng)與靜”的辯證法,包含著從有限到無(wú)窮的飛躍,包含著純潔的數(shù)學(xué)美。個(gè)體的認(rèn)識(shí)規(guī)律會(huì)“重演”數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程,因此在教學(xué)中,學(xué)生自然會(huì)提出的一系列問(wèn)題:既然極限描述性定義簡(jiǎn)單明白,為什么要搞個(gè)“e-”定義?它與描述性定義有什么不同?數(shù)學(xué)家怎么會(huì)想出這種“古怪而討厭”的定義?正如R·柯朗和H ·羅賓所說(shuō):“初次遇到它時(shí)暫時(shí)不理解是不足為怪的,遺憾的是某些課本的作者故弄玄虛,他們不作充分的準(zhǔn)備,而只是把這個(gè)定義直接向讀者列出,好象作些解釋就有損于數(shù)學(xué)家的身份似的?！币暹@些問(wèn)題,只有翻開(kāi)數(shù)學(xué)史,從哲學(xué)的角度認(rèn)識(shí)極限法,這樣不僅能

17、幫助我們搞清極限的概念,也有助于建立正確的數(shù)學(xué)觀念。極限的精確定義和是微積分的理論基石。但是要在幾堂課內(nèi)講清楚困擾人類2000余年極限問(wèn)題,確實(shí)是個(gè)難題,HPM 也許是他山之石。比如通過(guò)開(kāi)辟第二課堂,或在課上,介紹劉徽“割圓術(shù)”中的微積分思想,對(duì)極限定義的理解將會(huì)大有裨益。以前在學(xué)習(xí)求圓的面積時(shí)就對(duì)對(duì)劉徽的割圓術(shù)有所了解,現(xiàn)在學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)史對(duì)劉徽在數(shù)學(xué)方面的成就感到自豪。中國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生曾經(jīng)指出:“克萊茵寫(xiě)了一本古今數(shù)學(xué)思想,他把印度作為古代東方數(shù)學(xué)的代表,而忽略了中國(guó),其他許多外國(guó)數(shù)學(xué)史書(shū)也有類似的傾向.其實(shí),真正代表東方數(shù)學(xué)的應(yīng)該是中國(guó)?！苯陙?lái),經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)史家的工作,這一觀點(diǎn)已逐步得到證實(shí)。實(shí)民族愛(ài)國(guó)情,刻苦攻關(guān),使中國(guó)數(shù)學(xué)得以迅速在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重新走到世界前列。實(shí)際上,