《高等數(shù)學(xué)B》第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 第六節(jié) 多_第1頁
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文檔簡介

1、 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多 于一個的情形 : 要找函數(shù) u = f ( x , y , z , t 在條件 ( x , y, z , t = 0 , (x , y, z , t = 0 下的極值 , 先構(gòu)造函數(shù) F(x , y, z , t = f ( x , y , z , t + ( x , y , z , t + µ ( x , y , z , t , 其中 , µ 均為常數(shù) , 可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出 x , y , z , t , 即得極值點的坐標(biāo) . 例6 將正數(shù) 12 分成三個正數(shù) x , y , z 之和使得 u = x3 y2z 為最

2、大 . 解 令 F ( x , y , z = x 3 y 2 z + ( x + y + z 12 則 Fx = 3 x 2 y 2 z + = 0 3 Fy = 2 x yz + = 0 Fz = x 3 y 2 + = 0 x + y + z = 12 解得唯一駐點 (6 , 4 , 2 , 故最大值為 umax = 63 42 2 = 6912 . 某工廠的Cobb Douglas生產(chǎn)函數(shù)是 例7 某工廠的 生產(chǎn)函數(shù)是 f ( x , y = 100 x y , 表示勞動力的數(shù)量 表示資本數(shù)量 其中 x 表示勞動力的數(shù)量 , y 表示資本數(shù)量 , 函數(shù)值表 示生產(chǎn)量 , 當(dāng)每個勞動力與

3、每單位資本的成本分別是 150元及 元及250元時。該工廠的總預(yù)算是 元時。 元及 元時 該工廠的總預(yù)算是50000元。問如 元 何分配這筆資金用于雇用勞動力及投入資本 , 使生產(chǎn) 量最高? 量最高 解 這是個條件極值問題 , 求在條件 3 4 1 4 150 x + 250 y = 50000 , 的最大值。 下, 函數(shù) f ( x , y = 100 x y 的最大值。令 3 4 1 4 F ( x , y = 100 x y + (50000 150 x 250 y , 1 1 F = 75 x 4 y 4 150 = 0 x 3 3 F = 25 x 4 y 4 250 = 0 y 50000 150 x 250 y = 0 即雇用250個勞力 其余部分作 個勞力, 個勞力 解得 x

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