初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)講義

1、初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)講義（初三）第一講分式的運算最新范本，供參考!知識點擊1、分部分式：真分式化為另幾個真分式的和，一般先將分母分解因式，后用待定系數(shù)法進行。2、綜合除法：多項式除以多項式可類似于是有理數(shù)的除法運算，可列豎式來進行。3、分式運算：實質(zhì)就是分式的通分與約分。例題選講,，一11例1.化簡-一1+1+x23x2x25x612x27x12解：原式=1+(x1)(x2)11+(x2)(x3)(x3)(x4)例2.3(x1)(x4)已知。二zxyzx,且xyz#0,求分式(x+y)(y-z)(z*x)的值。xyz解：易知：山=士zy若k=2則原式=k3=8!xy=kz則x+z=ky(2)y+z

2、=kx(3)(1)+(3)得:(k-2)(x+y+z)=0k=2或x+y+z=0若x+y+z=0,則原式=k3=-1例3.設(shè)一=1,求x-mx12x422hx-mx1的值。解：顯然X#0,由已知x2-mx1”=1x，則x+=m+1xx4-m2x2122=x+xm2=(x+)2-2-m2x=(m+1)2-2-m2=2m-112m-1例4.已知多項式3x3+ax2+3x+1能被x2+1整除，求a的值。解:3xaX213x3ax=3x-133x3O3xax212axa1-a1-a=0a=1例5:設(shè)n為正整數(shù)，求證1<(2n-1)(2n1)一，1證：左邊=(1-212n-112n1(1-2n1n

3、為正整數(shù)，v12n11-1一v1故左邊v12n12小結(jié)歸納1、部分分式的通用公式：一1一=1(1-)x(xk)kxxkK,將連等式化為若干個等式，把各字母用2、參數(shù)法是解決比例問題特別是連比問題時非常有效的方法，其優(yōu)點在于設(shè)連比值為同一字母的解析式表示，從而給解題帶來方便。3、整體代換及倒數(shù)法是分式的的求值中常用的方法，應(yīng)熟練掌握。鞏固練習,2m2，1、若分式2m22的值是正整數(shù),則整數(shù)m=m-12、.a2a3a4ai=3a，ai-a2a，右=aia2a3aia2a3a，k=3、a2b已知a2-3b2=2ab.(a>0,b>0),貝U4、已知a、b、c是有理數(shù)，且-ab-=1,應(yīng)=

4、1,-ca-=1，則abc=ab3bc4ca5abbccal什11xxyy5、右*-=2006,貝U=oxy2x6019xy-2y6、實數(shù)a、b滿足ab=1,設(shè)A=+,B=a-+1,則AB的關(guān)系1a1b1a1b7、當a、b、c為何值時，多項式x43x3+3x2+ax=b能被除數(shù)x23x+2整除?8、計算152007 . 2 1 200720072007579、已知x2 x-3(x2 -3x 2)(x -3)X -1B + CX -2 X -3求A B、C的值。10、若對于±3以外的一切實數(shù)X,等式m-n=:8x一均成立，則mn=x3x-3x-9abcab-c11、已知一=一=一，則=

5、。bcaa-bc第二講分式方程及應(yīng)用知識點擊1、解分式方程的基本思路是去分母化分式方程為整式方程；2、解分式的方程的常用方法有：換元法、整體法、通分法等；3、分式方程廣泛應(yīng)用于生活實際中，要注意未知數(shù)的值既要是原方程的根，又要與實際意義相符。例題選講解方程組2x+y上xy5:18x-y10一=66y-x1 =n , x - y一人1分析：令=m,xy；2m+5n=18則9m+10n=66例2.解方程易求:x 二 一213-l-m=6可得：6n=54x-6_7x-5_x-8_4x-30x_2x_1x_6x_7解：原方程可化為1111x2x一1兩邊分別通分:-1-1(x-2)(x-1)(x-7)(

6、x-6)例3.當m為何值時，關(guān)于x的方程=x士的解為正數(shù)？xf2x1x2x0解：解方程可得：x=L5,需"k1可得mV1且m-3。2x02.例4.設(shè)庫池中有待處理的污水a(chǎn)噸，從城區(qū)流入庫池的污水按每小時b噸的固定流量增加，若同時開動2臺機組需30小時處理完污水，同時啟動4臺機組需10小時處理完污水，若要求在5小時內(nèi)將污水處理完畢，那么至少要同時開動多少臺機組？解：設(shè)1臺機組每小時處理污水y噸，要在5小時內(nèi)處理完污水，至少同時開動x臺機組，則：a30b=230ya10b=410ya5b匕5xy=30y=y例5.求證對任意自然數(shù)n,有11+2232證明：當n=1時，1<2顯然成立。

7、當n>1時,-11所以2Vnn（n1）a5b二75y1+<2n一1故：1,二22321111（1一2）（2一3）n-11一）n最新范本，供參考！點評歸納1、當某個代數(shù)式在一個問題中多次反復(fù)出現(xiàn)時，我們可以把這個代數(shù)式當作一個整體去替換，使問題簡化；2、假分式構(gòu)成的分式方程一般先分離整數(shù)，然后等式兩邊分別通分可解。3、解分式方程要注意驗根，在求分式方程中待定字母的值時往入容易忽略這一點。鞏固練習1、某同學用一架不等臂天平稱藥品，第一次將左盤放入50g祛碼，右盤放藥品使天平平衡，第二次將右盤放入50g祛碼，左盤放藥品使天平平衡，則兩次稱得藥品總質(zhì)量（）A等于100gB、大于100gC、

8、小于100gD、都有可能2、用大小兩部抽水機給麥田澆水，先用兩部抽水機一起抽水2小時，再用小抽水機單獨抽水1小時即可澆完，已知單獨用小抽1.水機所用時間是大抽水機單獨抽水所需時間的1倍，求兩部抽水機單獨澆完這塊麥田各需多少小時？23、解方程32x 7x x 30x2 x 13322x 11x36x 452x2 7x 20.、-111124、解方程一1一+1+1+1=£x10(x1)(x2)(x2)(x3)(x9)(x10)55、某工廠將總價2000元的甲種原料與總價4800元的乙種原料混合后，其平均價格比原甲種原煤料每斤少3元，比原乙種原料每斤多1元，問混合后的單價。6、自然數(shù) m

9、n是兩個不同質(zhì)數(shù)，且2 .2m+n+m甫勺最/J、值為 P,貝U 2-P7、已知f(x)=2x3+7x2+m有因式2x+3,則m=,、1.8、求y=-2的最大值。xx1第三講一元二次方程的解法最新范本，供參考!知識點擊1、一元二次方程的常規(guī)解法有：直接開平方、配方法、因式分解及求根公式法。2、對于復(fù)雜的一元二次方程往往要借助換元法、和差構(gòu)造法等。3、含有字母系數(shù)的一元二次方程一般要分類型討論。4、設(shè)而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。例題選講例1.解方程22xx1x113r=x21x2x116x2x1解：令x2=y,x21則y+工=,解得y1y16y2x2x12十x2x13315即2=或

10、-2=一,解得x1=1,x2,3=x13x122例2.解方程<3x2+5x+8-V3x2+5x+1=1解：(v'3x2+5x+8+<3x2+5x+1)(13x2+5x+8-“3x2+5x+1)=743x2+5x+8+v13x2+5x+1=7又V3x2+5x+8-43x2+5x+1=1+：.3x25x8=4口.8易知：X2=1X2=-3例3:已知m是方程X2-2007X+1=0的一個不為。的根求m2-2006m+2007的值m1解：:!為方程的非零根，2.一-2007m+1=0可得m2=2007m-1,m+=2007,m2+1=2007mm原式=2007m-1-2006m+2

11、007=m+-1=2007-1=20062007mm例4、設(shè)a、b為實數(shù)，那么a2+ab+b2-a-2b的最小值為多少?解：原式：=a2+(b-1)a+(b2-2b)=(a+口2+2(b-1)2-124當a=ob=1時，最小值為-1例5:解方程m2(x2-x+1)-m(x2-1)=(m2-1)x解：原方程整理為：m(m-1)x2-(2m2-1)x+m(m+1)=0mx-(m+1)(m-1)x-m=0mx=m+1或(m-1)x=m1) 當mW0,mW1時，x1=m-,x2=mmm-12) m=0,x=03) m=1時x=2例6:方程(2007x)2-2006X2008X-1=0的較大根為m,方程

12、2006x2-2007X+1=0的較小根為n，求n-m的值解：方程可化為(20072X+1)(X-1)=01X=-X2=1.X2>Xm=120072方程可化為(2006X-1')(X-1)=0、，1、，、，、，Xi=-X=1XiVX?n200620062，-仁200520062006點評歸納1、有的方程某部分重復(fù)出現(xiàn)，或經(jīng)過變形后產(chǎn)生重復(fù)出現(xiàn)的式子，可通過換元使方程簡化而便于求解。2、含有兩個無理根式且可化為一元二次方程的方程，若兩個無理式的有理化因式與它的乘積等于一個常數(shù)，這時通常可用平方差公式構(gòu)造兩個無理式的和與它們的差，從而加減消去一個根式，可使方程簡化并求解。3、一元一次

13、方程的根是滿足方程的未知數(shù)的值，由此得到的等式是許多代數(shù)式求值的依據(jù)，要靈活運用。鞏固練習231、解萬程：2x+-3X-=xxX-7X-52、解萬程：；+:一X-32X-413、解方程：x2-|2X-1|-4=4、三個二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0有公共根，求證+b+c=05、已知a、b、c均為實數(shù)，且滿足Ja2-2a+1+|b+1|+(c+2)2=0試求方程ax2+cx-b=0的解6、求證方程(a-b)x2+(b-c)x+c-a=0(awb)有一個根為1。7、設(shè)方程x2+px+q兩根為Xi、X2,且Ii=xi+X2I2=x2+x2In=x1n+x2則

14、當n>3時，求In+PIn-1+qIn-2+的值。8、證明：不論X為何實數(shù)，多項式2x4-4x2-1的值總大于x4-2x2-4的值。9、已知a2-4a+b2-b+65=0,貝Ua2-4jb=21610、已知mrn為有理數(shù)，方程x2+mx+n=0有一個根為5-2-2,求m+n的值。11、已知m2=m+5,n2=n+5,mWn,求m+n的值.12、二次方程a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+3)(x+1)=13、解關(guān)于x的方程(m-1)x2+2mx+m+3=0第四講根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系知識點擊1、設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的兩根為*、X2,貝Uax

15、2+bx+c=a(X-X1)(X-X2)=ax2-a(X+X2)X+aX1X2.Xi+X2=-bX1X2=-c這兩個式子即為一元二次方程aa根與系數(shù)的關(guān)系。要注意，方程有兩個實數(shù)根是兩根關(guān)系式存在的前提，即通常要考慮aw2、一元二次方程根的判別式源自求根公式，常記作=b2-4ac,使用的前提是方程為一元二次方程，即二次項系數(shù)awo,它是解決一元二次方程整數(shù)解的工具。3、使用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系時，常常涉及到完全平方數(shù)、整數(shù)性質(zhì)、因式分解、因數(shù)分解等重要知識與方法。例題選講例1:已知一直角三角形三邊分別為a、b、c,/B=90°,那么關(guān)于X的方程a(X2-1)-2CX+b(X2+

16、1)=0的根的情況如何？解：方程整理為：(a+b)X2-2CX+b-a=0=4(C2+a2-b2)/B=90°.1.C2+a2=b2=0,原方程有兩個相等實根例2：求所有正實數(shù)a,使得方程X2-aX+4a=0僅有正整數(shù)根。解：設(shè)方程的兩個正整數(shù)根為X,y(XWv)則x+y=axy=4aXy-4(X+y)=0(X-4)(y-4)=16x-4=4、這時x=y=8a=x+y=16y-4=4x-4=2V-4=8這時x=6a=X+y=18)=12x-4=1、y4=16、,x=5這時，a=)=20x+y=25例3:已知12<m<60,且一元二次方程X2-2(m+1)x+m2=0,兩個

17、整數(shù)根，求整數(shù)m,并求這兩個整數(shù)根。-X=m+1±J2m+1為整數(shù)2m+1必為完全平方數(shù),<12m<60,25<2m+1<121-Zm+I為奇數(shù).2m+1=49或2m+1=81則m1=24時，X=32,X2=18m2=40時，X1=50,X2=32例4：設(shè)a、b、c是互不相等的非零實數(shù)，求證三個方程，aX2+2bx+c=0bX2+2cx+a=0CX2+2ax+b=0不可能都有兩個相等的實數(shù)根。證明(一)：假設(shè)三個方程都有兩個相等的實數(shù)根。4=4b2-4ac=0(1)«A2=4c2-4ab=0(2).2_A=4a-4bc=0(3)(1)+(2)+(3)

18、:2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0有a=b=c,這與已知條件矛盾所以三個方程不可能都有兩個相等的實數(shù)根.證明(二)：1+42+43=2(a+b)2+(b-c)2+(c-a)2.a、b、c為全相等Ai+A2+A3>0.1+A2+A3中至少有一個大于0即至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根。例5:已知口、P是方程q-7X+8=0的兩根，且口>P不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求-+3P2的值。a分析：由1 +B=7 2P=8直接求工+3B2的值無法下手，這時，我們常用禺式2+30(2來構(gòu)造和差求解：.a+P=72P=8ctP.a2

19、+p2=(a+p)2-2a=72-2x8=332-40=72-4x8=17又.久P令M=2+3P2,構(gòu)造M的對偶式N=-2-+3a2aPM+N=(+-2-)+3(：-2+B2)=100-4M-N=(-2-)+3(P2-a2)=-絲Vl7工44403-85.17(+)+2得M=8點評歸納1運用一元二次方程根的判別式時，常與配方法結(jié)合使用，這時應(yīng)考慮非負數(shù)的性質(zhì)。4、運用根與系數(shù)的關(guān)系求整數(shù)解時，因式分解法及分離整數(shù)法是求不定方程整數(shù)解的常用方法。5、利用對偶式構(gòu)造和差法是代數(shù)式求值時重要的變形技巧，應(yīng)靈活運用。鞏固練習1、方程X2+PX+q=0的兩個根都是正整數(shù)，且P+q=1996,試問方程較大

20、根與較小根之比為多少？2、已知一元二次方程aX2+bx+c=0(acw0)有兩個異號實根m和n,且mV|m|,那么二次方程CX2+(m-n)ax-a=0的根的情況是()A、沒有實根B、兩根同正C、兩根同負D、兩根異號3、關(guān)于X的二次方程2X2-5X-a=0的兩根之比，X：X2=2:3貝Xi-X2=4、若方程X2-4(m-1)X+3m2-2m+4K=0,對于任意有理數(shù)m都有有理根，求實數(shù)K的值。5、求方程x+y=X2xy+y2+1的實數(shù)解。6、若對于任何實數(shù)a,關(guān)于X的方程，X2-2ax-a+2b=0都有實根則實數(shù)b的取值范圍是()7、若m是不為0的整數(shù)，當二次方程mX2-(m-1)X+1=0有

21、有理根時，則m=()8、方程|X2-5X|=a有且只有相異二實根，求a的取值范圍9、關(guān)于X的方程aX2+2(a-3)x+(a-2)至少有一個整數(shù)解且a是整數(shù)，求a的值。10、已知Xi、X2是關(guān)于X的方程4X2-(3m-5)x-6m2=0的兩個實根，且|%尸-試求m的值.X2211、設(shè)方程4X2-2X-3=0的兩個根為m、n,求4m2+2n的值.12、若a、b、c都是實數(shù)，且a+b+c=0,abc=1則a、b、c中必有一個大于.22422abb1、200713、a+2a-1=0b-2b-1=0JeLabwl貝U()=a14、已知a、b為整數(shù)，且a>b,方程3X2+3(a+b)X+4ab=0

22、的兩根ct、P滿足關(guān)系式a(a+1)+P(P+1)=(a+1)(P+1),試求所有的整數(shù)對(a、b)15、關(guān)于X的方程，X2+(a-6)X+a=0的兩根均為整數(shù)，求a.16、已知X1、X2是方程4aX2-4ax+a+4=0的兩個實根5(1)是否能適當選取a的值，使是(X1-2X2)(K-2X1)的值為-?4(2)求使區(qū)+且=的值為整數(shù)的整數(shù)a的值.X1X217、求證：對于任意一矩形A,總存在矩形B,使得矩形A和矩形B的周長之比和面積之比都等于常數(shù)K(其中K>1)第五講：一元二次方程的應(yīng)用知識點擊1、一元二次方程的應(yīng)用問題，諸如：數(shù)字問題、面積問題、增長率問題、方案設(shè)計問題等，綜合運用一元

23、二次方程的有關(guān)知識，是各類考試與競賽的重要考點，須認真領(lǐng)會。2、形如AX2+Bxy+cy2+DX+Ey+F的各項式叫做關(guān)于X、y的二元二次多項式，常見的分解方法有雙十字相乘法、待定前數(shù)法、公式法等。公式法是先將原式整理成關(guān)于X(或y)的二次三項式，再運用求根公式。3、非一次不定方程主要掌握兩種情況：二次三項式左邊分解成兩個因式的乘積，右邊分解因數(shù)求整數(shù)解；分式不定方程，采用整數(shù)離析法求整數(shù)解。4、可化為一元二次方程的分式方程要注意方程的特點進行有效的變形，像X+-=a+-這類特殊類型的方程，顯然a手1時，X=xa1a與=,就是它的兩個根。無理方程通過配方、換兀、分解轉(zhuǎn)化為有理方程來解。a例題選

24、講例1:m為何值時，二次三項式x2+2x-2+m(x2-2x+1)是完全平方式？解：原式=(m+l)X2+2(lm)x+(m2)令=0,即4(1-m)2-4(m+1)(m-2)=0解得m=3例2:分解因式X2+xy-2y2-x+7y-6解：'''X2+xy-2y=(xy)(x+2y)，設(shè)原式=(xy+m)(x+2y+n)=X2+xy-2y2=(m+n)x+(2mn)y+mnmm-1比較對應(yīng)項系數(shù)2mmn=-6，原式=(xy+2)(x+2y3)例3:在矩形地ABCN央修建一矩形EFGHffi圃，使其面積為這塊地面積的一半，且花圃四周的道路寬相等，今無測量工具,只有無刻度的

25、足夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度？解：設(shè)道路寬X,AB=a,AD=b,(a>b),則(a-2X)(b-2X)=1ab,8x2-4(a+b)x+ab=02.一1cc斛得x=(a+b)±Va+b41l2一21b右*=(a+b)+aa+b，則x>(b+b+v2b)>442這不可能，舍去這個根。則*=1(a+b)Ja2十b24量法是：用繩量出AB+BC(即a+b之長)，從中減法BD(即va2+b2);將剩下的繩長對折兩次即得到道路寬度X。例4:m為何值時，關(guān)于X的分式方程xZ1+Jx士m+2=0只有一個根?x1x-m解：原方程整理為2x?-(im)x=0(1)當=(1-

26、m)2=0時，m=1,方程有兩個等根x=0經(jīng)驗符合題意m-1(2)當mW1時,Xi=0X2=有一個為增根2代入公分母(X+1)(X-m)中可得m=0式m=-1所以m=-1或m=0或m=1時，原方程只有一個實根。例5:解方程41'x=127-4;x解：令y=4Jx則127一y-y2-7y+12=0y1=3y2=4代入y=4'x得：x1=81x2=256例6:xy表示一個十位數(shù)字為X,個位數(shù)字為y的兩位整數(shù)，且xiy滿足條件X2-y2=5X,則此兩位整數(shù)是多少?解：由X2-y2=5X得y2=x(x-5)-x、y均為整數(shù)，5<X<9經(jīng)驗證，只有當x=5時，y=0,兩位數(shù)為

27、50x=9時，y=6,兩位數(shù)為96例7:方程X2+PX+q=0的兩根均為正整數(shù)，且p+q=28,求方程的兩根。解：設(shè)X2+PX+q=0的兩根為Xi,x2.貝Uxi+x2=-Pxi+x2=q代入p+q=28中(xi-1)(x2-1)=29x1-1=1x2-1=29x1=2=X2=30X1=29由吸一1=2x1=30得1所以原方程兩根為2、30的=2例8:求方程2xy2x2+3x-5y+11=0的整數(shù)解。一2一解：原方程可化為y =2x-3x-112x-5y=x+1-(1)y為整數(shù)-必為整數(shù)'x = 1,2,3,4j = 4,9,2,32x-52x-5又2x-5為奇數(shù)，2x-5為6的奇數(shù)約

28、數(shù)，即2x-5=±1、±3代入(1):y=4,9,2,3例9:某商店將進貨值每個10元的商品按每個18元售出時，每天可賣出60個，商店經(jīng)理到市場上做了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品售價每提1元，則日銷售量就減少5個，若將這種商品售價直降低1元，則日銷量就增加10個，為了獲得最大的利潤，作為商店經(jīng)理應(yīng)把此商品售價定為每個多少元？解：設(shè)此商品每個售價為X元，每日利潤為y元。(1)當X>18時，y=60-5(x-18)(x-10)=-5(x-20)2+'500即商品售價每個20元時，每日最大利潤為500元.(2)當XW18時，y=60+10(18-X)(X-10)=-

29、10(X-17)2+490即商品售價每個17元時,每日最在利潤為490元。綜上所述，該商品應(yīng)定價為每個20元，使每日利潤最大。點評歸納1、應(yīng)用一元二次方程解決實際問題時，應(yīng)注意aw0及判別式的取值情況。2 、利用一元二次方程建立數(shù)學模型時，配方法常用來求最值，求根公式法雖然運算量較大，但在求整數(shù)解、有理根時常用，仍不失為一種行之有效的好方法。3 、待定系數(shù)法、換元法、因式分解法、整數(shù)離析法等方法滲透在一元二次方程的應(yīng)用問題中，要區(qū)分它們的適用范圍與條件，靈活運用。鞏固練習1、分解因式2X2-5xy-3y2+x+11y-62、在長為a的線段AB上有一點C,且AC是AB和BC的比例中項，求AC的長

30、。當K為何值時，二次三項式X2-25-K(X+5)是關(guān)于X的完全平方式。4、甲、乙兩地分別在河的上、下游，每天各有一班船準點以勻速從兩地對開，通常它們總在11時相遇。一天乙地的船因故晚發(fā)了40分，結(jié)果兩船在11時15分相遇，乙知甲地開出的船在靜水中的速度為44千米/時，而乙地開出的船在靜水中的速度為水流速度V千米/時的平方，求V.最新范本,供參考！,、一15、若正數(shù)X的整數(shù)部分的平方等于X與它小數(shù)部分的積，則X-=x6、關(guān)X的方程(X+a)2-5X-5a=-6有兩個根相等，求a.若方程x-+x2+2x+a=0只有一個實數(shù)根,求a的值及原方程xxx-2xx(x-2)的根。(a=時，X=;a=-4

31、時，x=1a=-8時，x=-1227、關(guān)于X的方程X2+KX+4-K=0有2個整數(shù)本求K的值.8、求方程X2+xy+y2-3x-3y+3=0的整數(shù)解。10、求m為何整數(shù)時，二次三項式m2+2m-1的值可以分解為兩個連續(xù)整數(shù)之積。11.求方程1+1=1的正整數(shù)解.xy2第六講與圓有關(guān)的位置關(guān)系最新范本，供參考！知識點擊1、垂徑定理是圓的軸對稱性的產(chǎn)物，在證明線段相等，弧相等，角相等幾方面及圓中的有關(guān)計算問題，應(yīng)用極為廣泛，類似于直角三角形中的勾股定理般重要，應(yīng)熟練掌握。2、點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系分別由點與圓心的距離，圓心與直線的距離，圓心距與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系確定。3、三角形的“

32、四心”：重心一一三條中線的交點，各條中線被重心分面2:1兩部分；外心一一三邊中垂線的交點，外接圓的圓心,垂心三條高的交點；內(nèi)心內(nèi)角平分線的交點，內(nèi)切圓的圓心。4、四點共圓：若四邊形ABCD勺一組對角互補，則A、BC、D四點共圓。5、相交弦定理，切割線定理與相似的三角形結(jié)合使用是解決和圓有關(guān)的比例線段的重要途徑。例題選講例1:ABC中，/A=72°,O。截ABC的三條邊所得的三條弦都相等，求/BOC解：過。作三條相等弦的弦心距ODDEOR則OD=OEOB=OBRtABDCORtBEO=ZOBD=/OBE=X同理/ OCEh OCF=/ 2X+2y+ ZA=180° x+y例2

33、、四邊形AB (1)內(nèi)接于。Q AC± BQ垂是為 后=54°ZBOC=180°-(x+y)=126°BADBCD=3:1DF交AC于點G,且AFAB=AGAE,BE=2,ED=3(1)求證AF©DFB(2)求四邊形ABCD勺面積。解(1)AF-AB=AGAEAGAF_alc、=AFGAEBzBaeAGaf|-EB=903/AF = DF=1 "2AFG =,DEB二AFG=90BAD:BCD=3:1=BAD=45/AFG=90*=/1+/BAD=90*AC_LBD=/2+/DGE=90*,/AGF=/DGE=AAFGDFB(ASA最

34、新范本，供參考!(2).1-21=.BDC=2ZBDCDR_CGDE二DEPGE三：DCE二CE-EG設(shè)CE=a.5(5X12)35=a(a+5)=2X3=a=1=s=22例3、等腰ABC中，AB=ACBC=4內(nèi)切圓半徑為1,求腰長解：設(shè)ARAGBC分另1J切O0于F、E、D連ORAD令A(yù)F=X八1八AB=ACBF=BD=BC=2鼻AOF中，AO=/X2+1ABD中,AE2=AD2+BD2即(x+2)2=Jx2+1+1)2+22解得X=4,AB=AC=4+2=10333例4:。0與。Q相交于AB兩點,OA=3j5O2A=5COS/AOO2=2.5P延長AO交 OQ于D,AD=1Q AB=6 :

35、 BD =8求Sin/BAO的值。解：AB±OO2OC=OACOS/AQQ=3屈AC=O2A2-01c2=3=AB=6c/八84Sin/BAO=105例5:PA、PB分另1J切。于A、B兩點，PC滿足AB-PB-AC-PC=ABPC-ACPB且APIPC,/PAB=2ZBPCt/ACB解：AB-PB-ACPC=AB-PC-AC-PB=(ABAC)(PB-PC)=0B二PB-PC-PAnA、BC三點共。P令/PAB=支，則/APB=2口./BPC=90二-2口,/PAB=180-4a又PA=PBZAPB=2a/PAB=180_2<x=90°-a2=180°-4

36、a=90。=h=30。例6、AB為。直徑，PB切。于點B、PA交。于點C,/APB的平分線分別交BGAB于點DkE,交O。于點F,/A=60°,線段AE BD的長是一元二次方程X2-KX+ 2,3(1)求證PA-BD=PBAE=0 (K為常數(shù))的兩個根。A(2)求證。O的直徑為常數(shù)K(3)求tan/FPA證：(1)易證PA&PBD從而PA-BD=PB-AE(2)易證/BEDhBDE貝UBD=BE又AE+BD=K貝UAE+BE=AB=K(3)/A=60°AB±PB則BP=J3kAE+BE=K則BE2 BE+BE=K 則 BE= 3K -32 .3tan /

37、FPA= tan / EPB=-BP=3K2 <3,33K點評歸納1、弦心距和半徑是圓中常用的輔助線，因為應(yīng)用垂徑定理和直角三角形的知識在解決弦的有關(guān)問題時常常用到。2、三角函數(shù)值在圓中的計算常常用到，這時我們通常需要構(gòu)造直角三角形或用直角三角形中與之相等的角替換，使已知的三角函數(shù)值可用或可求。3、有公共端點的幾條線段相等時，常構(gòu)造圓使問題迎刃而解。鞏固練習1、以線段AB為直徑的一個半圓，圓心為O,C是半圓周上一點，且OC=ACBC,則/CAB=r''2、。的半徑OA=6cm點C是弦AB上一點，OCLOA且(qjAOC=BC當AB的長.3、平面上不共線的四點，可以確個圓。

38、4、已知ABC=-AABC則ABC=25、三角形一邊為2,這邊上的中線為1,另兩邊之和為1+J3,這個三角形面積為最新范本，供參考!6、。半徑為RC、D是直徑AB同側(cè)圓周上兩點,第7題第8題8、ABC內(nèi)接于。O,/A=30°,BC=4V3,則。O的直徑為9、AB是。的直徑，半徑OCLAB,弦CE交AB于D,AC的度數(shù)為96°,BD的度數(shù)為36°,動點P在AB上運動，則CP+PD勺最小值為7、A、B、C為。O上的三點，若/ABO=50,貝叱BCA=最新范本，供參考!2_求證：AB=2CD-CE10、AB為半圓的直徑，ADLAB,點C為半圓上一點,CDLAR若CD=Z

39、AD=3求AB的長。11、AB切。于D,AO延長線交。于C,BC切。于C,若ADAB=1:2貝UAO:OC=12、半圓O的直徑在梯形ABCM底邊AB上，且其余三連BGCDDA部分OO相切，若BC=2,DA=3貝UAB=13、OO±OB,。與BO相切于E,與AB內(nèi)切于F,與以O(shè)A為直徑的半圓外切于點G若OA=a求。D的半徑。14、已知a、b為兩個不等圓的半徑(a>b),C是兩圓的圓心距，若兩圓內(nèi)含，則關(guān)于x的方程X2-2aX+b2=C(b+a)的根的情況為15、。0中，半徑r=5cm,ARCD>兩條平行弦，且AB=8cmCD=6cmtAC的長。16、設(shè)AB、AB、A3B3是。中處于圓心同側(cè)的三條平行弦，且A1B與A2B2的距離等于A2B2與AR的距離，三條弦的長度分別為20、16、8,求這個圓的半徑。17、平面內(nèi)有任三點不共線的2007個點，那么是否可作出一個圓，使得圓內(nèi)、圓外分別有1003個點，還有一個點在圓上?第七講圓中的有關(guān)計算知識點擊1、圓中有關(guān)線段的計算主要依據(jù)是：垂徑定理，勾股定理。2、圓中有關(guān)角度的計算主要借助圓心角、圓周角的關(guān)系，常常還利用相似三角形及三角函數(shù)來幫忙。3、圓弧長L=2nr180,扇形s二2nr3604、不規(guī)則圖形的面積的求解關(guān)鍵是設(shè)法將它分解為可求圖形面積的和差問題。例題選講例1.正ABC的邊長為4